2021年高考數(shù)學(xué)學(xué)科基地押題卷10

2021年高考學(xué)科基地押題卷之10

數(shù)學(xué)

（本試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷

類型（B）填涂在答題卡的相應(yīng)位置上。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案。答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位

置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求

作答無(wú)效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單選題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的。

1.已知集合4={犬|一1<%<3,XGN},B={C|CSA},則集合8中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.6B.7C.8D.9

?2016

2.已知。為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)2=（/—1）+3+i）i為純虛數(shù)，則”!—=（）

1+i

A.1B.0

C.1+iD.1-i

7T

3.已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足X=4°-5,y=log53,z=sin（,+2）,則（）

A.zcxcyB.”z<xC.z<y<xD.x<z<y

4.如圖的折線圖是某公司2018年1月至12月份的收入與支出數(shù)據(jù)，若從6月至11月這6個(gè)月中

任意選2個(gè)月的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，則這2個(gè)月的利潤(rùn)（利潤(rùn)=收入-支出）都不高于40萬(wàn)的概率為

)

萬(wàn)元

5.函數(shù)/（x）=（x2-4x+l）?，的大致圖象是（）

6.安徽懷遠(yuǎn)石榴（Pimicagranatum）自古就有“九州之奇樹，天下之名果''的美稱，今年又喜獲豐

收.懷遠(yuǎn)一中數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行社會(huì)調(diào)查，了解到某石榴合作社為了實(shí)現(xiàn)100萬(wàn)元利潤(rùn)目標(biāo)，準(zhǔn)備

制定激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)超過(guò)6萬(wàn)元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y（單

位：萬(wàn)元）隨銷售利潤(rùn)X（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)3萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不能

超過(guò)利潤(rùn)的20%.同學(xué)們利用函數(shù)知識(shí)，設(shè)計(jì)了如下函數(shù)模型，其中符合合作社要求的是（）

（參考數(shù)據(jù):LOI5100a4.432,1g11?1.041）

A.y=0.04xB.y=1.015x-lC.y=tanI?-1D.y=logu（3x-10）

7.已知F項(xiàng)等差數(shù)列｛%｝中，若4+生+%=15,若6+2,%+5,%+13成等比數(shù)列，則

等于（）

A.21B.23C.24D.25

8.如圖，在ZVIBC中，若麗=4，AC=b覺=4麗，用"萬(wàn)表示4。為（)

一51-

B.AD=-a+-h

44

一51-

D.AD=-a一一b

44

9.如圖，耳，與分別是雙曲線夕一方=1（?！?/>0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)大卜夜,0）的直線/與

雙曲線分別交于點(diǎn)A3,若"36為等邊三角形，則雙曲線的方程為（）

229

5x5y.廠21

A.=1B.----y=1

7286-

y=i5y2

C.D.----------1

287

10.《九章算術(shù)》卷七——盈不足中有如下問題:“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不

足三.問人數(shù)、羊價(jià)各幾何？”翻譯為：“現(xiàn)有幾個(gè)人一起買羊，若每人出五錢，還差四十五錢，若每

人出七錢，還差三錢，問人數(shù)、羊價(jià)分別是多少''.為了研究該問題，設(shè)置了如圖所示的程序框圖,

若要輸出人數(shù)和羊價(jià)，則判斷框中應(yīng)該填（）

A.左>20B.k>2\

C.左>22D.左>23

H.已知一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體，被一個(gè)平面截后所得的幾何體的三視圖如圖所示，則該幾

何體的體積是()

TJ”用

917

A.6B.D.

2T

l+lnx,0<x<l

12.已知函數(shù)/(x)=41,,若方程/2(幻一(1+〃)/(刈+。=0恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)

-T,X>1

[2X-'

根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

A.(-<?,0)B.(0,+oo)C.D.(0,1)

第U卷(非選擇題)

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中的橫線上。

13.在數(shù)列｛%｝中，。戶0,%=24前"項(xiàng)和為S“，則又

14.設(shè)x>0,y>0,x+2y=2,則孫的最大值為

15.設(shè)曲線y=:在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線丁=6'+1在點(diǎn)。處的切線垂直，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

x

16.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為f，點(diǎn)”(后,20)(%>々)是拋物線。上一點(diǎn)，

以M為圓心的圓與線段板相交于點(diǎn)A，且被直線*=當(dāng)截得的弦長(zhǎng)為61M4|,若

\MA\

島=2,貝iJ|AF|=.

