幾何教學(xué)講座

空間與圖形教學(xué)的核心詞是“刻畫圖形”“空間觀念”“推理能力”即學(xué)生在學(xué)習(xí)如何“刻畫圖形”的基礎(chǔ)上，發(fā)展“空間觀念”和“推理能力”。第一頁第二頁，共149頁?？臻g觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。第二頁第三頁，共149頁。兒童形成空間觀念的主要心理特點

（1）直觀性

“閉合的區(qū)域”往往比“開放的區(qū)域”更為直觀。如對三角形的性質(zhì)理解可能會比對角的性質(zhì)認識更容易；對周長的理解可能會比面積更容易。正如我們聽到許多教師上《面積與面積單位》時，總是讓學(xué)生通過自己的手的觸摸來體驗“面”的大小，并與周長作出對比，逐步獲得對“面積”的理解。第三頁第四頁，共149頁。（2）描述性學(xué)生往往傾向于用日常用語來描述幾何概念，一般說來，他們尚不能運用精確語言來刻畫數(shù)學(xué)概念，如果用嚴格的定義來刻畫，他們往往難以理解。如“圓”：到一個定點距離等于定長的所有點的軌跡。第四頁第五頁，共149頁。（3）漸進性

一年級時，學(xué)生只能辨認長方形、正方形、三角形、圓形的形狀；二、三年級時，學(xué)生不僅能辨認長方形、正方形、梯形、平行四邊形等平面圖形，還能從這些圖形的基本性質(zhì)上分析，并對圓柱和球也有了初步的認識；到了四、五年級，能深入地分析圖形的性質(zhì)及關(guān)系；而到了六年級，學(xué)生則能較好地掌握立體圖形的特征?？梢妼W(xué)生對圖形的掌握及空間觀念的發(fā)展都是一個漸變的過程。第五頁第六頁，共149頁。（4）偏重于明顯特征

對“角”的本質(zhì)屬性的認識，往往會集中在組成角的兩條邊的長短上，而忽視兩條邊的“張開”程度，也是因為邊的長短的視覺刺激明顯要大于兩條邊的“張開”程度。如果拿一個放大鏡看角時，角的大小怎樣時，學(xué)生居然說角會變大。第六頁第七頁，共149頁。（5）偏重于單個要素幾何圖形分為單個要素和要素之間關(guān)系兩個方面。小學(xué)生容易觀察圖形中的單個要素，而當圖形的特征反映要素間的關(guān)系時，他們就感到比較困難。例如對長方形、正方形、平行四邊形的特點比較容易理解，但對他們之間的關(guān)系往往不容易理解。第七頁第八頁，共149頁。（6）從標準圖形到變式圖形

一位老師在上《三角形的認識》時，為了讓學(xué)生更好地理解“高”的概念，她先從一個正放的三角形入手，讓學(xué)生畫高；接著她把這個三角形旋轉(zhuǎn)一下，變成倒放的三角形了，問學(xué)生這還是不是三角形的高，學(xué)生就覺得它不是高了?？梢妼W(xué)生對圖形的識別還僅僅依賴于標準形式，一旦變成了“變式圖形”，學(xué)生識別起來就比較困難了。第八頁第九頁，共149頁。（7）偏重對稱圖形（8）從二維空間到三維空間第九頁第十頁，共149頁?！皥D形與幾何”的主要內(nèi)容有：空間和平面基本圖形的認識，圖形的性質(zhì)、分類和度量；圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、相似和投影；平面圖形基本性質(zhì)的證明；運用坐標描述圖形的位置和運動。第十頁第十一頁，共149頁。圖形與幾何加強：1、測量（估測）

