2022年吉林省長春市榆樹中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析

2022年吉林省長春市榆樹中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知復(fù)數(shù)（其中，是虛數(shù)單位），則的值為

(

)A．

B．

C．0

D．2參考答案：D2.已知向量、滿足，且，，則向量、的關(guān)系是（

）A.互相垂直 B.方向相同C.方向相反 D.成120°角參考答案：C【分析】設(shè)向量與的夾角為，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算求出的值，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)向量與的夾角為，則，即，得，，.因此，向量、方向相反.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查兩向量位置關(guān)系的判斷，根據(jù)向量的數(shù)量積求出兩向量的夾角是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3.若cos()=，則cos（π﹣2α）=（）A.B. C. D.參考答案：D4.已知函數(shù)y=f(x－1)的定義域?yàn)閇1,3],則函數(shù)的定義域?yàn)?

)A.[1,9]

B.[0,1]

C.[0,2]

D.[0,9]參考答案：A略5.設(shè)函數(shù)f（x）=，若關(guān)于x的方程f（x）=a有四個(gè)不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，則+的取值范圍是（）A．（﹣3，+∞） B．（﹣∞，3） C．參考答案：D【考點(diǎn)】5B：分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】作出函數(shù)f（x）的圖象，由圖象可得x1+x2=﹣4，x3x4=1；1＜x4≤4；從而化簡+，再利用函數(shù)的單調(diào)性求出它的取值范圍．【解答】解：作出函數(shù)f（x）的圖象，由圖可知，x1+x2=﹣4，x3x4=1；當(dāng)|log2x|=2時(shí)，x=4或x=，則1＜x4≤4故+=+=+x4，其在1＜x4≤4上是增函數(shù)，故﹣4+1＜+x4≤﹣1+4；即﹣3＜+x4≤3；即+的取值范圍是（﹣3，3]，故選：D6.已知某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積是A．

B．

C．

D．參考答案：C7.設(shè)是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，且滿足下列關(guān)系，，則是（

）.

.偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)

.偶函數(shù)，又是周期函數(shù).奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

.奇函數(shù)，又是周期函數(shù)參考答案：D8.二分法是求方程近似解的一種方法，其原理是“一分為二、無限逼近”．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入x1=1，x2=2，d=0.05，則輸出n的值為（）A．4 B．5 C．6 D．7參考答案：B【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】按照用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值得步驟求解即可．注意驗(yàn)證精確度的要求．【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得x1=1，x2=2，d=0.05，m=，n=1滿足條件：f（1）?f（）＜0，x2=，不滿足條件：|x1﹣x2|＜0.05，m=，n=2，不滿足條件：f（1）?f（）＜0，x1=，不滿足條件：|x1﹣x2|＜0.05，m=，n=3，不滿足條件：f（）?f（）＜0，x1=，不滿足條件：|x1﹣x2|＜0.05，m=，n=4，不滿足條件：f（）?f（）＜0，x1=，不滿足條件：|x1﹣x2|＜0.05，m=，n=5，不滿足條件：f（）?f（）＜0，x1=，滿足條件：|x1﹣x2|＜0.05，退出循環(huán)，輸出n的值為5．故選：B．9.已知P為三角形ABC內(nèi)部任一點(diǎn)（不包括邊界），滿足（﹣）?（+﹣2）=0，則△ABC必定是(

)A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形參考答案：D【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】平面向量及應(yīng)用．【分析】由向量的運(yùn)算和已知條件可得=0，即||=||，可得結(jié)論．【解答】解：∵﹣==﹣，+﹣2=﹣+﹣=+，∵（﹣）?（+﹣2）=0，∴（﹣）?（+）=0，∴=0，即||=||，∴△ABC一定為等腰三角形．故選D．【點(diǎn)評】本題考查向量的三角形法則，向量垂直于數(shù)量積的關(guān)系以及等腰三角形的定義，屬中檔題．10.一只螞蟻在邊長分別為3，4，5的三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行，則其恰在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于1的地方的概率為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B作出滿足題意的區(qū)域如下圖，則由幾何概型得，所求概率為.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖所示：有三根針和套在一根針上的n個(gè)金屬片，按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上．

（1）每次只能移動(dòng)一個(gè)金屬片；（2）在每次移動(dòng)過程中，每根針上較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面．將n個(gè)金屬片從1號針移到3號針最少需要移動(dòng)的次數(shù)記為；則：（Ⅰ）

（Ⅱ）

參考答案：（1）（2）k∈略12.已知角終邊上一點(diǎn)，則的值為．參考答案：13.函數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

..參考答案：個(gè)零點(diǎn)略14.若向量,若,則的最小值為_________.參考答案：略15.樣本數(shù)為9的一組數(shù)據(jù)，它們的平均數(shù)是5，頻率條形圖如圖，則其標(biāo)準(zhǔn)差等于

.(保留根號）參考答案：16.設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為，則方程的解為____________。參考答案：2略17.已知函數(shù)（a,b是實(shí)數(shù)，）在處取得極大值，在處取得極小值，且，（1）求的取值范圍；（2）若函數(shù)，的零點(diǎn)為，求的取值范圍.

