異分母分?jǐn)?shù)加減法教學(xué)預(yù)案

【】在算的道理上是不是一回事——“異分母分?jǐn)?shù)加減法”教學(xué)實(shí)錄與思考深圳市教育科學(xué)研究院黃愛華一、課前交流師：今天黃老師和大家上一節(jié)沒有課件的課,沒有課件諸多內(nèi)容就不能在屏幕上看了，請(qǐng)大家更加投入地學(xué)習(xí)。我要介紹一下，我叫黃愛華，我比較喜歡別人在課堂上叫我“華哥”。（走到一位同窗前）你叫什么名字？生：我叫劉佳。師：（伸出手）劉佳同窗你好，你怎么和我打招呼呢？生：華哥你好！師：在課堂上，作為老師的我就應(yīng)當(dāng)像大哥哥同樣和大家一起聊數(shù)學(xué)。喜歡嗎？相信你們喜歡?！尽叭A哥你好！”目的是拉近師生之間的距離。生理學(xué)研究表明，當(dāng)師生間產(chǎn)生融洽、親密的情感時(shí)，這種主動(dòng)的情感往往能使學(xué)生的大腦皮層處在興奮狀態(tài)，從而能使學(xué)生更加好地接受知識(shí)，提高學(xué)習(xí)活動(dòng)的效果?！按髥栴}”教學(xué)總是把建立良好的師生關(guān)系和建立新知識(shí)和已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)之間的關(guān)系放在第一位?！慷?、提“大問題”師：咱們就聊起來吧！近來我們?cè)趯W(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)，在我看來，在小學(xué)階段，把分?jǐn)?shù)學(xué)明白了，基本上就能夠畢業(yè)了。有關(guān)分?jǐn)?shù)，數(shù)學(xué)家說過兩句話，我說給大家聽，看你能不能聽懂。第一句是“分?jǐn)?shù)是個(gè)新朋友”。我們先認(rèn)識(shí)了自然數(shù)0、1、2、3、4……，當(dāng)碰到要表達(dá)1除以3等于多少的時(shí)候，新朋友就來幫忙了，能夠用1/3表達(dá)。慢慢的我們認(rèn)識(shí)了諸多的分?jǐn)?shù)。數(shù)直線上的諸多點(diǎn)都能夠用分?jǐn)?shù)表達(dá)。認(rèn)識(shí)了分?jǐn)?shù)這個(gè)新朋友，就意味著我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上又長大了許多。第二句是“分?jǐn)?shù)是個(gè)大家庭”。你會(huì)發(fā)現(xiàn)，每一種分?jǐn)?shù)都會(huì)有諸多和它形式不同，大小相等的分?jǐn)?shù)。例如，1/3還能夠當(dāng)作2/6,也就是2個(gè)1/6，也能夠看作3/9，也就是3個(gè)1/9……有人說，既然他們都相等,選一種最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)代表就行了,要那么多相等的分?jǐn)?shù)做什么?老師告訴大家，在計(jì)算的時(shí)候，最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)作為代表有時(shí)候并不方便,有時(shí)，需要在這個(gè)大家庭中找出適宜的分?jǐn)?shù)表達(dá)才干參加運(yùn)算。分?jǐn)?shù)大家庭中的每一種組員,各有各的用處,都有其特定的價(jià)值。（筆記：例如1/2+1/3,兩個(gè)分?jǐn)?shù)都是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù),卻不能直接相加。還得找出以兩個(gè)分母的最小公倍數(shù)為分母的那些特殊表達(dá),寫成3/6+2/6,才干相加。這就是說,分?jǐn)?shù)等價(jià)類中的每一種表達(dá),各有各的用處,都有其特定的價(jià)值）師：今天這節(jié)課我們研究什么呢？