2022-2023學(xué)年山東省濱州市鄒平市高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山東省濱州市鄒平市高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．某學(xué)校高一年級(jí)學(xué)生中對(duì)數(shù)學(xué)非常喜歡、比較喜歡和一般喜歡的人數(shù)分別為600、300、100，為了了解數(shù)學(xué)興趣對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)的影響，現(xiàn)通過(guò)分層抽樣的方法抽取容量為的樣本進(jìn)行調(diào)查，其中非常喜歡的有18人，則的值是（

）A．20 B．30 C．40 D．50【答案】B【分析】按分層抽樣的定義，建立比例關(guān)系可得答案.【詳解】非常喜歡、比較喜歡和一般喜歡的人數(shù)比為，按分層抽樣方法，其中非常喜歡的有18人可得，解得.故選：B.2．已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，若，則滿足此條件的三角形個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．1或2【答案】B【分析】根據(jù)條件，利用正弦定理求出，，從而得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ?，得到，所以，又因?yàn)?，故?故選：B.3．設(shè)A，B，C表示不同的點(diǎn)，n，l表示不同的直線，，表示不同的平面，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】C【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由點(diǎn)A，B，C表示不同的點(diǎn)，n，l表示不同的直線，，表示不同的平面，對(duì)于A中，若，當(dāng)點(diǎn)在平面的兩側(cè)時(shí)，與相交，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，，且，可得，又由，但不一定在上，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，如圖所示，在平面內(nèi)取一點(diǎn)，過(guò)直線和點(diǎn)作一平面，設(shè)，因?yàn)椋?，且，可得，同理證得，所以，因?yàn)榍?，所以，又因?yàn)?，且，所以，所以，所以C正確；對(duì)于D中，若，，，則或與異面，所以D錯(cuò)誤.故選：C.4．已知向量的夾角為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)量積公式和運(yùn)算律計(jì)算即可.【詳解】.故選：D.5．在中，角的對(duì)邊分別為，已知，則的外接圓面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理及正弦定理求得結(jié)果.【詳解】已知，由余弦定理可得，由正弦定理可得，即.則的外接圓面積.故選：A.6．如圖，在長(zhǎng)方體中，，且為的中點(diǎn)，則直線與所成角的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中點(diǎn)，可得直線與所成角即為直線與所成的，在中由余弦定理可得答案.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，所以，直線與所成角即為直線與所成的，所以，，，在中由余弦定理可得,因?yàn)椋?故選：C.

7．已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且滿足，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】分別利用正弦定理和余弦定理即可求解.【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，，因?yàn)?，所以，則有，即，所以，因?yàn)?，所以，整理可得，，即，因?yàn)?，所以或，則或（舍去）.又因?yàn)?，由正弦定理可得，因?yàn)?，所以，則，化簡(jiǎn)整理可得，，所以，又因?yàn)?，所以為等邊三角形，故選：C.8．已知梯形，且為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出和的坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋瑒t，，設(shè)，所以，，故，所以，又為平面內(nèi)一點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，取到最小值.

故選：A.二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則（

）A．的虛部是B．C．若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值是D．若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則【答案】BCD【分析】化簡(jiǎn)得到，，的虛部是，A錯(cuò)誤，，B正確，，C正確，代入計(jì)算得到D正確，得到答案.【詳解】，，對(duì)選項(xiàng)A：的虛部是，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：，正確；對(duì)選項(xiàng)C：，故，正確；對(duì)選項(xiàng)D：，即，故，正確；故選：BCD.10．已知向量，，，設(shè)的夾角為，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到，，計(jì)算，A錯(cuò)誤，，正確，與不平行，C錯(cuò)誤，計(jì)算夾角得到D正確，得到答案.【詳解】設(shè)，，則，，故，，解得，，故，，對(duì)選項(xiàng)A：，故，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：，故，正確；對(duì)選項(xiàng)C：，故與不平行，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：，正確；故選：BD.11．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，則（