如：能用方格紙估計不規(guī)則圖形的面積。2、物體空間位置的確定。3、二維與三維圖形間的轉(zhuǎn)換（三視圖、展開圖）削弱：單純的平面圖形周長、面積、體積等計算。（不能有效發(fā)展空間觀念）第十一頁第十二頁，共149頁。一年級上冊初步認識長方體、正方體、圓柱和球等立體圖形以及長方形、正方形、三角形、圓等平面圖形一年級下冊位置，圖形的拼組二年級上冊角的初步認識、直角的認識，觀察物體（一個物體）軸對稱、鏡面對稱二年級下冊銳角與鈍角、平移與旋轉(zhuǎn)三年級上冊四邊形、平行四邊形，長正方形的周長、估計三年級下冊位置與方向（八個），面積和面積單位、長正方形的面積計算、面積進率、地積四年級上冊角的度量、分類、畫角，垂直與平行、平行四邊形和梯形四年級下冊位置與方向（方向角度距離），三角形的特性、分類、內(nèi)角和、圖形的拼組五年級上冊觀察位置（兩個物體），平行四邊形、三角形、梯形、組合圖形的面積計算五年級下冊圖形的變換、軸對稱、旋轉(zhuǎn)，長正方體的認識、表面積、體積、體積單位、容積和容積單位六年級上冊位置（數(shù)對），圓的認識、周長、面積、圓環(huán)六年級下冊圓柱、圓錐的認識、表面積、體積，圖形的放大與縮小第十二頁第十三頁，共149頁。圖形的認識圖形的測量圖形的變換圖形與位置一年級上冊初步認識長方體、正方體、圓柱和球等立體圖形以及長方形、正方形、三角形、圓等平面圖形一年級下冊圖形的拼組長度單位上下、前后、左右、位置二年級上冊角的初步認識、直角的認識觀察物體（一個物體）軸對稱、鏡面對稱二年級下冊銳角與鈍角平移與旋轉(zhuǎn)三年級上冊認識四邊形平行四邊形、長正方形的周長、估計三年級下冊面積和面積單位、長正方形的面積計算、面積進率、地積位置與方向（八個）四年級上冊垂直與平行、平行四邊形和梯形的認識角的度量、分類、畫角，四年級下冊三角形的特性、分類、內(nèi)角和、圖形的拼組位置與方向（方向角度距離），五年級上冊平行四邊形、三角形、梯形、組合圖形的面積計算觀察位置（兩個物體）五年級下冊長正方體的認識、表面積、體積、體積單位、容積和容積單位圖形的變換、軸對稱、旋轉(zhuǎn)，六年級上冊圓的認識、圓環(huán)圓的周長、面積位置（數(shù)對）六年級下冊圓柱、圓錐的認識圓柱、錐的表面積、體積，圖形的放大與縮小第十三頁第十四頁，共149頁。直觀幾何：平面圖形，立體圖形的認識

度量幾何：求面積、體積的問題

演繹幾何：三角形的兩邊之和大于第三邊運動幾何：平移、旋轉(zhuǎn)、對稱、放大、縮小，變換坐標幾何：位置

實際上是從不同角度刻畫圖形，包括圖形的形狀、大小、位置和運動，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。第十四頁第十五頁，共149頁。圖形的認識教學(xué)策略第十五頁第十六頁，共149頁。圖形的認識一年級上冊初步認識長方體、正方體、圓柱和球等立體圖形以及長方形、正方形、三角形、圓等平面圖形一年級下冊圖形的拼組二年級上冊角的初步認識、直角的認識二年級下冊銳角與鈍角三年級上冊認識四邊形四年級上冊垂直與平行、平行四邊形和梯形的認識四年級下冊三角形的特性、分類、內(nèi)角和、圖形的拼組五年級下冊長正方體的認識、六年級上冊圓的認識、圓環(huán)六年級下冊圓柱、圓錐的認識看教材第十六頁第十七頁，共149頁。一、抓住圖形的認識的內(nèi)容主線1.從立體到平面再到立體2.從生活中的實物抽象出圖形到應(yīng)用于生活3.從直觀辨認圖形到操作探索圖形的特征4.從直邊圖形到曲邊圖形5.從靜態(tài)到動態(tài)第十七頁第十八頁，共149頁。二、設(shè)計豐富的素材促進學(xué)生進行平面和立體的轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化的內(nèi)容主要有：立體圖形的展開與平面圖形的折疊；從正面、側(cè)面、上面等觀察立體圖形得到平面圖形與根據(jù)觀察到的圖形還原立體圖形；長方形繞長或?qū)捫D(zhuǎn)一周形成圓柱“切割”得到長方形，直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周形成圓錐與圓錐“切割”得到三角形。第十八頁第十九頁，共149頁。圖形之間的轉(zhuǎn)換第十九頁第二十頁，共149頁。生活的經(jīng)驗圖形之間的轉(zhuǎn)換第二十頁第二十一頁，共149頁。圖形之間的轉(zhuǎn)換平面圖形之間的轉(zhuǎn)換。第二十一頁第二十二頁，共149頁。來源：人教版配套五年級暑假作業(yè)思考題：一個梯形，如果上底增加4cm，就變成一個平行四邊形；如果上底減少3cm，就成了一個三角形，這時面積比原來減少了7.5平方厘米。原來這個梯形的面積是多少平方厘米？第二十二頁第二十三頁，共149頁。圖形之間的轉(zhuǎn)換二維和三維之間的轉(zhuǎn)換。第二十三頁第二十四頁，共149頁。在下列圖形中，哪兩條線段是相互平行的？哪兩條線段是相互垂直的？第二十四頁第二十五頁，共149頁。在下列圖形中，哪兩條線段是相互平行的？哪兩條線段是相互垂直的？七巧板長方體第二十五頁第二十六頁，共149頁。一條線段長5厘米，以每秒10厘米的速度向右平移，3秒鐘后，線段掃過的部分的面積是多少？第二十六頁第二十七頁，共149頁。觀點與啟示