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21

題為必做題,每個(gè)考生都必須作答.第22/23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分

17.在銳角三角形ABC中，BC=1,AB=g，sinU-B)=-.

4

(1)求AC的值；

(2)求sin(A-B)的值.

18.如圖，在四棱錐P—ABCD中，PAJ"平面ABC。，底面ABC。是菱形，PA=AB^2,

ZBAD=f^°.

(□)求證：直線6。，平面PAC：

(□)求直線P3與平面PAO所成角的正切值；

(□)設(shè)點(diǎn)M在線段PC上，且二面角C—MB—A的余弦值為，，求點(diǎn)〃到底面ABC。的距

離.

二+亡

19.設(shè)橢圓C:=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳、F2,過(guò)F2的直線交橢圓于AB

a2b1

兩點(diǎn)，若橢圓C的離心率為:，AABF；的周長(zhǎng)為8.

(□)求橢圓C的方程;

(□)已知直線/：y=Ax+2與橢圓C交于/、N兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)％使得以MN為直徑的圓

恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出發(fā)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.設(shè)函數(shù)f(x)=X2-qQnx+l).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求y=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程；

(2)當(dāng)。>：時(shí)，判斷函數(shù)fW在區(qū)間是否存在零點(diǎn)？并證明.

21.2019年春節(jié)期間，我國(guó)高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速免費(fèi)政策某路橋公司為掌握春節(jié)期間

車輛出行的高峰情況，在某高速收費(fèi)點(diǎn)處記錄了大年初三上午9:20?10:40這一時(shí)間段內(nèi)通過(guò)的車

輛數(shù)，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這一時(shí)間段內(nèi)共有600輛車通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)，它們通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的頻率分布直

方圖如圖所示，其中時(shí)間段9:20?9：40記作區(qū)間［20,40),9:40?10:00記作［40,60),10:00?

10:20記作［60,80),10:20?10:40記作［80,100］.比方：10點(diǎn)04分,記作時(shí)刻64.

(1)估計(jì)這600輛車在9:20~10:40時(shí)間段內(nèi)通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)；

(2)為了對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再?gòu)倪@10輛車中

隨機(jī)抽取4輛，記X為9:20?10:00之間通過(guò)的車輛數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(3)由大數(shù)據(jù)分析可知，車輛在春節(jié)期間每天通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻T服從正態(tài)分布NJ。?)，其

中〃可用這600輛車在9:20?10:40之間通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值近似代替，/可用樣本的方

差近似代替(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)，已知大年初五全天共有1000輛車通過(guò)該

收費(fèi)點(diǎn)，估計(jì)在9:46?10:40之間通過(guò)的車輛數(shù)(結(jié)果保留到整數(shù)).

參考數(shù)據(jù)：若T?N(〃,Q2),則尸(M—b<TWM+b)=0.6826,

尸(M-2b<T<〃+2b)=0.9544,尸(M-3b<TWM+3b)=0.9974.

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在22,23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

22.選修4S：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

X=2yj3COSBc

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線。的參數(shù)方程"(4為參數(shù)).直線/的參數(shù)方程

y=2sin0

x=y/3+tcosa

a為參數(shù)).

y=1+fsina

(□)求曲線C在直角坐標(biāo)系中的普通方程;

(□)以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，當(dāng)曲線C截直線/所得線段的中

點(diǎn)極坐標(biāo)為(2,*J時(shí)，求直線/的傾斜角.

23.選修4-5：不等式選講

己知函數(shù)f(x)=|2x-3|+|2x-l|的最小值為”.