參考答案：（1）；（2）.

解析：（1）由題意得，的根滿足，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極大值，在處取得極小值，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以a>0,且.（2）由已知得，的兩根，所以，由（1）知所以.【答案】略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c.(1)若c＝2，C＝，且△ABC的面積為，求a，b的值；(2)若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，試判斷△ABC的形狀．參考答案：(2)由sinC＋sin(B－A)＝sin2A，得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sinAcosA，即2sinBcosA＝2sinAcosA，∴cosA·(sinA－sinB)＝0，-------9分∴cosA＝0或sinA－sinB＝0，-------------10分當(dāng)cosA＝0時(shí)，∵0＜A＜π，∴A＝，△ABC為直角三角形；當(dāng)sinA－sinB＝0時(shí)，得sinB＝sinA，由正弦定理得a＝b，即△ABC為等腰三角形．∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．

-------------12分19.設(shè)Sn是公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知是與的等比中項(xiàng)，．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn．參考答案：（Ⅰ），；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）等差數(shù)列的公差設(shè)為d，且d不為0，運(yùn)用等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求得，運(yùn)用數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得所求和．【詳解】解：（Ⅰ）是公差d不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，由是與的等比中項(xiàng)，可得，即，化為，由，可得，解得，，則，；（Ⅱ），則的前n項(xiàng)和，故，兩式相減可得，化簡可得：．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解決通項(xiàng)公式常見的方法是基本量法；本題還考查了數(shù)列求和的知識(shí)，解決數(shù)列求和知識(shí)的常見方法是裂項(xiàng)求和法、錯(cuò)位相消法等.20.(本小題滿分12分)已知圓C：，直線l1過定點(diǎn)A(1，0).（1）若l1與圓C相切，求l1的方程；

（2）若l1與圓C相交于P、Q兩點(diǎn)，求三角形CPQ的面積的最大值，并求此時(shí)直線l1的方程.參考答案：解：(Ⅰ)①若直線l1的斜率不存在，則直線l1：x＝1，符合題意.

②若直線l1斜率存在，設(shè)直線l1的方程為，即．

由題意知，圓心（3，4）到已知直線l1的距離等于半徑2，即：，解之得.

所求直線l1的方程是或.

（Ⅱ）直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0,設(shè)直線方程為，

則圓心到直線l1的距離

又∵△CPQ的面積

＝

∴

當(dāng)d＝時(shí)，S取得最大值2.

∴＝

∴k＝1或k＝7

所求直線l1方程為x－y－1＝0或7x－y－7＝0.21.某校高二年級共有學(xué)生1000名,其中走讀生750名,住宿生250名,現(xiàn)從該年級采用分層抽樣的方法從該年級抽取n名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查.根據(jù)問卷取得了這n名同學(xué)每天晚上有效學(xué)習(xí)時(shí)間(單位:分鐘)的數(shù)據(jù),按照以下區(qū)間分為八組①[0,30),②[30,60),③[60,90),④[90,120),⑤[120,150),⑥[150,180),⑦[180,210),⑧[210,240),得到頻率分布直方圖如下.已知抽取的學(xué)生中每天晚上有效學(xué)習(xí)時(shí)間少于60分鐘的人數(shù)為5人；（1）求n的值并補(bǔ)全下列頻率分布直方圖；（2）如果把“學(xué)生晚上有效時(shí)間達(dá)到兩小時(shí)”作為是否充分利用時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)，對抽取的n名學(xué)生，下列2×2列聯(lián)表：

是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時(shí)間是否充分與走讀、住宿有關(guān)？參考公式：參考列表：

(3）若在第①組、第②組、第⑦組、第⑧組中共抽出3人調(diào)查影響有效利用時(shí)間的原因，記抽到“有效學(xué)習(xí)時(shí)間少于60分鐘”的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列及期望；

參考答案：22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（a是常數(shù)，）.（Ⅰ）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí),方程在上有兩解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）求證:，且．參考