GUANDIANYUQISHI學(xué)習(xí)開始的地方不一定在課堂？重視日常生活中圖形與圖形之間的轉(zhuǎn)換，這些基本的活動經(jīng)驗積累為學(xué)校課堂數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是奠定基礎(chǔ)。轉(zhuǎn)換并不一定是在一個維度上？一維、二維和三維之間的相互轉(zhuǎn)換，恰是發(fā)展學(xué)生空間觀念的有益舉措。第二十七頁第二十八頁，共149頁。三、注重使學(xué)生體會圖形與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系第二十八頁第二十九頁，共149頁。欣賞：建筑中的圖形。2010世博會陽光谷2008奧運會水立方第二十九頁第三十頁，共149頁。欣賞：建筑中的圖形。香港中銀大廈美國五角大樓第三十頁第三十一頁，共149頁。四、鼓勵學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、想象、推理、表達等活動先觀察——猜想——操作驗證——表達特征第三十一頁第三十二頁，共149頁。當你把一張長方形的紙裁成一個正方形時，你想過這里面有幾何知識嗎？第三十二頁第三十三頁，共149頁。三角形內(nèi)角和練習(xí)題老師撕了4個不同的三角形，分別為等邊三角形、等腰三角形、直角三角形和三條邊等不相等的三角形，得到12個角，分別為60度、20度、80度、110度、40度、90度、60度、50度、70度、60度、50度、30度。這四個三角形每個角分別是多少度？第三十三頁第三十四頁，共149頁。分類是一種重要的數(shù)學(xué)思想。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中經(jīng)常會遇到分類問題，如數(shù)的分類，圖形的分類，代數(shù)式的分類，函數(shù)的分類等。在研究數(shù)學(xué)問題中，常常需要通過分類討論解決問題，分類的過程就是對事物共性的抽象過程。教學(xué)活動中，要使學(xué)生逐步體會為什么要分類，如何分類，如何確定分類的標準，在分類的過程中如何認識對象的性質(zhì)，如何區(qū)別不同對象的不同性質(zhì)。通過多次反復(fù)的思考和長時間的積累，使學(xué)生逐步感悟分類是一種重要的思想。學(xué)會分類，可以有助于學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識，有助于分析和解決新的數(shù)學(xué)問題。五、重視圖形分類的價值第三十四頁第三十五頁，共149頁。引導(dǎo)學(xué)生借助操作思考下面的問題：哪些東西可以滑動，哪些東西可以滾動？哪些是平的，哪些是曲的？哪些是直的變？哪些是曲的邊？哪些面是方形的，那些面是三角的，那些面是圓的？哪些有點或角，哪些沒有？第三十五頁第三十六頁，共149頁。六、鼓勵學(xué)生從動態(tài)的角度認識圖形第三十六頁第三十七頁，共149頁。小魔術(shù)(剪一剪)：活動要求：每個圖形只許剪一刀。1、將平行四邊形剪成兩個圖形，其中一個為梯形。2、將梯形剪成兩個圖形，其中一個為平行四邊形。3、將任意四邊形剪成兩個圖形，其中一個為梯形。4、將梯形剪為兩個三角形。5、將三角形剪成一個梯形和一個三角形。圓（課件）圓（教案）平行第三十七頁第三十八頁，共149頁。圖形的測量的教學(xué)策略第三十八頁第三十九頁，共149頁。圖形的測量一年級下冊長度單位三年級上冊平行四邊形、長正方形的周長、估計三年級下冊面積和面積單位、長正方形的面積計算、面積進率、地積四年級上冊角的度量、分類、畫角，五年級上冊平行四邊形、三角形、梯形、組合圖形的面積計算五年級下冊表面積、體積、體積單位、容積和容積單位六年級上冊圓的周長、面積六年級下冊圓柱、錐的表面積、體積，看教材第三十九頁第四十頁，共149頁。重視建立測量單位的必要性，注重單位的實際意義，重視估測及其在現(xiàn)實生活中的作用，同時鼓勵學(xué)生在測量過程中，根據(jù)實際問題選擇合適的測量方法和工具。第四十頁第四十一頁，共149頁。一、在具體情境中，注重對所測量的量的實際意義的理解10cm6cm生：我發(fā)現(xiàn)它們的大小不一樣，但是它們的面積應(yīng)該是一樣的。教學(xué)中應(yīng)該重視結(jié)合一些具體的情境，使學(xué)生對所要測量的量（如長度、周長、面積、體積）的實際意義加以體會。第四十一頁第四十二頁，共149頁。小明用同樣長的兩根鐵絲圍成了甲乙兩個圖形，比較它們的面積，那么（）。A.甲比乙大B.乙比甲大C.一樣大D無法比較第四十二頁第四十三頁，共149頁。學(xué)生在觀察圖形時，往往是圖形的邊線和圖形的面同時看到，不易剝離。在一般情況下，學(xué)生遇到的例子都是周長大的面積就大。教學(xué)中往往強調(diào)公式，不夠重視對周長和面積意義的理解。第四十三頁第四十四頁，共149頁。教學(xué)中，教師應(yīng)設(shè)計豐富多彩的活動，使學(xué)生對周長、面積、體積等所測量的量有比較豐富的體驗，而不是很快進入到公式的學(xué)習(xí)。如：描一描圖形的邊線、摸一摸圖形的面等活動。教材在長、正方形周長學(xué)完之后，直到圓才又一次探索圓的周長，可以在學(xué)習(xí)三角形、平行四邊形時，有意識地讓學(xué)生求一求周長，將二者加以區(qū)分。教師可以設(shè)計一些實際問題，鼓勵學(xué)生根據(jù)實際問題及對周長和面積的理解，選擇是用周長還是用面積來解決實際問題，第四十四頁第四十五頁，共149頁。比較距離。B第四十五頁第四十六頁，共149頁。比較周長。第四十六頁第四十七頁，共149頁。圖形的面積與周長變化下圖中的小方格每邊長表示1分米，在圖1的基礎(chǔ)上，增加了2個小方格（如圖2,圖3），整個圖的面積分別增加了多少？周長增加了多少？圖1圖2圖3第四十七頁第四十八頁，共149頁。增加一個小正方體，表面積比原來增加還是減少？第四十八頁第四十九頁，共149頁。拿掉一個小立方塊，表面積比原來增加還是減少？第四十九頁第五十頁，共149頁。觀點與啟示