）A．B．若是底邊為的等腰三角形，為其內(nèi)心，則C．若，則的周長(zhǎng)為15D．若，則【答案】ACD【分析】分別利用正弦定理、余弦定理、三角形面積公式和基本不等式的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解即可.【詳解】由可得，，則，由正弦定理可得，，由余弦定理可得，A為三角形內(nèi)角，所以，故選項(xiàng)A正確；若是底邊為的等腰三角形，因?yàn)椋瑒t，設(shè)內(nèi)切圓圓心為，則，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；若，因?yàn)?，由余弦定理可得，所以，則的周長(zhǎng)為15，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)?，所以為的重心，則，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻茫ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)去等號(hào)），則，所以，故選項(xiàng)D正確，故選：ACD.12．傳說(shuō)古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球（與圓柱的兩底面及側(cè)面都相切的球），阿基米德認(rèn)為這個(gè)“圓柱容球”是他最為得意的發(fā)現(xiàn)，在他的著作《論圓和圓柱》中，證明了數(shù)學(xué)史上著名的圓柱容球定理：圓柱的內(nèi)切球的體積與圓柱的體積之比等于它們的表面積之比．亦可證明該定理推廣到圓錐容球也正確，即圓錐的內(nèi)切球（與圓錐的底面及側(cè)面都相切的球）的體積與圓錐體積之比等于它們的表面積之比．若已知該比值為的圓錐，其母線長(zhǎng)為，底面半徑為，軸截面如圖所示，則（

）

A．若，則B．圓錐的母線與底面所成角的正弦值為C．用過(guò)頂點(diǎn)的平面去截圓錐，則所得的截面圖形可以為直角三角形D．若一只小螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿著圓錐的側(cè)面爬行一周到達(dá)點(diǎn)，則爬行最短距離為【答案】ABD【分析】先證明圓錐容球定理，寫(xiě)出推導(dǎo)過(guò)程，推出其中幾何尺寸之間的代數(shù)關(guān)系，再根據(jù)本題的幾何特征逐項(xiàng)分析.【詳解】

如圖，O為內(nèi)切球的球心，設(shè)圓錐的高為，內(nèi)切球的半徑為R，則，，又三角形ABC的面積，，即，設(shè)內(nèi)切球的體積為，圓錐的體積為，內(nèi)切球的表面積為，圓錐的表面積為，則有，將①代入上式得，由題意，，，將②代入上式得：，即，所以當(dāng)時(shí)，，A正確；由②式得：，由式得：，，B正確；由于圓錐的對(duì)稱(chēng)性，過(guò)A點(diǎn)的平面截圓錐所得的圖形必定是等腰三角形，其頂角最大為，由于，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓錐展開(kāi)后的扇形如下圖：

在上圖的扇形中，，由前面的計(jì)算知：，，由余弦定理得：，D正確；故選：ABD.三、填空題13．已知一組數(shù)據(jù)1，2，，4，5的平均數(shù)為3，則這組數(shù)據(jù)的方差為．【答案】2【分析】先根據(jù)平均數(shù)計(jì)算出的值，再根據(jù)方差的計(jì)算公式計(jì)算出這組數(shù)的方差.【詳解】依題意，所以方差為.故答案為：.14．已知外接圓的圓心為，且是與方向相同的單位向量，則在上的投影向量為．【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律分析可得，進(jìn)而可得，結(jié)合投影向量運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，即，則，整理得，即，則為圓的直徑，又因?yàn)?，則為等邊三角形，即，所以在上的投影向量為.故答案為：.

15．直三棱柱的底面的直觀圖如圖所示，其中，且，則直三棱柱外接球的表面積為．

【答案】【分析】根據(jù)條件得出底面是等腰直角三角形，將把直三棱柱補(bǔ)成長(zhǎng)方體，再利用長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)即長(zhǎng)方體外接球的直徑，從而求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵诘酌娴闹庇^圖中，，由斜二測(cè)法知，底面中，，且，如圖，把直三棱柱補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的體對(duì)線長(zhǎng)是直三棱柱外接球的直徑，設(shè)外接球的半徑為，又，，所以，故直三棱柱外接球的表面積為

故答案為：.四、雙空題16．在中，為的中點(diǎn)，的平分線分別交于點(diǎn)，且，，則；．

【答案】/【分析】利用余弦定理求出，并借助三角形面積公式及角平分線求出，再用余弦定理求出；然后利用向量數(shù)量積求出夾角余弦作答.【詳解】在中，由余弦定理得，因?yàn)槠椒?，則，有，在中，，即有，由，即，解得；顯然，則，即，又，于是，因此，所以，.故答案為：；五、解答題17．（1）已知復(fù)數(shù)．若為純虛數(shù)，求的值；（2）已知復(fù)數(shù)，若滿足，求的值．【答案】（1）；（2）或【分析】（1）是純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)實(shí)部為0虛部不為0，計(jì)算得到答案.（2）設(shè)，代入計(jì)算得到，解得答案.【詳解】（1）因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，解得．（2）設(shè)，所以，．所以，解得或.18．某高校為了對(duì)該校研究生的思想道德進(jìn)行教育指導(dǎo)，對(duì)該校120名研究生進(jìn)行考試，并將考試的分值（百分制）按照分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知，分值在的人數(shù)為15．

