自由飛行中控制向量受約束時(shí)的平面沖突

自由飛行中控制向量受約束時(shí)的平面沖突

0沖突探測(cè)與解構(gòu)技術(shù)為了擺脫傳統(tǒng)固定路線的限制，提高空間規(guī)劃利用率，提出了自由飛行的概念，以滿足世界上日益增長(zhǎng)的民用航空需求。自由飛行允許飛行員自主決定飛行路線,并且自主導(dǎo)航,這不但能減少飛機(jī)在路程中的飛行時(shí)間,節(jié)約燃料消耗,而且還會(huì)使空域得到充分利用。但是飛機(jī)間的沖突幾率也會(huì)隨之增加,沖突探測(cè)與解脫技術(shù)成為影響自由飛行能否實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵技術(shù)。沖突探測(cè)就是通過機(jī)載或地面監(jiān)視設(shè)備對(duì)飛機(jī)在空域中的位置和速度信息進(jìn)行計(jì)算,判斷飛機(jī)間是否會(huì)發(fā)生沖突。沖突解脫就是在預(yù)測(cè)出潛在沖突后,規(guī)劃出解脫沖突的理想軌跡,使飛機(jī)能自主飛行,解脫沖突。本文借鑒了Bicchi求解Dubin型弧線路徑所采用的最優(yōu)控制中的極小值原理和內(nèi)點(diǎn)約束條件,以自由飛行狀態(tài)下的連續(xù)飛行軌跡為基礎(chǔ),考慮了2種不同的解脫策略,即只改變速度的大小和只改變速度的方向,根據(jù)不同的解脫策略和優(yōu)化目標(biāo)采用極小值原理求解控制變量,根據(jù)內(nèi)點(diǎn)約束條件獲得解脫開始時(shí)間、結(jié)束時(shí)間及控制變量轉(zhuǎn)換時(shí)間,以解決沖突問題,并用實(shí)例驗(yàn)證了該方法的可行性。為了計(jì)算方便,采用直角坐標(biāo)系,認(rèn)為在同一空域的所有飛機(jī)可以交換飛行信息,設(shè)定飛機(jī)遇到?jīng)_突時(shí)只在平面內(nèi)進(jìn)行解脫。1相對(duì)坐標(biāo)系的建立設(shè)自由飛行空域中的一對(duì)飛機(jī),編號(hào)分別為1、2,其飛行軌跡為{xi(t)=xi(0)+vitcosθiyi(t)=yi(0)+vitsinθi(1)式中:xi(0)、yi(0)為飛機(jī)i的初始位置;xi(t)、yi(t)為t時(shí)飛機(jī)i的位置;θi為飛機(jī)i的航向和直角坐標(biāo)系x軸的夾角;vi為飛機(jī)i的飛行速度。通常在雷達(dá)監(jiān)視條件下,判斷2架飛機(jī)間是否會(huì)發(fā)生沖突都是以距離為標(biāo)準(zhǔn),2架飛機(jī)坐標(biāo)需滿足下列距離間隔公式D=[x1(t)-x2(t)]2+[y1(t)-y2(t)]2-r2≥0(2)式中:r為保護(hù)圓半徑,在雷達(dá)管制條件下r為5nm。假設(shè)飛機(jī)1固定不動(dòng),建立以飛機(jī)1為原點(diǎn)的飛機(jī)間的相對(duì)坐標(biāo)系(簡(jiǎn)稱機(jī)1相對(duì)坐標(biāo)系),則飛機(jī)2在飛機(jī)1相對(duì)坐標(biāo)系中的相對(duì)位置為x′2(t)、y′2(t)。新舊坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換公式為{x′2(t)=x2(t)-x1(t)y′2(t)=y2(t)-y1(t)(3)飛機(jī)2在飛機(jī)1相對(duì)坐標(biāo)系下的飛行軌跡為{x′2(t)=x′2(0)+nty′2(t)=y′2(0)+mt(4)即飛機(jī)2沿下列直線飛行y′2(t)=kx′2(t)+b(5)k=mn=v2sinθ2-v1sinθ1v2cosθ2-v1cosθ1(6)b=y′2(0)-kx′