GUANDIANYUQISHI不作具體計算而比較面積的大小和距離的長短，是空間知覺能力的反應(yīng)。比較大小和長短，不是單憑視覺所做的判斷，而是借助具有參照意義的單位來判斷，或者找到相互之間的關(guān)系來判斷。在變化中，尋找變與不變的數(shù)量，既是空間知覺的鍛煉，也是辯證關(guān)系的滲透。第五十頁第五十一頁，共149頁。二、經(jīng)歷用不同方式進行測量的過程，體會測量的意義第五十一頁第五十二頁，共149頁。教學(xué)中，教師可以設(shè)計一些活動，使學(xué)生體會到度量的意義。實際上測量的一個基本想法是：首先要有一個單位，為了交流，這個單位要統(tǒng)一；其次是用通的單位，一個單位一個單位去量；在量的過程中，要滿足一定的性質(zhì)：如可加性。教師應(yīng)提供大量實際測量的機會，鼓勵學(xué)生選擇不同的方法進行測量，并在彼此交流的過程中體會到建立統(tǒng)一的測量單位的必要性。這些活動應(yīng)在測量長度、測量面積、體積、角度中不斷設(shè)計滲透。第五十二頁第五十三頁，共149頁。第五十三頁第五十四頁，共149頁。第五十四頁第五十五頁，共149頁。第五十五頁第五十六頁，共149頁。1、請每個小組選擇一種你們認為合適的圖形嘗試作為面積單位，去測量下面長方形的面積，看看長方形的面積有幾個這樣的圖形？2、思考并討論：哪個圖形作為面積單位比較合適？被測對象：嘗試面積單位圖形：實驗要求：第五十六頁第五十七頁，共149頁。無法確定用測量用測量用測量用測量16個長方形16個三角形18個正方形8個正方形第五十七頁第五十八頁，共149頁。三、借助熟悉的事物體會單位的實際意義學(xué)生需要通過實際活動建立對測量單位實際意義的體驗。比如，生活中哪些物體的長度大約是1米，哪些物體表面的面積大約是1平方米，哪些物體的體積大約是1立方米。第五十八頁第五十九頁，共149頁。1平方分米1平方米1平方厘米常用的面積單位：第五十九頁第六十頁，共149頁。對測量單位的體驗把能想到的長度、面積、體積單位盡可能列出來，并按照測量的特征將這些單位分類。對于每個單位，試著想出一些與這個單位大小相近的物體的例子。鼓勵學(xué)生觀察生活中的物體，對某一物體的多種測量屬性加以分析，并分別將它們與標準測量單位機型比較。第六十頁第六十一頁，共149頁。四、選擇適當?shù)臏y量單位和工具進行測量，積累測量的經(jīng)驗學(xué)生學(xué)習(xí)測量的一個重要目的是能在實際的測量過程中運用這些知識，而完整的測量過程絕不僅僅等同于根據(jù)刻度記錄下測量結(jié)果，它還包括根據(jù)實際問題選擇合適的測量工具。第六十一頁第六十二頁，共149頁。四、選擇適當?shù)臏y量單位和工具進行測量，積累測量的經(jīng)驗學(xué)生應(yīng)在親身實踐中積累選擇測量單位和測量工具的經(jīng)驗。在測量的學(xué)習(xí)時，應(yīng)始終重視估測的重要性。如讓學(xué)生測教室的面積。第六十二頁第六十三頁，共149頁。五、探索基本圖形的周長、面積、體積公式，并能應(yīng)用公式解決實際問題讓學(xué)生經(jīng)歷基本圖形的周長、面積、體積等的計算方法的探索過程。第六十三頁第六十四頁，共149頁。第六十四頁第六十五頁，共149頁。第六十五頁第六十六頁，共149頁。第六十六頁第六十七頁，共149頁。平行四邊形的面積推導(dǎo)第六十七頁第六十八頁，共149頁。平行四邊形的面積推導(dǎo)一般的特殊的第六十八頁第六十九頁，共149頁。為了轉(zhuǎn)化成長方形，所以要沿著高剪。是不是不同形狀的平行四邊形都可以沿高剪呢？所以需要提出特殊的情況。為什么要介紹平移這種方法呢？（參見傅種孫數(shù)學(xué)教育文選，人民教育出版社）平行四邊形的面積第六十九頁第七十頁，共149頁。三角形中的直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形，哪一個更一般？三角形的高另一意義：任何一個三角形一作高，就能把它轉(zhuǎn)化成2個直角三角形；學(xué)生怎么會想到用兩個完全一樣的三角形去拼出一個平行四邊形？一個三角形是否能夠轉(zhuǎn)化？《三角形的面積》第七十頁第七十一頁，共149頁。綠色和藍色的面積哪個大？圖形的組合與推理：第七十一頁第七十二頁，共149頁。圖形的面積推理：