請(qǐng)大家看黑板，（板書）“加減法”，在小學(xué)階段，加減法我們重要研究整數(shù)的（板書“整數(shù)”），小數(shù)的（板書“小數(shù)”），尚有分?jǐn)?shù)的（板書“分?jǐn)?shù)”）。你說，分?jǐn)?shù)加減法跟我們學(xué)過的整數(shù)加減法、小數(shù)加減法在算的道理上是不是一回事？這節(jié)課我們重要研究這個(gè)問題。我但愿大家下課離開教室的時(shí)候，有自己的判斷。你的回答可能是“是一回事”，可能是“完全不是一回事”，但愿不是“我沒有搞清晰是不是一回事”?！尽霸谒愕牡览砩鲜遣皇且换厥隆笔沁@節(jié)課的“大問題”，這個(gè)問題也成為本節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)的目的。我們倡導(dǎo)的“大問題”指根據(jù)特定學(xué)生的心理特點(diǎn)、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)以及學(xué)習(xí)困惑點(diǎn)，采用一定的教學(xué)方略，對(duì)課程關(guān)系、問題引導(dǎo)、學(xué)習(xí)方式等多方面進(jìn)行系統(tǒng)解決，以求能夠最大程度突破教學(xué)中的重要矛盾的質(zhì)量高、外延大、問域?qū)挕?shù)量精并且挑戰(zhàn)性強(qiáng)的問題。大問題是課堂的“課眼”，文本的“文眼”，是課堂教學(xué)的根本。】三、探究分享1.做好鋪墊。師：要回答是不是一回事，我們先回想一下，整數(shù)和小數(shù)加減法在算的道理上是怎么回事。我們?cè)趯W(xué)習(xí)整數(shù)或者小數(shù)加減法的時(shí)候，總是要讓相似數(shù)位對(duì)齊(板書：數(shù)位對(duì)齊)，例如432.6+25.3。你懂得，數(shù)位對(duì)齊，目的是什么嗎？生：幾個(gè)一和幾個(gè)一加，幾個(gè)十和幾個(gè)十加。師：數(shù)位對(duì)齊其實(shí)就是為了能讓相似計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相加減（板書：相似計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相加減）。在這道題目中2個(gè)1和5個(gè)1相加，是7個(gè)1；6個(gè)十分之一和3個(gè)十分之一相加是9個(gè)十分之一……整數(shù)和小數(shù)的加減法在算的道理上是這樣回事，那分?jǐn)?shù)呢？請(qǐng)大家先在小組內(nèi)討論。等一下報(bào)告的時(shí)候，請(qǐng)舉例來闡明你的想法。2.學(xué)生分享。生：我認(rèn)為不是一回事，整數(shù)都是幾個(gè)一或者幾個(gè)十相加減，而分?jǐn)?shù)卻沒有多少個(gè)一、多少個(gè)是十、多少個(gè)百什么的。生：我認(rèn)為是一回事，像2/7和3/7相加，就是2個(gè)1/7和3個(gè)1/7相加，加起來是5個(gè)1/7。其實(shí)也是相似計(jì)數(shù)單位1/7的個(gè)數(shù)相加。生：我也認(rèn)為是一回事，分母相似的分?jǐn)?shù)相加減，都是分母不變，分子相加減，加減分子，就是分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)相加減。生：要是分母不同呢？生：分母不同的分?jǐn)?shù)，也同樣，先通分，這樣分母就同樣了。師：這位同窗說，分母不同要先通分，讓分母同樣。你們?cè)趺纯础Ｉ何屹澇?，要否則怎么算呀！3.深度對(duì)話。師：看來我們有必要一起來研究分母不同的分?jǐn)?shù)怎么相加減。誰來出個(gè)題目吧。生：例如1/3+1/2。