(1)若加，ne[-A7,M].求證：2|加+〃|,,|4+〃〃?|；

21

(2)若%Z?e(0,+a)).a+2b=M,求一+—的最小值.

ab

2021年高考學(xué)科基地押題卷10

數(shù)學(xué)

（本試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷

類型（B）填涂在答題卡的相應(yīng)位置上。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案。答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位

置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求

作答無(wú)效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單選題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的。

1.已知集合4=口|一1<、<3,xeN],3={C|CuA},則集合8中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【解析】

【分析】

先根據(jù)題意解出集合A,再根據(jù)題意分析3中元素為A中的子集，可求出.

【詳解】

解：因?yàn)榧?={劃一1<^<3,xeN},

所以A={0,1,2）,

因?yàn)?={C|CaA},

所以8中的元素為A的子集個(gè)數(shù)，即8有23=8個(gè)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合，集合子集個(gè)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

+j-016

2.已知。為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)z=（*—D+3+Di為純虛數(shù)，則竺;_=（）

1+i

A.1B.0

C.1+iD.1-i

【答案】D

【解析】

因?yàn)閦=(a?-l)+(a+l)i為純虛數(shù)，所以片一1=0,〃+170,得。=1,則有空1—=

1+i

1+i20161+12(l-i),

------=----=----------=1故選D.

1+i1+i(l+i)(l-i)

TT

3.已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足x=4°s,y=log53,z=sin(-+2),則()

A.z<xvyB.y<z<xC.z<y<xD.X<Z<y

【答案】C

［解析］X=4°5="〉1，0=log5\<y=log53<log55=1,

z=si〃［耳+2J<0

綜上所述，故z<y<x

故選C

4.如圖的折線圖是某公司2018年1月至12月份的收入與支出數(shù)據(jù)，若從6月至11月這6個(gè)月中

任意選2個(gè)月的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，則這2個(gè)月的利潤(rùn)（利潤(rùn)=收入-支出）都不高于40萬(wàn)的概率為

（）

【答案】B

【解析】

【分析】

從7月至12月這6個(gè)月中任意選2個(gè)月的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，基本事件總數(shù)〃=C；=15,由折線圖得

6月至11月這6個(gè)月中利潤(rùn)（利潤(rùn)=收入一支出）低于40萬(wàn)的有6月，9月，10月，由此即可得

到所求.

【詳解】

如圖的折線圖是某公司2017年1月至12月份的收入與支出數(shù)據(jù)，

從6月至11月這6個(gè)月中任意選2個(gè)月的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，

基本事件總數(shù)〃==15,由折線圖得6月至11月這6個(gè)月中利潤(rùn)（利潤(rùn)=收入一支出）不高于

40萬(wàn)的有6月，8月，9月，10月，

?1?這2個(gè)月的利潤(rùn)（利潤(rùn)=收入一支出）都不高于40萬(wàn)包含的基本事件個(gè)數(shù)m==6,

??.這2個(gè)月的利潤(rùn)（利潤(rùn)=收入一支出）都低于40萬(wàn)的概率為P=包=2=3，

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了古典概型，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

5.函數(shù)/（x）=（x2—4x+l）?，的大致圖象是（）

JIJ/

【答案】A

【解析】

【分析】

用x<0排除8,C；用％=2排除。；可得正確答案.

【詳解】

解：當(dāng)x<0時(shí)，X2-4%+1>0>ex>0>

所以/（x）>0,故可排除8,C；

當(dāng)x=2時(shí)，/（2）=-3/<0,故可排除D

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)圖象，屬基礎(chǔ)題.