2(0)(7){x′2(0)=x2(0)-x1(0)y′2(0)=y2(0)-y1(0)(8)在飛機(jī)1相對(duì)坐標(biāo)系下,飛機(jī)1保護(hù)圓的方程為x2+y2=r2(9)在飛機(jī)1相對(duì)坐標(biāo)系下,2架飛機(jī)距離關(guān)系就轉(zhuǎn)變?yōu)轱w機(jī)1相對(duì)坐標(biāo)系的原點(diǎn)與飛機(jī)2在此坐標(biāo)系中的相對(duì)軌跡的關(guān)系,2架飛機(jī)最近距離d即為原點(diǎn)到飛機(jī)2的直線軌跡的最短距離d=|b|√k2+1(10)當(dāng)d>r時(shí),直線與圓沒有交點(diǎn),沒有沖突;當(dāng)d=r時(shí),直線與圓相切,可以解出切點(diǎn)(∧x,∧y)和到達(dá)切點(diǎn)時(shí)間∧t;當(dāng)d<r時(shí),直線與圓相交,可以解出第1交點(diǎn)(∧x,∧y)和到達(dá)第1交點(diǎn)時(shí)間∧t。若解得的時(shí)間∧t為負(fù)數(shù),則表示2架飛機(jī)為遠(yuǎn)離飛行,不存在沖突,不予考慮。圖1為在相對(duì)坐標(biāo)系中的2架飛機(jī)最近距離d與保護(hù)圓半徑r的3種關(guān)系。2最合適控制的解放模型2.1哈密頓函數(shù)最優(yōu)控制函數(shù)問題定義:對(duì)飛機(jī)的軌跡方程求導(dǎo),并以角速度為變量,得到飛機(jī)的狀態(tài)方程為ξ˙=f(x2,y2,θ2)=[x˙2y˙2θ˙2]=[v2cosθ2v2sinθ2ω](11)性能指標(biāo)(目標(biāo)函數(shù))為J=∫Τ0ΤfLdt引入拉格朗日乘子向量λ(t)∈Rn定義如下哈密頓函數(shù)Η(x,y,θ,λ,t)=L+λΤ(t)f(x,y,θ)(12)由正則方程得到λ˙(t)=-?Η?ξ(13)因?yàn)轱w機(jī)最終要返回到原航線繼續(xù)飛行任務(wù),則末端狀態(tài)受約束,約束方程為Ψ[ξ(tf),tf]=y2(tf)-y2(0)-tanθ2(tf)·[x2(tf)-x2(0)]=0(14)得到邊界條件λ(tf)=?Ψ?ξ(tf)μ(15)當(dāng)飛機(jī)在末端時(shí)間tf自由飛行時(shí),定常系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)H沿最優(yōu)軌線保持為常數(shù)0,即Η[x*(t),v*(t),λ(t)]=Η[x*(tf*),v*(tf*),λ(tf*)]=0(16)若存在2架飛機(jī)距離剛好為r時(shí),有Ν[ξ(t1),t1]=[x1(t1)-x2(t1)]2+[y1(t1)-y2(t1)]2-r2=0(17)則由內(nèi)點(diǎn)約束條件有Η(t1-)=Η(t1+)-πt?Ν?t1(18)根據(jù)龐特里亞金的極小值原理,哈密頓函數(shù)相對(duì)最優(yōu)控制取絕對(duì)極小值Η(ξ*,λ,u*)=minuΗ(ξ*,λ,u)(19)式中:u為控制變量,其取值范圍為u∈[Umin,Umax]。2.2飛機(jī)邊界條件采用改變速度大小的沖突解脫策略,速度v2為變量,取值范圍為Umin≤v2≤Umax,θ2為常數(shù),則有[x˙2y˙2]=[v2cosθ2v2sinθ2](20)哈密頓函數(shù)為H=L+λ1v2cosθ2+λ2v2sinθ2由式(13)得{λ˙1=-?Η?x2=-?L?x2λ˙2=-?Η?y2=-?L?y2(21)根據(jù)邊界條件式(15)可求出{λ1(tf)=?Ψ?x2(tf)μ1=-μ1tanθ20λ2(tf)=?Ψ?y2(tf)μ2=μ2(22)式中:θ20為初始方向角。