預(yù)設(shè)1：師：（指黑板）這里已有個(gè)1/3了，要在它的基礎(chǔ)上再加上1/2，在數(shù)直線上怎么表達(dá)呢？誰來幫忙？生：就是在數(shù)直線上再接著一種1/2（師生合作在數(shù)直線上表達(dá)）。師：跟大家講講。生：要算1/3和1/2相加是多少？就是要表達(dá)圖上的這一段是多少？這一段是多少你們能看出來嗎？我不能。師：講得真好！要問它們相加是多少，不就是從這到這是幾分之幾嗎？他又說看不出來，你說他為什么沒看出來呢？生：沒有平均分。師：不好看？生：嗯！師：很難看？生：是！師：那就讓它好看一點(diǎn)。小組討論吧?。ǚ中〗M討論）師：看起來，同窗們有見解了，誰來做“小老師”。生：請(qǐng)大家聽我說，1/3和1/2相加，它們的分母不同，必須通分。通分后，1/3就是2/6，1/2就是3/6。加起來就是5/6。這樣就好看了！師：在他的報(bào)告了，特別強(qiáng)調(diào)了我們學(xué)過的一種知識(shí)，叫“通分”。通分解決了什么問題？生1：通分找到了一種統(tǒng)一的分?jǐn)?shù)單位，就是1/6。生2：同時(shí)還懂得了有幾個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)單位。一種里面有2個(gè)1/6，一種里面有3個(gè)1/6。加在一起就是5個(gè)，答案就有了。師：我完全贊成！我這里就有這把魔法尺，它既能量1/3（2個(gè)1/6，在圖上表達(dá)），又能量1/2（3個(gè)1/6，在圖上表達(dá)）。正好量完。數(shù)一數(shù)，或者說加一加，表達(dá)出來了。師：太美妙！你們感謝“通分”還是感謝這把“小尺子”？生：我覺得應(yīng)當(dāng)感謝通分。通分了，分母就相似了，小尺子就有了。師：小尺子有了，意味著分?jǐn)?shù)單位統(tǒng)一，計(jì)數(shù)單位就明確了。你們懂得這把尺子在哪買的嗎？師：我告訴大家，我量了圖上剩余來的部分做出來了這把尺子，怎么會(huì)這樣巧呢？生1：是由于這道題正好空出1/6，換個(gè)題目就不一定了？生2：尺子的大小跟兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母有關(guān)，要找到兩個(gè)分母的最小公倍數(shù)，才干找到尺子。預(yù)設(shè)2：師：給你們每個(gè)小組一張紙條，上面就有數(shù)直線，能夠在數(shù)直線上表達(dá)出這個(gè)算式，然后想方法得到這兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加的和是多少。師：這個(gè)組有個(gè)了不起的發(fā)現(xiàn)。跟大家分享一下吧！生：我們把多出來的這部分當(dāng)作一份，折了一下，巧了，正好折出6份，那答案就是5/6了。師：正好是5/6，真是美妙。師：怎么不折個(gè)10份呢？生：折10份不能精確地表達(dá)這一部分，會(huì)多出來或者不到。師：而這個(gè)6份呢？生：不多也不少。師：這個(gè)不多也不少，是由于當(dāng)折了6份，數(shù)前面是2份，數(shù)背面是3份，都是不多也不少吧！由于平均分成了6份，就意味著，我們找到了1/6這把尺子，用這把尺子去量，1/3里有幾個(gè)？（2個(gè)）1/2里有幾個(gè)？（3個(gè)），一共是5個(gè)。這個(gè)6份真是美妙。師：我們能不能看到1/3+1/2，立刻就想到，好辦，就是算有多少個(gè)1/6。師：要是換個(gè)題目呢？也是算多少個(gè)1/6嗎？4.找“尺子”。師：換個(gè)題目可能就不行了，可能就要用另一把尺子。我們換一種題目吧！1/3+1/4（圖示），能用1/6這把尺子嗎？生：把這兩個(gè)分?jǐn)?shù)通分得到尺子應(yīng)當(dāng)是1/12。師：也就是，把1/3看作4個(gè)1/12，1/4看作3個(gè)1/12。這樣算才適宜。師：我們一起動(dòng)筆算算吧！師：如果是1/3-1/4呢？師：如果是1/3+2/5呢？