6.安徽懷遠(yuǎn)石榴（PunicagranaWm）自古就有“九州之奇樹，天下之名果''的美稱，今年又喜獲豐

收.懷遠(yuǎn)一中數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行社會(huì)調(diào)查，了解到某石榴合作社為了實(shí)現(xiàn)100萬(wàn)元利潤(rùn)目標(biāo)，準(zhǔn)備

制定激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)超過(guò)6萬(wàn)元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y（單

位：萬(wàn)元）隨銷售利潤(rùn)X（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)3萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不能

超過(guò)利潤(rùn)的20%.同學(xué)們利用函數(shù)知識(shí)，設(shè)計(jì)了如下函數(shù)模型，其中符合合作社要求的是（）

（參考數(shù)據(jù):LOI5100a4.432,1g11?1.041）

r

A.y=0.04xB.y=1.015-lC.y=tan[j^-l]D,y=logn（3x-10）

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則，函數(shù)必須滿足：xe（6,100],增函數(shù)，y<3,y<0.2x

【詳解】

對(duì)于函數(shù)：y=0.04x,當(dāng)x=100時(shí)，y=4>3不合題意；

對(duì)于函數(shù)：y=1.015'-1,當(dāng)x=100時(shí)，y=3.432>3不合題意：

對(duì)于函數(shù)：y=tan（y1-1J,不滿足遞增，不合題意；

對(duì)于函數(shù)：y=logll（3x-10）,滿足：xe（6,100],增函數(shù)，

且yWlog”(3x100-10)=Iogu290<log”1331=3,結(jié)合圖象:

符合題意.

故選：D

【點(diǎn)睛】

此題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，關(guān)鍵在于弄清題目給定規(guī)則，依次用四個(gè)函數(shù)逐一檢驗(yàn).

7.已知正項(xiàng)等差數(shù)列僅“｝中，若4+4+4=15,若4+2,4+5,。3+13成等比數(shù)列，則

%。等于（）

A.21B.23C.24D.25

【答案】A

【解析】

?.?正項(xiàng)等差數(shù)列｛q｝中，。1+。2+。3=15,...。2=5/>0，?.?。1+2,。2+5,。3+13構(gòu)成等比數(shù)

列，即7-d,10,18+d構(gòu)成等比數(shù)列，依題意，有（7-d）（18+d）=100,解得d=2或d=T3

（舍去），；.a,。=%+（10—2）d=5+8x2=21,故選A.

8.如圖，在AABC中，若麗="，恁=5，阮=4麗，用。,5表示粉為（）

一11-——51-

A.AD=-a+-bB.AD=-a+-b

4444

—31-—51-

C.AD=-a+-bD.AD=-a——b

4444

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的加減法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算來(lái)表示即可得到結(jié)果.

【詳解】

AD^AB+BD^AB+-BC^AB+-（AC-AB\^-AB+-AC^-a+-b

44V74444

本題正確選項(xiàng)：C

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)向量的線性運(yùn)算，來(lái)利用已知向量表示所求向量；關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用向量的加減法

運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算法則.

22

9.如圖，6，K分別是雙曲線三—親■=1（。>0,0>0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)片（一近,0）的直線/與

雙曲線分別交于點(diǎn)A3,若A43E為等邊三角形，則雙曲線的方程為（）

A5/5/2

B.---/=1

7286-

c.y=1D5%25y21

287

【答案】C

【解析】

根據(jù)雙曲線的定義，可得|AFiHAF2|=2a,

???△ABF2是等邊三角形,即|AF2|=|AB|

.'.|BFi|=2a

又：|BF2HBFi|=2a,

.,.|BF2|=|BFi|+2a=4a,

「△BF1F2中，|BFi|=2a,|BF2|=4a,ZFIBF2=120°

??.|F|F2|2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF#|BF21cos120。

4c2=4a2+l6a2-2x2ax4ax(--))=28a2,

2

解得c2=7a2,又。=近所以/=1,戶=6方程為總=1

故選C

點(diǎn)睛：本題主要考查雙曲線的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了余弦定理解三角形，根據(jù)條件求出a,b

的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

10.《九章算術(shù)》卷七一盈不足中有如下問題：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不

足三.問人數(shù)、羊價(jià)各幾何？”翻譯為：“現(xiàn)有幾個(gè)人一起買羊，若每人出五錢，還差四十五錢，若每

人出七錢，還差三錢，問人數(shù)、羊價(jià)分別是多少”.為了研究該問題，設(shè)置了如圖所示的程序框圖，

若要輸出人數(shù)和羊價(jià)，則判斷框中應(yīng)該填（）

A.左>20B.k>2\

C.k>22D.A：>23

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)程序框圖確定表示的含義，從而可利用方程組得到輸出時(shí)x的值，從而得到輸出時(shí).A的取

值，找到符合題意的判斷條件.

