概率論中心極限定理

誤差的產(chǎn)生由大量微小的相互獨立的隨機因素疊加而成，若誤差記為當n充分大時，其分布是我們所關心的問題。用卷積公式可以計算，但無疑相當復雜，不易實現(xiàn)。見書中例4.4.2，分析上例的趨勢，我們應該先將隨機和先標準化。再研究其分布是否為標準正態(tài)分布。第一頁第二頁，共17頁。§4.4中心極限定理

討論獨立隨機變量和的極限分布,

并指出極限分布為正態(tài)分布.獨立隨機變量和設{Xn}為獨立隨機變量序列，記其和為第二頁第三頁，共17頁。獨立同分布下的中心極限定理定理1

林德貝格—勒維中心極限定理設{Xn}為獨立同分布隨機變量序列，數(shù)學期望為

,方差為

2>0，則當n

充分大時，有應用之例:正態(tài)隨機數(shù)的產(chǎn)生；誤差分析證明？第三頁第四頁，共17頁。例1

每袋味精的凈重為隨機變量，平均重量為100克，標準差為10克.一箱內(nèi)裝200袋味精，求一箱味精的凈重大于20500克的概率?解:設箱中第i

袋味精的凈重為Xi,則Xi

獨立同分布，且E(Xi)=100，Var(Xi)=100，

由中心極限定理得，所求概率為：=0.0002故一箱味精的凈重大于20500克的概率為0.0002.(很小)第四頁第五頁，共17頁。例2

設X為一次射擊中命中的環(huán)數(shù)，其分布列為求100次射擊中命中環(huán)數(shù)在900環(huán)到930環(huán)之間的概率.XP109876

0.80.10.050.020.03解:設Xi

為第i

次射擊命中的環(huán)數(shù)，則Xi

獨立同分布，且E(Xi)

=9.62，Var(Xi)

=0.82，故=0.99979第五頁第六頁，共17頁。二項分布的正態(tài)近似定理2

棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理設sn

為服從二項分布

b(n,p)的隨機變量，則當n

充分大時，有是林德貝格—勒維中心極限定理的特例.第六頁第七頁，共17頁。二項分布是離散分布，而正態(tài)分布是連續(xù)分布，所以用正態(tài)分布作為二項分布的近似時，可作如下修正：注意點(1)第七頁第八頁，共17頁。例

設每顆炮彈命中目標的概率為0.01，求500發(fā)炮彈中命中5發(fā)的概率.解:

設X

表示命中的炮彈數(shù),則X~b(500,0.01)＝0.17635(2)應用正態(tài)逼近:P(X=5)=P(4.5<X<5.5)=0.1742(3)應用泊松逼近:P(X=5)=0.616-0.440=0.176二項分布的近似原則：當p較小時，用泊松分布近似較好；當np>5時，用正態(tài)分布近似較好。第八頁第九頁，共17頁。

中心極限定理的應用有三大類：

注意點(2)

ii)已知n

和概率，求y

；

iii)已知y

和概率，求n.i)已知n

和y，求概率；

第九頁第十頁，共17頁。一、給定n和y，求概率例3100個獨立工作(工作的概率為0.9)的部件組成一個系統(tǒng)，求系統(tǒng)中至少有85個部件工作的概率.解：用由此得：Xi=1表示第i個部件正常工作,反之記為Xi=0.又記Y=X1+X2+…+X100，則E(Y)=90，Var(Y)=9.3,4,7第十頁第十一頁，共17頁。二、給定n和概率，求y例4有200臺獨立工作(工作的概率為0.7)的機床，每臺機床工作時需15kw電力.問共需多少電力,才可有95%的可能性保證正常生產(chǎn)?解：用設供電量為y,則從Xi=1表示第i臺機床正常工作,反之記為Xi=0.又記Y=X1+X2+…+X200，則E(Y)=140，Var(Y)=42.中解得16,18第十一頁第十二頁，共17頁。三、給定y

和概率，求n例5用調(diào)查對象中的收看比例k/n作為某電視節(jié)目的收視率p的估計。要有90％的把握，使k/n與p

的差異不大于0.05，問至少要調(diào)查多少對象？解：用根據(jù)題意Yn表示n

個調(diào)查對象中收看此節(jié)目的人數(shù)，則從中解得Yn服從b(n,p)分布，k為Yn的實際取值。又由可解得n=27117,20第十二頁第十三頁，共17頁。獨立不同分布下的中心極限定理定理3

林德貝格中心極限定理設{Xn}為獨立隨機變量序列，若任對

>0，有林德貝格條件則第十三頁第十四頁，共17頁。李雅普諾夫中心極限定理定理4

李雅普諾夫中心極限定理設{Xn}為獨立隨機變量序列，若存在

>0，滿足：李雅普諾夫條件則林德貝格條件較難驗證.第十四頁第十五頁，共17頁。例7

設X1,X2,

….,X99相互獨立,且服從不同的

0--1分布