紅色與綠色的面積哪個大？第七十二頁第七十三頁，共149頁。下圖中，長方形的長和寬分別為40厘米和25厘米，一個直徑為4厘米的圓沿長方形內(nèi)壁無滑動地滾動一周，求圓滾過的部分的面積。第七十三頁第七十四頁，共149頁。有關(guān)形體的面積體積計算：

第七十四頁第七十五頁，共149頁?！纠恳粔K邊長30厘米的正方形鐵皮，像下圖那樣從4個角切掉邊長5厘米的正方形，然后做成盒子。這個盒子的容積有多少毫升？第七十五頁第七十六頁，共149頁。

任務(wù)一：鋪地毯任務(wù)瑪麗想要為她的臥室鋪上地毯，臥室長15米，寬8米，她需要購買多少平方米的地毯。

任務(wù)二：籬笆任務(wù)老師所教的班級要為春季科技展飼養(yǎng)白兔，他們有24米籬笆用于修建一個飼養(yǎng)兔子的長方形圍欄。（1）如果學(xué)生們想讓兔子擁有盡可能大的空間，那么圍欄的各邊應(yīng)為多長？（2）如果他們有16米籬笆，那么圍欄的各邊又為多長？ （3）給定長度的籬笆怎樣圍才使面積最大？怎樣整理你的解決方法以便使其他同學(xué)能夠理解？第七十六頁第七十七頁，共149頁?！竞單觥看税咐校瑢W(xué)生需完成“籬笆任務(wù)”，而完成這一任務(wù)沒有一個可套用的公式，沒有可依據(jù)的解法和步驟，他們需要判斷在24米和16米長的籬笆怎樣圍面積最大的前提下，對怎樣使任意長度的圍欄能生成最大面積的方法進行推理計算，從而獲得一個一般的結(jié)論，達到數(shù)學(xué)一般化的過程。第七十七頁第七十八頁，共149頁。探索不規(guī)則圖形及物體的測量方法不規(guī)則體積三角形面積計算第七十八頁第七十九頁，共149頁。圖形與變換的教學(xué)策略第七十九頁第八十頁，共149頁。圖形的變換二年級上冊軸對稱、鏡面對稱二年級下冊平移與旋轉(zhuǎn)五年級下冊圖形的變換、軸對稱、旋轉(zhuǎn)，六年級下冊圖形的放大與縮小第八十頁第八十一頁，共149頁。一、要明確平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱的基本要素一般說，所謂變換是指某個集合中符合一定要求的一種對應(yīng)規(guī)律。就圖形的變換來說，因為集合圖形都是點的集合，所以圖形變換可以通過點的變換來實現(xiàn)。如果一個平面圖形的每一個點只對應(yīng)于該平面內(nèi)某個新圖形的一個點，并且新圖形中的每一個點只對應(yīng)于原圖形中的一個點，這樣的對應(yīng)就叫做變換幾何變換中最重要的是全等變換與相似變換全等變換的本質(zhì)是兩點之間的距離不發(fā)生變化相似變換是保持圖形的形狀不變，而只改變圖形大小的變換。第八十一頁第八十二頁，共149頁。平移：原圖形中任意一個點到新圖形中相對應(yīng)點的連線，方向相同，長度相等。方向和距離旋轉(zhuǎn)：新圖形中每個點都是由原圖形中的一個點繞著一個固定點（旋轉(zhuǎn)中心）轉(zhuǎn)動相等角度得到的。旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角反射：連接新圖形與原圖形中每一組對應(yīng)點的線段都和同一條直線垂直且被該直線平分。對稱軸第八十二頁第八十三頁，共149頁。二、注重使學(xué)生在具體情境中認識變換現(xiàn)象，并通過操作活動體會變換的特征第八十三頁第八十四頁，共149頁。圖形的展開與折疊第八十四頁第八十五頁，共149頁。對折一次對折兩次圖形的展開與折疊第八十五頁第八十六頁，共149頁。85v58這個號碼對稱嗎圖形的展開與折疊第八十六頁第八十七頁，共149頁。觀點與啟示

GUANDIANYUQISHI對稱的除了圖還有“數(shù)和式”？圖形的展開與折疊，有學(xué)者的研究是小學(xué)生和成人的表現(xiàn)水平差不多，值得思考的是：我們有沒有進行過系列而有效的教學(xué)，或許我們大都的教學(xué)也只是點到而已，從簡單到復(fù)雜，怎樣形成一個圖形展開與折疊的訓(xùn)練體系值得探索。第八十七頁第八十八頁，共149頁。第八十八頁第八十九頁，共149頁。整個圖形向右平移了7格第八十九頁第九十頁，共149頁。每組對應(yīng)點之間的距離都相等第九十頁第九十一頁，共149頁。對于正方形、長方形、圓的特征，可以通過折疊活動認識它們的對稱性。三、重視加強從變換角度認識圖形的教學(xué)第九十一頁第九十二頁，共149頁。這些圖形是由哪個基本圖形旋轉(zhuǎn)而成？圖形的辨認：旋轉(zhuǎn)課件第九十二頁第九十三頁，共149頁。這些圖形是怎樣形成的？圖形的辨認：第九十三頁第九十四頁，共149頁。這些圖形是怎樣形成的？圖形的辨認：第九十四頁第九十五頁，共149頁。四、鼓勵學(xué)生從變換的角度欣賞圖形并設(shè)計圖案第九十五頁第九十六頁，共149頁。第九十六頁第九十七頁，共149頁。第九十七頁第九十八頁，共149頁。第九十八頁第九十九頁，共149頁。第九十九頁第一百頁，共149頁。第一百頁第一百零一頁，共149頁。觀點與啟示