【詳解】

由程序框圖可知，X發(fā)示人數(shù)，y表示養(yǎng)價(jià)

5%+45=y

該程序必須輸出的是方程組《.的解，則x=21

y=3+7x

.?M=21時(shí)輸出結(jié)果..?判斷框中應(yīng)填左>20

本題正確選項(xiàng)：A

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)循環(huán)框圖輸出結(jié)果填寫判斷框內(nèi)容的問題，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確判斷出輸出結(jié)果時(shí)攵的取

值，屬于?？碱}型.

11.已知一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體，被一個(gè)平面截后所得的幾何體的三視圖如圖所示，則該幾

何體的體積是()

閭“陽(yáng)

917

A.6B.一D.

2T

【答案】D

【解析】該幾何體是正方體截去一個(gè)三棱臺(tái)所得,

故選D.

l+lnx,O<x<l

12.已知函數(shù)'I，若方程/2(x)—(l+a)/(x)+a=O恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)

—r，%>l

[2X-'

根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

A.(-oo,0)B.((),+<?)C.(l,+oo)D.(0,1)

【答案】D

【解析】

【分析】

/⑴一(i+a)/(x)+a=o等價(jià)于=a或〃力=1,由〃x)=l有唯一解可得=a有

兩個(gè)不同的根，轉(zhuǎn)化為y=/(x),y=a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.

【詳解】

/2(x)-(l+a)/(x)+a=0可變形為[/(x)-l]=0,

即/(力=?；?(尤)=1,

由題可知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+8),當(dāng)XG(0,l］時(shí),

函數(shù)/(X)單調(diào)遞增：當(dāng)X€(l,+8)時(shí)，函數(shù)/(X)單調(diào)遞減,

畫出函數(shù)/(X)的大致圖象，如圖所示，

當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，/(x)=l，

因?yàn)榉匠?*2(x)-(l+a)/(x)+a=0恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

所以=a恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

即〉=/(力，>=。的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),

由圖可知0<a<l時(shí)，>=/(x),y=a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為(0,1)，故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查分段函數(shù)的解析式、方程的根與函數(shù)圖象交點(diǎn)的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,

屬于難題.函數(shù)零點(diǎn)的幾種等價(jià)形式：函數(shù)y=/(x)-g(x)的零點(diǎn)o函數(shù)y=/(x)-g(x)在x

軸的交點(diǎn)。方程/(x)-g(x)=0的根。函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的交點(diǎn).

第H卷(非選擇題)

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中的橫線上。

13.在數(shù)列｛0“｝中，qwO,=2a“T(〃N2,〃eN*),前〃項(xiàng)和為S“，則&

【答案】—

2

【解析】由題意可得烏~=2,故數(shù)列｛a。｝為等比數(shù)列，且公比q=2,

an-\

4

故%=1—q_l-q4_15

a2a、q<7(l-q)2

故答案為：—

2

14.設(shè)x>O,y>0,x+2y=2,則孫的最大值為.

【答案】-

2

【解析】

【分析】

己知x>0，y〉0，x+2y=2,直接利用基本不等式轉(zhuǎn)化求解d的最大值即可.

【詳解】

X〉0，>,>0,x+2y..2回，即2..2廊，兩邊平方整理得孫,，；，

當(dāng)且僅當(dāng)x=l,y=!時(shí)取最大值?；

-22

故答案為：一

2

【點(diǎn)睛】

本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，注意基本不等式成立的條件.

15.設(shè)曲線y='在點(diǎn)(U)處的切線與曲線,=6'+1在點(diǎn)P處的切線垂直，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

X

【答案】(0,2)

【解析】

【分析】

分別求出y=-,y=e*+l的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義及切線垂直可求.