師：算到這兒，真的要感謝分?jǐn)?shù)這個(gè)大家庭了！剛剛還表達(dá)2個(gè)1/6，后來又當(dāng)作4個(gè)1/12，這里又看作5個(gè)1/15了。師：后來看到這樣分母不同的分?jǐn)?shù)相加減，我們已經(jīng)能夠得意地說，好辦，就是算有多少個(gè)幾分之一。師板書：2/7+4/9。生：好辦，就是算有多少個(gè)1/63。師板書：4/5-3/20。生：好辦，就是算多多少個(gè)1/20。師板書：3/4+5/6。生：好辦，就是算有多少個(gè)1/12。師：你覺得老師這三道題出得好，還是剛剛出得三道題有水平？生：……師：這三道題老師想告訴同窗們，異分母分?jǐn)?shù)相加減，通分的時(shí)候普通有這三種狀況（互質(zhì)關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系、普通關(guān)系）[在大問題教學(xué)課堂中，由“大問題”組織起來的課堂教學(xué)活動(dòng)呈“板塊式”構(gòu)造，一種“大問題”在教學(xué)過程中都能產(chǎn)生有相稱時(shí)間長度的課堂學(xué)習(xí)與交流活動(dòng)。由于“大問題”往往呈“話題”的形式，因此課堂教學(xué)中師生的互動(dòng)活動(dòng)普通不是體現(xiàn)于細(xì)碎的“答問”，而是體現(xiàn)于師生之間的“對(duì)話”，這將變化教師的課堂提問習(xí)慣，帶來流暢扎實(shí)的效率較高的課堂教學(xué)過程。]四、歸納小結(jié)師：討論到這里了，我們應(yīng)當(dāng)能夠在黑板上寫點(diǎn)什么了。生：在異分母三個(gè)字的背面寫上“通分”。師：通分事實(shí)上統(tǒng)一了分?jǐn)?shù)單位。（板書：通分）師：“通分”的背面寫什么呢？生：還是要寫上“相似計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相加減”。師：這樣看來，是一回事嗎？生：是一回事。師：看來無論是整數(shù)、小數(shù)，還是分?jǐn)?shù)，在算的道理上都是“相似計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相加減”。數(shù)學(xué)上諸多道理都是想通的！老師真的想同窗們能夠體會(huì)到，“數(shù)學(xué)是講理的”，“理都是想通的”。師：就在我們認(rèn)為在算的道理上是一回事的時(shí)候，我請(qǐng)大家再來研究一下，同樣的“相似計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相加減”有無什么不同呢？生：整數(shù)和小數(shù)相加減的時(shí)候，計(jì)數(shù)單位很明確（板書：“很明確”），而分?jǐn)?shù)相加減的時(shí)候的計(jì)數(shù)單位總在變化（板書：“不統(tǒng)一”）。師：這同樣是一種重要的結(jié)論。師：要是隔壁班的一位同窗過來，例如我，隔壁班的黃同窗，你們今天學(xué)什么了呀！你怎么答？（學(xué)習(xí)異分母分?jǐn)?shù)加減法）異分母分?jǐn)?shù)怎么加減呀？（先通分后加減），那是為什么呢？（由于分母不同，就是計(jì)數(shù)單位不同，不能直接相加減，因此要先通分）原來是這樣呀，其實(shí)就是先通分后加減唄，干嘛要上那么長時(shí)間？（這個(gè)老師很有水平的，他把小學(xué)階段的加減法都聯(lián)系起來了）怎么聯(lián)系呢？（就是整數(shù)、小數(shù)加減法要數(shù)位對(duì)齊，分?jǐn)?shù)加減法要通分，其實(shí)，都是為了相似計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相加減）那你們老師有和你們講異分母分?jǐn)?shù)相加減分母的三種狀況嗎？