等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最值問(wèn)題

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最值問(wèn)題數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，因此高考題中常常會(huì)出現(xiàn)研究數(shù)列的單調(diào)性、最值等問(wèn)題．其中，等差數(shù)列是一種最基本、最簡(jiǎn)單的數(shù)列模型．在研究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最值問(wèn)題時(shí)，既可以利用公式Sn＝an2＋bn(其中a＝eq\f(d,2)，b＝a1－eq\f(d,2)，d為公差)的函數(shù)特征來(lái)研究，即當(dāng)d>0時(shí)，Sn有最小值，當(dāng)d<0時(shí)，Sn有最大值．另外，也可以從通項(xiàng)an＝kn＋l的(其中k＝d，l＝a1－d，d為公差)的函數(shù)特征來(lái)研究，即由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥0，an＋1<0))求得Sn取得最大值時(shí)n的條件，由求得Sn取得最小值時(shí)n的條件，此種方法稱為“鄰項(xiàng)變號(hào)法”.例題：設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3＝24，S11＝0.(1)求an；(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；(3)當(dāng)n為何值時(shí)，Sn最大，并求Sn的最大值．變式1等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且公差d<0，若S9＝S23，則數(shù)列{an}的前多少項(xiàng)的和最大？變式2等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且公差d<0，若S10＝S23，則數(shù)列{an}的前多少項(xiàng)的和最大？串講1已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝eq\f(40－5n,7)，記Tn＝an＋an＋1＋…＋an＋6，當(dāng)|Tn|取最小值時(shí)，n的值為多少？串講2已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝eq\f(40－5n,7)，記Tn＝an＋an＋1＋…＋an＋5，當(dāng)|Tn|取最小值時(shí)，n的值為多少？(2018·全國(guó)Ⅱ卷改編)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝－7，S3＝－15.求Sn，并求Sn的最小值．(2018·蘇州第一學(xué)期期初調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an－Sn＝n2－16n＋15(n≥2，n∈N*)．若對(duì)任意的n∈N*，總有Sn≤Sk，求正整數(shù)k的值．答案：k＝7.解法1因?yàn)閍n－Sn＝n2－16n＋15(n≥2，n∈N*)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－S2＝－13，,a3－S3＝－24，))也即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝13，,a1＋a2＝24，))解得a1＝13，a2＝11，所以d＝a2－a1＝－2，故an＝－2n＋15，5分令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1<0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2n＋15≥0，,－2n＋13<0，))所以eq\f(13,2)<n≤eq\f(15,2)，9分又n∈N*，所以n＝7，即數(shù)列{an}的前7項(xiàng)和為S7最大，所以k＝7.14分解法2因?yàn)閍n－Sn＝n2－16n＋15(n≥2，n∈N*)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－S2＝13，,a3－S3＝－24，))也即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝13，,a1＋a2＝24，))解得a1＝13，a2＝11，7分所以d＝a2－a1＝－2，故an＝－2n＋15，9分Sn＝13n＋eq\f(n（n－1）,2)×(－2)＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49，12分所以數(shù)列{an}的前7項(xiàng)和為S7最大，故k＝7.14分說(shuō)明：通過(guò)以上兩種解法的比較，可以發(fā)現(xiàn)“解法1”采用了“鄰項(xiàng)變號(hào)法”，解題思路、過(guò)程比較簡(jiǎn)潔方便，這是因?yàn)檫@種解法緊緊抓住了等差數(shù)列的項(xiàng)an對(duì)和Sn的影響規(guī)律，因而過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)潔精煉．例題答案：(1)an＝48－8n；(2)Sn＝－4n2＋44n；(3)n＝5或6時(shí)，Sn最大，Sn＝120.解析：(1)因?yàn)閍3＝24，S11＝0.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝24，,11a1＋\f(11×10,2)d＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝40，,d＝－8，))所以an＝48－8n.(2)由(1)知，a1＝40，an＝48－8n，所以Sn＝eq\f(（a1＋an）n,2)＝eq\f(（40＋48－8n）n,2)＝－4n2＋44n.(3)解法1：由(2)有，Sn＝－4n2＋44n＝－4(n－eq\f(11,2))2＋121，故當(dāng)n＝5或n＝6時(shí)，Sn最大，且Sn的最大值為120.解法2：由an＝48－8n，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1<0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(48－8n≥0，,48－8（n＋1）<0，))得5<n≤6，又n∈N*，所以n＝6，即該數(shù)列前5項(xiàng)都是正數(shù)，第6項(xiàng)為0，所以前5項(xiàng)和、前6項(xiàng)的和同為最大值，最大值為120.說(shuō)明：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn最值問(wèn)題的研究有兩種主要思路：其一，利用Sn＝an2＋bn具有的二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合單調(diào)性或拋物線圖象來(lái)研究；其二，是利用“鄰項(xiàng)變號(hào)法”研究，即由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1<0，))求得Sn取得最大值時(shí)n的條件，同樣由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1>0，))求得Sn取得最小值時(shí)n的條件．變式聯(lián)想變式1答案：16.解析：由S9＝S23，得a10＋a11＋…＋a23＝0，即a16＋a17＝0，又因?yàn)閐<0，所以a16>0，a17<0，所以，數(shù)列{an}的前16項(xiàng)的和最大．變式2答案：16或17.解析：由S10＝S23，得a11＋a12＋…＋a23＝0，即a17＝0，又因?yàn)閐<0，所以a16>0，a18<0，所以，數(shù)列{an}的前16項(xiàng)或17的和最大．說(shuō)明：上述兩個(gè)“變式”題的不同之處在于，“變式1”中不含為0的項(xiàng)，因此前n項(xiàng)和Sn取得最值時(shí)，n的值只有一解，“變式2”中含有數(shù)值為0的項(xiàng)，因此前n項(xiàng)和Sn取得最值時(shí)，n的值有兩解！請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)體會(huì)其中的差別．串講激活串講1答案：n＝5.解析：由an＝eq\f(40－5n,7)，知{an}遞減且a8＝0，又Tn＝an＋an＋1＋…＋an＋6＝7an＋3，考慮到|Tn|≥0，且由n＋3＝8，得n＝5，即滿足|Tn|取得最小值的正整數(shù)n＝5.串講2答案：n＝5或6.解析：由an＝eq\f(40－5n,7)，知{an}遞減且a8＝0，又Tn＝an＋an＋1＋…＋an＋5，式子右邊有6項(xiàng)，結(jié)合等差數(shù)列的對(duì)稱性知，當(dāng)下標(biāo)n＋(n＋5)＝2×