由極小值條件式(19)有L*+v2*(λ1cosθ2+λ2sinθ2)≤L+v2(λ1cosθ2+λ2sinθ2)(23)哈密頓函數(shù)H沿最優(yōu)軌線保持為常數(shù)0,即H[x*(t),v*(t),λ(t)]=L*+λ1v*2cosθ2+λ2v*2sinθ2=0(24)確定v*2后,由式(21)、(22)可求出λ1、λ2。在解脫過程中飛機(jī)之間間距仍然不得小于r,即飛機(jī)的軌跡點(diǎn)必須滿足間隔式(2);為了保證最優(yōu)的解脫效果不作多余的消耗,必然使飛機(jī)間距達(dá)到最小值,即飛機(jī)2必然在t1時(shí)和飛機(jī)1的距離最近為r,在此時(shí)飛機(jī)2飛越飛機(jī)1的保護(hù)圓邊界(即d=r)。將v*2代入內(nèi)點(diǎn)約束條件式(17)、(18),再根據(jù)飛機(jī)軌跡式(1)可以得到解脫開始時(shí)間t0和飛行參數(shù)ξ(t)。再根據(jù)末端約束條件式(14)和間隔式(2)可求得解脫結(jié)束時(shí)間tf,相應(yīng)的即可得到最優(yōu)性能指標(biāo)和最優(yōu)軌線。2.3飛機(jī)飛行參數(shù)和切換時(shí)間的確定采用改變方向的沖突解脫策略,角度θ2為變量,速度v2為常數(shù)。一般情況下,飛行員改變航向角后仍然作直線飛行,θ2不隨時(shí)間t而變化。θ2取值范圍為Δθ2≤φ,φ為飛機(jī)最大轉(zhuǎn)彎角,即θ2-φ≤θ2≤θ2+φ。其哈密頓函數(shù)H、性能指標(biāo)L、邊界條件λ(tf)與控制變量為速度v時(shí)相同。由極小值條件式(19)有L*+v2(λ1cosθ*2+λ2sinθ*2)≤L+v2(λ1cosθ2+λ2sinθ2)(25)有λ1cosθ*2+λ2sinθ*2=ρsin(α+θ*2)(26)θ*2=arctanA-α式中:A為sin(α+θ2)在取值區(qū)間[θ2-φ,θ2+φ]上的最小值。哈密頓函數(shù)H沿最優(yōu)軌線保持為常數(shù)0,可解得θ*2的值。因?yàn)椴捎酶淖兎较虻臎_突解脫策略,為避免沖突飛機(jī)軌跡偏離原航線,在沖突解脫后,還需再次改變方向回到原航線,在t3時(shí)改變方向θ2,所以θ2在2個(gè)邊界值之間有一次切換。控制變量θ2在其定義域內(nèi)來回切換,時(shí)間t3為切換點(diǎn),這是一種開關(guān)型控制,在最優(yōu)控制中一般稱為邦-邦控制。進(jìn)而可知飛機(jī)2必然與飛機(jī)1存在2次間距為d的時(shí)刻,為時(shí)間t1和t2。將θ*2代入內(nèi)點(diǎn)約束條件式(17)、(18),再根據(jù)飛機(jī)軌跡式(1)可以得到解脫開始時(shí)間t0、飛行參數(shù)ξ(t)及切換時(shí)間t3。再根據(jù)末端約束條件式(14)可求得解脫結(jié)束時(shí)間tf,相應(yīng)可得到最優(yōu)性能指標(biāo)和最優(yōu)軌線。3飛機(jī)2飛機(jī)帶速度優(yōu)化策略設(shè)在水平直角坐標(biāo)系中有2架飛機(jī),稱為飛機(jī)1和飛機(jī)2,飛行高度為10.668km,起飛質(zhì)量為90718.58kg,其初始位置和方向角分別為(0,50,π/4)和(20,0,π/3),單位為km,速度v1為0.18km/s,v2為0.22km/s?？刂萍s束中,線性速度為130m/s≤v≤270m/s,飛機(jī)最大轉(zhuǎn)彎角φ為π/6,保護(hù)圓半徑r為5nm。性能指標(biāo)L采用Jimmy的時(shí)間油耗綜合公式L=CfuelΔWfuel+CtimeΔt式中:ΔWfuel為額外燃料消耗;Δt為額外時(shí)間耽擱;油耗系數(shù)Cfuel為0.220462$/kg;時(shí)間系數(shù)Ctime為15.22$/min。