（有呀）……師：還記得數(shù)學(xué)家說過的兩句話嗎？有關(guān)分?jǐn)?shù)的第三句是什么呢？各位小數(shù)學(xué)家——生：分?jǐn)?shù)加減法和整數(shù)加減法是一回事，只但是，相似的計(jì)數(shù)單位就是分?jǐn)?shù)單位總在變化，有點(diǎn)調(diào)皮。生：分?jǐn)?shù)加減法的通分實(shí)際是找到一把能夠測(cè)量的尺子。生：分?jǐn)?shù)加減法時(shí)，會(huì)出現(xiàn)無數(shù)個(gè)計(jì)數(shù)單位。生：分?jǐn)?shù)加減法是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最高階段。師：看看黑板，我們寫了這樣多的題目，其實(shí)是寫不完的，但我們都會(huì)算了，有無發(fā)現(xiàn)，我們有點(diǎn)厲害。分母各不相似，挺復(fù)雜的，現(xiàn)在看來但是如此。題目小了，我大了。有無一種“小題大我”的感覺。師：看看黑板，有無不明白的地方？要不要在核心的地方用紅色的粉筆圈一圈？師：下課了，下一課又要開始了。要把我們辛苦得出的結(jié)論擦掉，真是舍不得，先擦什么？再擦什么？最想留下的是哪句話？【這節(jié)課是“大問題”教學(xué)課題組最新的教學(xué)創(chuàng)新成果，基本體現(xiàn)了“大問題”的特點(diǎn)、功效與作用?！按髥栴}”是通過概括、提煉的，“大問題”教學(xué)現(xiàn)象對(duì)教師把握教材的水平和課堂對(duì)話的能力提出了很高的規(guī)定，“大問題”的廣泛運(yùn)用將從大面積上提高教師進(jìn)一步細(xì)致地鉆研教材、研讀文本的水平?！按髥栴}”有助于課堂上“大量的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)”的開展，有助于“簡(jiǎn)化教學(xué)頭緒，強(qiáng)調(diào)內(nèi)容綜合”?！按髥栴}”的提出，是“預(yù)設(shè)”；由“大問題”而形成的課堂活動(dòng)，是“生成”；整個(gè)“大問題”教學(xué)的實(shí)施過程，則是對(duì)學(xué)生個(gè)體生命的“成全”?！俊?989年版】“異分母分?jǐn)?shù)加減法”教學(xué)設(shè)計(jì)黃愛華注：本課于1989年參加江蘇省淮陰市課堂教學(xué)比賽獲一等獎(jiǎng)；1995年在《湖南教育》雜志上發(fā)表。教材簡(jiǎn)析:異分母分?jǐn)?shù)的加減法是分?jǐn)?shù)加減法的重點(diǎn)。教材從異分母分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位不同不能直接相加這一矛盾入手，逐步引導(dǎo)學(xué)生揭示矛盾、分析矛盾、解決矛盾，使學(xué)生從中明確算理、掌握計(jì)算法則。教學(xué)時(shí)要運(yùn)用直觀教具的演示，抓住“化異為同”這一核心，著重啟發(fā)學(xué)生理解異分母分?jǐn)?shù)加減法，要先通分再計(jì)算的道理。教學(xué)目的:使學(xué)生懂得異分母分?jǐn)?shù)加、減法的算理，掌握計(jì)算法則，能對(duì)的地進(jìn)行異分母分?jǐn)?shù)加、減法的計(jì)算。教法闡明：本節(jié)課教學(xué)旨在確立知識(shí)單元的整體觀念，突出“化異為同”這一新舊知識(shí)的連接點(diǎn)，啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)解決面臨的新問題，協(xié)助學(xué)生建立“轉(zhuǎn)化”思想。通過觀察、嘗試與驗(yàn)證，培養(yǎng)學(xué)生探索獲取知識(shí)的能力。教學(xué)過程:基本訓(xùn)練。