(1)求圖中的值；(2)若思想道德分值的平均數(shù)、中位數(shù)均超過(guò)75分，則認(rèn)為該校研究生思想道德良好，試判斷該校研究生的思想道德是否良好．【答案】(1)，，(2)該學(xué)校研究生思想道德良好．【分析】（1）根據(jù)頻率確定，再根據(jù)頻率和為1計(jì)算得到答案.（2）分別根據(jù)公式計(jì)算平均數(shù)和中位數(shù)，比較得到答案.【詳解】（1）分值在的人數(shù)為15人，所以的頻率為，即．，又，所以，解得，.（2）這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，前組頻率和為，前組頻率和為，故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)滿足，解得，所以該學(xué)校研究生思想道德良好．19．如圖，在四棱臺(tái)中，底面是正方形，側(cè)面底面是正三角形，是底面的中心，是線段上的點(diǎn)．

(1)當(dāng)//平面時(shí)，求證：平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）連接，證得，由底面是正方形，所以，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，證得平面，得到，再由，利用線面垂直的判定定理，即可證得平面；（2）取的中點(diǎn)分別為，連接，證得即為所求二面角的平面角，在直角中，結(jié)合，即可求解.【詳解】（1）證明：連接，因?yàn)槠矫?，平面，且平面平面，所以，又因?yàn)樵谥校堑闹悬c(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，所以是正三角形，所以，因?yàn)椋移矫?，所以平面．?）解：取的中點(diǎn)分別為，連接，所以是正三角形，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)榍移矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，則即為所求二面角的平面角，設(shè)，則，在直角中，，所以，即所求二面角的余弦值為．

20．已知半圓圓心為，直徑為半圓弧上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，以為鄰邊作平行四邊形，且，如圖所示，設(shè)

(1)若，求的值；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得?若存在，確定點(diǎn)的位置，并求；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)1(2)存在，為線段靠近的四等分點(diǎn)，【分析】（1）法一：以作為基底向量，利用平面向量的線性運(yùn)算法則表示向量，結(jié)合平面向量基本定理列方程求得，即可得的值；法二：建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，列方程求解的值，即可得的值；（2）法一：令，由得數(shù)量積為，根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可列方程求解即可得答案；法二：根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】（1）法一：因?yàn)榘雸A弧上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，又因，則為正三角形且平行四邊形為菱形為線段靠近的三等分點(diǎn)因，令

∴，則法二：如圖，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系

因?yàn)榘雸A弧上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，且為正三角形、平行四邊形為菱形則為線段靠近的三等分點(diǎn)，故（2）法一：存在點(diǎn)，使得令因平行四邊形為菱形，所以則為線段靠近的四等分點(diǎn)且法二：存在點(diǎn)，使得令則為線段靠近的四等分點(diǎn)且.21．今年“五一”假期，“進(jìn)淄趕烤”成為最火旅游路線，全國(guó)各地游客紛紛涌向淄博，感受疫情后第一個(gè)最具人間煙火氣的假期．某地為了吸引各地游客，也開(kāi)始動(dòng)工興建集就餐娛樂(lè)于一體的休閑區(qū)如圖，在的長(zhǎng)均為60米的區(qū)域內(nèi)，擬修建娛樂(lè)區(qū)、就餐區(qū)、兒童樂(lè)園區(qū)，其中為了保證游客能及時(shí)就餐，設(shè)定就餐區(qū)域中．

(1)為了增加區(qū)域的美感，將在各區(qū)域分隔段與處加裝燈帶，若，則燈帶總長(zhǎng)為多少米？(2)就餐區(qū)域的面積最小值為多少平方米？【答案】(1)米(2)平方米【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理即可求解；（2）利用正弦定理和三角形面積公式求出面積的表達(dá)式，然后利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）因?yàn)闉榈妊切?，且頂角為，所以，在中，由，則，由正弦定理，即，，同理，在中，則，由正弦定理可得，，所以燈帶總長(zhǎng)為米.（2）設(shè)，則，由正弦定理可，，，∴當(dāng)即時(shí)，，面積最小為，所以就餐區(qū)域面積最小值為平方米.22．如圖①，在梯形中，，，，將沿邊翻折至，使得，如圖②，過(guò)點(diǎn)作一平面與垂直，分別交于點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用勾股定理得到，然后利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)得到，最后利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）方法一：通過(guò)作垂線的方法得到垂線段的長(zhǎng)度即為點(diǎn)到平面的距離，然后求距離即可；方法二：利用等體積的方法求點(diǎn)到面的距離即可.【詳解】（1）證明：