GUANDIANYUQISHI圖形的辨認，不只是停留在這個圖形叫什么，而是需要揭示圖形的形成方法和形成過程。靜態(tài)的圖形和動態(tài)的變化過程相結(jié)合。數(shù)學(xué)欣賞也可以是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，當有人問數(shù)學(xué)是什么？學(xué)生會怎樣的舉例，最好除了很多人說“3×7=21”，也有很多人說“三角形旋轉(zhuǎn)出的漂亮圖案”。軸對稱圖形第一百零一頁第一百零二頁，共149頁。圖形與位置的教學(xué)策略第一百零二頁第一百零三頁，共149頁。圖形與位置一年級下冊上下、前后、左右、位置二年級上冊觀察物體（一個物體）三年級下冊位置與方向（八個）四年級下冊位置與方向（方向角度距離），五年級上冊觀察位置（兩個物體）六年級上冊位置（數(shù)對）第一百零三頁第一百零四頁，共149頁。一、明確小學(xué)兩種確定位置方法的內(nèi)涵及這部分內(nèi)容的教育價值第一百零四頁第一百零五頁，共149頁。教材中有兩種確定位置的方法，即“某行某列”和“方向和距離”，它們實際上分別對應(yīng)了學(xué)生要今后學(xué)習(xí)的平面直角坐標系和極坐標系。XOM

對于平面上任意一點M，用

表示線段OM的長度，用

表示從OX到OM的角度，

叫做點M的極徑，

叫做點M的極角，有序數(shù)對（，）就叫做M的極坐標。第一百零五頁第一百零六頁，共149頁。兩種坐標系有相同點：首先都要有原點等組成的參照系，然后都要用兩個要素來刻畫位置。如果一個陌生人來到你們班，請你想辦法描述出你們班長的位置，使他能夠找到班長，學(xué)生可能會怎么做？第一百零六頁第一百零七頁，共149頁。1.（文字）X行X列：如三排第四個、第三列的第四個人2.（文字）從哪數(shù)X行X列：從窗戶數(shù)的第三排、第四個，從門這邊數(shù)的第五組的第四個3.（圖）X行X列4.（圖）從哪數(shù)X行X列5.班長在我的斜后方第二個

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○☆○○○○○○○○○○○○□○○○○○☆=班長○=同學(xué)□=我☆2組5組窗6排5排4排3排2排1排1組3組4組6組1組第一百零七頁第一百零八頁，共149頁。

前四種做法都蘊涵了直角坐標的雛形，它們都表明學(xué)生已經(jīng)意識到需要用兩個要素來刻畫平面上點的位置。（2）和（4）還標明了參照系，用文字和用圖形也蘊涵了數(shù)形結(jié)合的特點，（5）雖然不能有效刻畫出班長的位置，但也初步蘊含了用方向和距離表示位置的想法。教師要及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生的經(jīng)驗并善于利用，一個好的做法是建立聯(lián)系，建立學(xué)生之間方法的聯(lián)系，以及學(xué)生原始想法和數(shù)學(xué)方法之間的聯(lián)系。