小結(jié)：計(jì)算整數(shù)、小數(shù)或者分?jǐn)?shù)加法，都要計(jì)數(shù)單位相似，才干直接相加。（設(shè)計(jì)意圖：通分訓(xùn)練及呈現(xiàn)加法運(yùn)算，強(qiáng)化“計(jì)數(shù)單位相似才干直接相加”的算理，為學(xué)習(xí)新知識(shí)做好鋪墊和知識(shí)準(zhǔn)備）二、進(jìn)行新課。１．巧引妙傳，引入新課。(1)出示同分母分?jǐn)?shù)加減題(2)口算，回答計(jì)算法則及解題根據(jù)（分?jǐn)?shù)單位相似，能夠直接相加減），教師板書計(jì)算成果。（3）約分成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。比較算式異同，引入新課。（設(shè)計(jì)意圖：由同分母分?jǐn)?shù)相加減，轉(zhuǎn)化為異分母分?jǐn)?shù)相加減，導(dǎo)入新課。在新舊知識(shí)的連接點(diǎn)上著力，突出舊知識(shí)向新知識(shí)的滲入與遷移，便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)算法，掌握解題思路。）２．啟發(fā)談話，引導(dǎo)觀察?！爱惙帜阜?jǐn)?shù)相加減，如何算？我們還沒有學(xué)過，但這三道異分母分?jǐn)?shù)加減題，我們都已經(jīng)懂得它們的成果了，同窗們認(rèn)真觀察一下，這些成果是怎么得到的？”學(xué)生觀察后同座討論。３．嘗試練習(xí)，共同探究。（１）出示嘗試題：計(jì)算：１／２＋１／３４／５－２／１５“這兩道題，你能試著做做看嗎？”兩學(xué)生板演。其它學(xué)生獨(dú)立練習(xí)。（２）學(xué)生嘗試練習(xí)，并進(jìn)行集體校正后，組織學(xué)生自學(xué)課本，討論下面的思考題：１．分母不同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，能不能直接相加減，為什么？２．如果不能直接相加減怎么辦？３．異分母分?jǐn)?shù)相加減與同分母分?jǐn)?shù)相加減有什么區(qū)別和聯(lián)系？（設(shè)計(jì)意圖：由于學(xué)生通過觀察，較容易聯(lián)想到通分，把異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)，大膽地讓學(xué)生去試一試，會(huì)讓學(xué)生嘗到獲取知識(shí)的成功樂趣。嘗試實(shí)踐后，再組織討論思考題，有助于揭示算理。）４．直觀演示，驗(yàn)證算理。（１）１／２和１／３的分母不同，就不能直接相加減嗎？出示三個(gè)長方形圖，（大小形狀相似）在上兩圖中，用陰影分別表達(dá)１／２和１／３，再引導(dǎo)相加得出第三圖中的陰影。（以下圖）提問：相加后，圖中的陰影部分是２／２嗎？（不是）是２／３嗎？（不是）是多少呢？操作談話：以第三個(gè)長方形的空白部分為一份，（出示和空白部分完全重疊的硬紙片）去量這個(gè)長方形，誰來試一試？（學(xué)生板演）量得這個(gè)長方形有這樣的幾份？（６份）那么陰影部分應(yīng)是這樣的幾份？（５份）陰影部分是這個(gè)長方形的幾分之幾呢？（5/6）因此1/2＋1/3＝（5/6）。這個(gè)5/6是怎么得來的呢？繼續(xù)演示，學(xué)生發(fā)現(xiàn)1/2－（3/6），1/3－（2/6）（以下圖）（２）師生共同得出結(jié)論：要進(jìn)行異分母分?jǐn)?shù)相加減，必須先通分，統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位后再加減。對(duì)應(yīng)算式板書：“化異為同”、“通分”（３）歸納小結(jié)：異分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算法則。（設(shè)計(jì)意圖：通過直面操作，