X

【詳解】

設(shè)P(X。,%),因?yàn)閥=L的導(dǎo)數(shù)為了=--V，所以曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線的斜率為一1；因

X廣X

為y=e*+1的導(dǎo)數(shù)為y'=e',曲線y=e*+1在點(diǎn)P處的切線斜率為蟆，所以(一1)xe'"=-1,

解得小=0,代入y=e'+l可得%=2,故尸(0,2).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)解決曲線的切線問題一般是考慮導(dǎo)數(shù)的兒何意義，側(cè)重考

查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

16.已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)M5,2揚(yáng)（玉）4）是拋物線。上一點(diǎn)，

以M為圓心的圓與線段ME相交于點(diǎn)A，且被直線x=]■截得的弦長(zhǎng)為百若

償=2,貝iJ|AF|=

\AF\

【答案】1

44

【解析】將M點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程得8=2px0,解得/=一，即M—,2,r2

P

--P-+（20）2,由于|M4|為圓的半徑，而叫=g|也叫，所以NOME=T，

P2J~

ZBDM=—,—=gpA_￡=l+（20丫,兩邊

6P223p23Hp2）'）

【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查圓和直線的位置關(guān)系，考查特殊的等腰三角形

中解三角形的方法.首先M點(diǎn)是在拋物線上的，坐標(biāo)滿足拋物線的方程，由此求得乙的坐標(biāo)，然后

根據(jù)直線截圓所得弦長(zhǎng)，得到M點(diǎn)橫坐標(biāo)和圓半徑的關(guān)系，由此列方程求解出夕的值.

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21

題為必做題,每個(gè)考生都必須作答.第22/23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分

44

17.在銳角三角形ABC中，BC=1,AB=C，sin(萬(wàn)-B)=

4~

(1)求AC的值;

(2)求sin(A-B)的值.

【答案】(1)72(2)—世

8

【解析】

【分析】

(1)由三角形ABC為銳角三角形，根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)sin(萬(wàn)-8)=乎，即可求出sinB的值，再利用同

角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosB的值，山AB,BC及cosB的值，利用余弦定理即可求出AC的長(zhǎng)；

(2)由BC,AC及s加8的值，利用正弦定理求出sinA的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出

cosA的值，然后利用兩角差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)sin(A-B)后，把各自的值代入即可求出值.

【詳解】

解：(1)?.?△ABC為銳角三角形，sin(萬(wàn)一8)=理

..V14

..sin3D—---

4

cosB—Jl-sin，B-.11

V164

?.?在△ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB-5CcosB

=(V2)2+l2-2xV2xlx—=2

4

：.AC=y/2

(2)在"BC中，由正弦定理得匹"=""

sinAsinB

1V14

得.“BCxsinBI',近

sinA=---------=——-——

ACV24

cosA=Jl-sin2A-3

4

sin(A-3)=sinAcos8-cosAsin8=2^ZX^--—

44448

【點(diǎn)睛】

此題考查了三角函數(shù)的恒等變形,正弦定理及余弦定理，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵.

18.如圖，在四棱錐P—ABCD中，P4,平面ABCO,底面ABC。是菱形，PA=AB=2,

ZBAD=60°.

(□)求證：直線皮＞_L平面PAC；

(□)求直線PB與平面尸AO所成角的正切值；

(□)設(shè)點(diǎn)M在線段PC上，且二面角C—MB—A的余弦值為2,求點(diǎn)M到底面A8CO的距

7

離.

【答案】(口)證明見解析；(匚)@5；()；.

52

【解析】

【分析】

(口)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；

()建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得直線的方向向量和平面的法向量，然后求解線面角的正切值即

可；

()設(shè)兩'=%前，由題意結(jié)合空間直角坐標(biāo)系求得；I的值即可確定點(diǎn)M到底面A6CD的距離.