飛機(jī)2單機(jī)解脫和2架飛機(jī)協(xié)作解脫的解脫方法和解脫效果見表1。圖2為在飛機(jī)1相對(duì)坐標(biāo)下的2架飛機(jī)軌跡預(yù)測(cè)圖(圖中的坐標(biāo)單位為km,下同),可以看出飛機(jī)2的相對(duì)軌跡與飛機(jī)1的保護(hù)圓相交,2架飛機(jī)有潛在沖突。圖3則表示在直角坐標(biāo)下2架飛機(jī)原始軌跡預(yù)測(cè)圖,圖中標(biāo)明在709s時(shí),2架飛機(jī)的間距為5nm。在表1中,對(duì)飛機(jī)2單機(jī)解脫的2種策略分別列出了2種可能的方法,因?yàn)閷?shí)際飛行受實(shí)際情況限制(如只能左轉(zhuǎn)或只能減速),飛行員解脫沖突只能采取相應(yīng)的解脫方式。將單機(jī)解脫和雙機(jī)協(xié)作解脫進(jìn)行比較,可以看出,在改變速度大小的解脫方式中,單機(jī)解脫的各項(xiàng)耗費(fèi)都要比協(xié)作解脫大,這是因?yàn)?架飛機(jī)同時(shí)改變速度使速度差拉大,能夠縮短解脫時(shí)間。在改變速度方向的解脫方式中,協(xié)作解脫的耗費(fèi)在2種單機(jī)解脫方式之間,這是因?yàn)槔又?架飛機(jī)速度大小相近,夾角較小,在同步協(xié)作解脫中2架飛機(jī)在改變方向時(shí)為保持飛機(jī)間距不得不提前解脫開始時(shí)間,解脫時(shí)間和耗油相應(yīng)增大。若2架飛機(jī)夾角超過π/2,則協(xié)作解脫的時(shí)間影響較小,能減小單機(jī)耗費(fèi)。圖4為飛機(jī)2單機(jī)解脫采用改變速度大小的策略,加大速度進(jìn)行解脫的示意圖,改變速度的時(shí)間段為655～765s。圖5為飛機(jī)2單機(jī)解脫采用改變方向角策略的示意圖,在709s時(shí)改變方向角為π/4,在935s時(shí)再次改變方向角為π/2,最后在1052s時(shí)回到原航線恢復(fù)原狀態(tài)。就解脫方式而言,改變速度大小的方法是最直接最簡(jiǎn)單的,且時(shí)間耗費(fèi)較小,但因?yàn)樯婕八俣茸兓?油耗較大。另一方面,由于速度的變化范圍受限,有可能導(dǎo)致解脫不完全,即在初始時(shí)間固定或在有限時(shí)間范圍內(nèi),不能通過一次速度改變完全避免沖突。此外,應(yīng)當(dāng)注意到只改變速度大小(且速度變化范圍受限)的解脫策略,并不能解決所有可能的沖突,最明顯的例子就是2架飛機(jī)同軌跡相向飛行(航向角相差π),由于軌跡重合,無論怎么改變速度大小還是無法避免沖突的,因此在實(shí)際應(yīng)用中,大多采用改變速度方向的解脫策略。但方向改變后還需要回到原航線,所以方向角需要改變2次,采用最優(yōu)邦-邦控制進(jìn)行方向切換,其計(jì)算和控制過程較速度變換復(fù)雜,且路程加長(zhǎng),耗費(fèi)時(shí)間增加。圖6為2架飛機(jī)共同協(xié)作解脫同時(shí)采取改變速度大小策略的示意圖,在698s時(shí)飛機(jī)2加速到0.27km/s,而飛機(jī)1減速到0.13km/s;到748s時(shí)2架飛機(jī)恢復(fù)原狀態(tài)。圖7為2架飛機(jī)同時(shí)采取改變方向角策略的示意圖,在709s時(shí)飛機(jī)1改變方向角為5π/12,而飛機(jī)2改變方向角為π/6;在842s時(shí)飛機(jī)1改變方向角π/12,而飛機(jī)2改變方向角為π/2;在975s時(shí)2架飛機(jī)回到原航線恢復(fù)原狀態(tài)。4兩個(gè)輔助策略同選擇本文以自由飛行狀態(tài)下飛機(jī)的連續(xù)飛行軌跡為基礎(chǔ),采用最優(yōu)控制法對(duì)控制向量受約束的平面沖突解脫進(jìn)行了分析?？紤]