先把同一做法不同的表示形式建立聯(lián)系，都是用文字表述的方式，比較用什么相同的地方。在所有的方法之間建立聯(lián)系，如數(shù)與形之間的對應(yīng)。引申到數(shù)學(xué)上確定位置的方法，并將它與學(xué)生的想法加以比較。第一百零八頁第一百零九頁，共149頁。二、鼓勵學(xué)生探索如何刻畫和描述圖形的位置讓學(xué)生嘗試辨認物體的方向，會看懂自己生活環(huán)境的線段圖，在此基礎(chǔ)上，學(xué)生將在具體的情境中，探索如何用數(shù)學(xué)語言描述物體或圖形的位置，探索刻畫位置需要哪些要素，如討論電影院或者教室中是如何確定每個位置的。教師可以鼓勵學(xué)生將具體情境進行適當抽象，在此基礎(chǔ)上，自然引入用數(shù)對來描述點的位置了。第一百零九頁第一百一十頁，共149頁。三、鼓勵學(xué)生嘗試運用不同的方式確定物體的位置確定位置第一百一十頁第一百一十一頁，共149頁。由右面兩個長方形旋轉(zhuǎn)一周，可以得到兩個圓柱體，大膽猜測一下，所得到的這兩個圓柱的體積、側(cè)面積、表面積相等嗎？他們的大小關(guān)系是怎樣的？然后用自己的辦法小心驗證一下。3443第一百一十一頁第一百一十二頁，共149頁。交流反饋：用自己的方法驗證。生1：左邊長方形旋轉(zhuǎn)形成的長方體底面半徑是3，高是4，體積是3.14×32×4=111.6（平方厘米）,右邊長方形旋轉(zhuǎn)形成的長方體底面半徑是4，高是3，體積是3.14×42×3=150.72（平方厘米），所以右邊長方形旋轉(zhuǎn)形成的長方體體積大。生2：左邊長方形旋轉(zhuǎn)形成的長方體體積是3.14×32×4，右邊長方形旋轉(zhuǎn)形成的長方體體積是3.14×42×3，因為32×4<42×3，所以右邊長方形旋轉(zhuǎn)形成的長方體體積大。生3：側(cè)面積=2πrh，左邊長方體側(cè)面積=2×3.14×3×4，右邊長方體側(cè)面積=2×3.14×4×3，2×3.14×3×4=2×3.14×4×3，所以兩個長方體的側(cè)面積相等。生4：我想像了一下，兩個長方體的側(cè)面積相等，左邊長方形旋轉(zhuǎn)形成的長方體底面是半徑是3的圓，而右邊長方形旋轉(zhuǎn)形成的長方體底面是半徑是4的圓，因此右邊的表面積比較大?！谝话僖皇摰谝话僖皇?，共149頁。有關(guān)形體的認識：例：左下圖的立方體展開圖應(yīng)是下面哪一個圖形？（）①②③④關(guān)注空間觀念的培養(yǎng)空間與圖形第一百一十三頁第一百一十四頁，共149頁。有關(guān)形體的面積體積計算：第一百一十四頁第一百一十五頁，共149頁。【例】一塊邊長30厘米的正方形鐵皮，像下圖那樣從4個角切掉邊長5厘米的正方形，然后做成盒子。這個盒子的容積有多少毫升？第一百一十五頁第一百一十六頁，共149頁。【例】將直角三角形ABC以BC為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的圓錐體積是V，那么V=（）