【詳解】

()由菱形的性質(zhì)可知8D_LAC,

由線面垂直的定義可知：BDA.AP，且APcAC=A，

由線面垂直的判定定理可得：直線平面PAC；

（）以點(diǎn)/為坐標(biāo)原點(diǎn)，/O/P方向?yàn)閥軸,z軸正方向，如圖所示，在平面45C。內(nèi)與4。垂直的

方向?yàn)閤軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-型，

則：P（0,0,2）,B（V3,l,0）,A（0,0,0）,D（0,2,0）,

則直線尸8的方向向量而=（右,1,一2）,很明顯平面PAD的法向量為沅=0,0,0），

設(shè)直線P8與平面E4D所成角為。，

卅in"PBm_垂＞V5csin。GV15

|P4x網(wǎng)V8xlcos。＞/55

（）設(shè)加（蒼丁"），且加=2卮（0V4W1）,

由于P（0,0,2）,C（在3,0）,網(wǎng)6,1,0）,4（0,0,0）,

X—yj?＞A,

故：（x,y,z-2）=4（63,—2）,據(jù)此可得：＜y=32,

z——22+2

即點(diǎn)M的坐標(biāo)為22+2）,

設(shè)平面CMB的法向量為：“=（5,y,ZI）,則：

^'-CB=（x1,y1,z1）.（O,-2,O）=-2y1=0

I?礪=（司，為4＞（七一岳』一3424-2）=0'

據(jù)此可得平面CMB的一個(gè)法向量為：1=（2,0,、6）,

設(shè)平面A/A4的法向量為：n,=（x2,^2,z2）,則：

%,AB=(xj,y2,z2)45^,l,oj=y]3x2+y2=0

^?Mfi=(x2,y2,z2)-(V3-^A,l-3A,22-2)-0

據(jù)此可得平面MBA的一個(gè)法向量為:n2=1,一百,

c32

2+------5

二面角C—MB—A的余弦值為2,故:1—之

3A27,

7V7xJl+3+

(1—4)2

整理得14^2—194+6=0，

解得：2=-^2=-.

27

2

由點(diǎn)M的坐標(biāo)易知點(diǎn)M到底面48CD的距離為1或者鼻.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線面垂直的判定定理，空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，立體幾何中的探索問題等知

識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

22

19.設(shè)橢圓C:j+2r=1（a〉b〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為百、月，過(guò)工的直線交橢圓于A,B

ab

兩點(diǎn)，若橢圓C的離心率為:，AABF；的周長(zhǎng)為8.

（□）求橢圓C的方程；

（□）己知直線/：丁=丘+2與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)％使得以MN為直徑的圓

恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出女的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（匚）—+^-=1（!：）存在，k=±-y[3

433

【解析】

【分析】

（D根據(jù)橢圓離心率、橢圓的定義列方程組，解方程組求得a,Ac的值，進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程.

(II)設(shè)出M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線/的方程和橢圓方程，計(jì)算判別式求得攵的取值范圍，并寫

出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)得到麗■.麗=0，由此得到XW+M%=。，由此列方程，

解方程求得人的值.

【詳解】

cl

Q=2

a222

(I)由題意知＜4。=8b=#),所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是工+匕=「

,43

a2+b2=c2c=\

(II)假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)k,使得以MN為宜徑的圓恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn).

卜--1

設(shè)M(XI,y)、N(x2,y2),聯(lián)立方程組彳43，

y-kx+2

消去y得(3+4左2)/+16日+4=0,

由題意知，斗是此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)解，

所以△=(1662-16(3+4%2)>0,解得女>,或&<一,，

22

一，4—16k

所以中2=彳記，內(nèi)+“

又因?yàn)橐訫N為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，所以麗?麗=0,所以西々+乂%=。，

而乂%=(例+2)(柘+2)=+22(%+/)+4,

2232

:.xix2+yly2=(\+k^xix2+2k(xl+x2)+4=0,BP(l+Zr)—f_+~^<+4=o,解得

k=+—V3-

3

故存在這樣的直線使得以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn).

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查圓的幾何性質(zhì)，考查運(yùn)算

求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

20.設(shè)函數(shù)f(x)=x2-a(\nx+1).

(1)當(dāng)Q=1時(shí)，求)=/(幻在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程；

(2)當(dāng)”>|時(shí)，判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間是否存在零點(diǎn)？并證明.

【答案】(1)y=x—1：⑵函數(shù)/(X)在(0,電)上存在零點(diǎn)，證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)求導(dǎo)，求出/即可求解；

(2)根據(jù)/'(x)的正負(fù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可求解.

【詳解】

ZA2

函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?0,-w),f'(x)=2x--=絲二巴.

XX

12r2—1

(1)當(dāng)〃=1時(shí)一，/(x)=x2-lnx-l,f'(x)=2x--^—~

XX

又/⑴=0,切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),切線斜率為％=r(i)=i,

所以切線方程為y=x-1：

(2)當(dāng)xe。嗜J時(shí)，f'(x)=2x~a<0,

所以/(x)在［，器)上單調(diào)遞減，

-2a-2+a2>0,

所以函數(shù)/（X）在上存在零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)零點(diǎn)的

存在性的判斷，屬于中檔題

21.2019年春節(jié)期間，我國(guó)高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速免費(fèi)政策某路橋公司為掌握春節(jié)期間

車輛出行的高峰情況，在某高速收費(fèi)點(diǎn)處記錄了大年初三上午9:20?10:40這一時(shí)間段內(nèi)通過(guò)的車

輛數(shù)，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這一時(shí)間段內(nèi)共有600輛車通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)，它們通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的頻率分布直

方圖如圖所示，其中時(shí)間段9:20?9：40記作區(qū)間［20,40）,9:40?10:00記作［40,60）,10:00?

10:20記作［60,80),10:20?10:40記作［80,100］.比方：10點(diǎn)04分,記作時(shí)刻64.

（1）估計(jì)這600輛車在9:20~10:40時(shí)間段內(nèi)通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；

（2）為了對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再?gòu)倪@10輛車中

隨機(jī)抽取4輛，記X為9:20?10:00之間通過(guò)的車輛數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（3）由大數(shù)據(jù)分析可知，車輛在春節(jié)期間每天通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻T服從正態(tài)分布N（M，/）,其

中〃可用這600輛車在9:20~10:40之間通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值近似代替，人可用樣本的方

差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表），已知大年初五全天共有1000輛車通過(guò)該

收費(fèi)點(diǎn)，估計(jì)在9:46?10:40之間通過(guò)的車輛數(shù)（結(jié)果保留到整數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：若T?N（〃,q2）,則。（〃一b<T<4+b）=0.6826,

P（2cr<TW〃+2b）=0.9544,P（//-3（T<T<x/+3cr）=0.9974.

【答案】（1）10點(diǎn)04分；（2）詳見解析；（3）819輛.

【解析】

【分析】

(1)用每組中點(diǎn)值乘以頻率，然后相加，得到平均值.(2)先用分層抽樣的知識(shí)計(jì)算出10量車中

位于［20,60)的車輛數(shù)，然后利用超幾何分布的知識(shí)計(jì)算出分布列，并求得數(shù)學(xué)期望.(3)由(1)

可知〃=64,計(jì)算出方差b?和標(biāo)準(zhǔn)差利用正態(tài)分布的對(duì)稱性，計(jì)算出在9:46?10:40這一時(shí)

間段內(nèi)通過(guò)的車輛的概率，乘以1000得到所求車輛數(shù).

【詳解】

解：(1)這600輛車在9:20?10:40時(shí)間段內(nèi)通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值為

(30x0.005+50x0.015+70x0.020+90x0.010)x20=64,即10點(diǎn)04分。

(2)結(jié)合頻率分布直方圖和分層抽樣的方法可知：抽取的10輛車中，在10:00前通過(guò)的車輛數(shù)就

是位于時(shí)間分組中在［20,60)這一區(qū)間內(nèi)的車輛數(shù)，即(0.005+0.015)x20x10=4,所以X的可

能取值為0,1,2,3,4。

所以尸(X=0)=旨=(,