A45

B3C六年級空間觀念第一百一十六頁第一百一十七頁，共149頁?！?2】甲圖是用36個小積木堆成的。把甲圖推倒后（如乙圖），再利用這一堆小積木在丙圖上四個四個往上堆成一棟“大樓”。請問這棟“大樓”有

層。六年級空間觀念的考查第一百一十七頁第一百一十八頁，共149頁?！绢惐韧评怼克枷氲谝话僖皇隧摰谝话僖皇彭?，共149頁。小明所在班級的數(shù)學(xué)平均成績是98分，小強所在班級的數(shù)學(xué)平均成績是96分，小明考試得分比小強的得分（）。A、高B、低C、一樣高D、無法確定四年級：平均數(shù)的意義統(tǒng)計與概率第一百一十九頁第一百二十頁，共149頁。1、關(guān)注統(tǒng)計的全過程2、根據(jù)統(tǒng)計圖表中的數(shù)據(jù)提出并回答簡單的問題第一百二十頁第一百二十一頁，共149頁。在一棋盤游戲中轉(zhuǎn)動輪盤時，每次出現(xiàn)一個數(shù)，可能最多出現(xiàn)的數(shù)是（）A、奇數(shù)B、5的倍數(shù)C、質(zhì)數(shù)D、合數(shù)增加有關(guān)概率的內(nèi)容第一百二十一頁第一百二十二頁，共149頁。之二、“見樹又見林”

---整體把握，注重知識方法的溝通。

如果只重視局部訓(xùn)練而淡化整體聯(lián)網(wǎng)的教學(xué)，就會使學(xué)生缺少高瞻遠曙的解決謀略和隨機應(yīng)變的解決智慧。學(xué)生綜合能力的提高，一定基于教師對教材的整體掌握，尤其是溝通知識框架之間的數(shù)學(xué)思想方法。第一百二十二頁第一百二十三頁，共149頁。重視方法的溝通與拓展長方體體積圓柱體積空心圓柱其它直棱柱棱柱體積=底面積×高第一百二十三頁第一百二十四頁，共149頁。方法溝通注意方法的溝通與拓展。第一百二十四頁第一百二十五頁，共149頁。第一百二十五頁第一百二十六頁，共149頁。課例：立體圖形的綜合實踐一、引入學(xué)過哪些立體圖形？你能將它分分類嗎？二、展開1、出示飲料盒實物圖，有幾個飲料罐？可以用怎樣的方法驗證飲料箱中裝有24個飲料罐？第一百二十六頁第一百二十七頁，共149頁。三、如果站在廠商的角度要考慮什么？4行6列3行8列