2022年湖南省邵陽市北塔區(qū)茶元頭鄉(xiāng)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

2022年湖南省邵陽市北塔區(qū)茶元頭鄉(xiāng)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖,在平面四邊形中,,.若,,則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】向量的加法與減法的幾何運(yùn)算，向量垂直的應(yīng)用、向量的數(shù)量積【答案解析】B解析：解：因?yàn)?，所以.，則選B.【思路點(diǎn)撥】在計(jì)算向量的數(shù)量積時(shí)，可把所求的向量利用向量的加法和減法向已知條件中的向量轉(zhuǎn)化，再進(jìn)行計(jì)算.2.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為（） A．2 B．2 C．4 D．4參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 【分析】雙曲線中，a=2，即可求出實(shí)軸長(zhǎng)． 【解答】解：雙曲線中，a=2，實(shí)軸長(zhǎng)為2a=4． 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)． 3.下列命題中正確的為（）A．線性相關(guān)系數(shù)r越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)B．線性相關(guān)系數(shù)r越小，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越弱C．殘差平方和越小的模型，模型擬合的效果越好D．用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越小，說明模型的擬合效果越好參考答案：C【考點(diǎn)】BS：相關(guān)系數(shù)．【分析】根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)|r|越接近1，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；殘差平方和越小的模型，模型擬合的效果就越好；相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越大，模型的擬合效果就越好；由此判斷正誤即可．【解答】解：線性相關(guān)系數(shù)|r|越接近1，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，∴A、B錯(cuò)誤；殘差平方和越小的模型，模型擬合的效果就越好，C正確；相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越大，說明模型的擬合效果就越好，∴D錯(cuò)誤．故選：C．4.擲一個(gè)骰子向上的點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)的概率是

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略5.按照下列三種化合物的結(jié)構(gòu)式及分子式的規(guī)律，寫出后一種化合物的分子式是（

）. A．C4H9

B．C4H10

C．C4H11

D．C6H12參考答案：B略6.函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是(

)A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)參考答案：C【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理進(jìn)行判斷即可【詳解】是連續(xù)的減函數(shù)，又可得f（2）f（3）＜0，∴函數(shù)f（x）的其中一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是(2,3)故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，若函數(shù)單調(diào)，只需端點(diǎn)的函數(shù)值異號(hào)即可判斷零點(diǎn)所在區(qū)間，是一道基礎(chǔ)題．7.已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,且上的兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,并且,那么=（）A． B． C．2 D．3參考答案：A8.函數(shù)的圖象的大致形狀是A. B.C. D.參考答案：A令x=0可得，則排除C、D；,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故排除B，本題選擇A選項(xiàng).9.用反證法證明命題“若實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個(gè)是偶數(shù)”時(shí)，下列假設(shè)正確的是()A．假設(shè)a，b，c都是偶數(shù)B．假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù)C．假設(shè)a，b，c至多有一個(gè)是偶數(shù)D．假設(shè)a，b，c至少有兩個(gè)是偶數(shù)參考答案：B略10.在某項(xiàng)測(cè)量中測(cè)量結(jié)果，若X在(3,6)內(nèi)取值的概率為0.3，則X在(0,+∞)內(nèi)取值的概率為（

）A.0.2 B.0.4 C.0.8 D.0.9參考答案：C【分析】由題意結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性求解ξ在(0,+∞)內(nèi)取值概率即可.【詳解】由正態(tài)分布的性質(zhì)可知正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則,,，即ξ在(0,+∞)內(nèi)取值概率為0.8.本題選擇C選項(xiàng).【點(diǎn)睛】關(guān)于正態(tài)曲線在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間面積為1.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在某個(gè)城市中，M，N兩地之間有南北街道5條、東西街道4條，現(xiàn)要求沿圖中的街道，以最短的路程從M走到N，則不同的走法共有_________種．參考答案：35略12.若直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)A，B，且AB中點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，則k=

.參考答案：213.已知向量a＝(8,)，b＝(x，1)，其中x＞0，若(a－2b)∥(2a＋b)，則x＝

▲

．參考答案：4【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式求出向量與,然后根據(jù)平面向量共線（平行）的充要條件建立等式,解之即可.【詳解】向量，，，，即，又，故答案為4.【點(diǎn)睛】利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點(diǎn)，主要命題方式有兩個(gè)：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.

14.如圖，把橢圓的長(zhǎng)軸AB分成8等份，過每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)則|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=．參考答案：35【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】利用橢圓的定義可求得|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=×2a，結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求得答案．【解答】解：∵橢圓的方程為+=1，∴a=5，b=4，c=3．∵F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，設(shè)F′為橢圓的另一焦點(diǎn)，依題意|P1F|=|P7F′|，|P2F|=|P6F′|，|P3F|=|P4F′|，∴|P1F|+|P7F|=|P2F|+|P6F|=|P3F|+|P4F|=2a=10，∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=×2a=7a=35．故答案為：35．15.觀察下列式子：,…根據(jù)以上式子可以猜想：_________.參考答案：.13．已知，則函數(shù)的最小值是

．【答案】.∵∴，當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故可知函數(shù)的最大值為.16.以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：①設(shè)為兩個(gè)定點(diǎn)，為非零常數(shù)，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線；②已知圓上一定點(diǎn)和一動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓；③，則雙曲線與的離心率相同；④已知兩定點(diǎn)和一動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

其中真命題的序號(hào)為

（寫出所有真命題的序號(hào)）.參考答案：

17.三個(gè)不同的數(shù)成等差數(shù)列，其和為6，如果將此三個(gè)數(shù)重新排列，他們又可以成等比數(shù)列，求這個(gè)等差數(shù)列。

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖所示，平面α∥平面β，點(diǎn)A∈α，C∈α，點(diǎn)B∈β，D∈β，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上，AB，CD所在直線異面，且AE：EB=CF：FD（Ⅰ）求證：EF∥β；

（Ⅱ）若E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角為60°，求EF的長(zhǎng)．參考答案：（Ⅰ）證明：連接AD，作EG∥BD交AD于點(diǎn)G，連接FG，因?yàn)锳E：EB=CF：FD∴EG∥BD，F(xiàn)G∥AC，則EG∥β，F(xiàn)G∥α，∵α∥β∴FG∥β；又因?yàn)?；EG∩FG=G．∴平面EFG∥β而EF?平面EFG；∴EF∥β（Ⅱ）解：∵EG∥BD，F(xiàn)G∥AC且E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AC=4，BD=6；∴EG=BD=3，F(xiàn)G=AC=2∵AC，BD所成的角為60°，∴∠EGF=120°或60°∴EF===；或EF==即．考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；直線與平面平行的判定．專題：計(jì)算題；證明題．分析：（Ⅰ）直接連接AD，作EG∥BD交AD于點(diǎn)G，連接FG；結(jié)合AE：EB=CF：FD可得EG∥β，F(xiàn)G∥α；進(jìn)而得到平面EFG∥β即可證得結(jié)論；（Ⅱ）結(jié)合第一問中的結(jié)論和AC，BD所成的角為60°可以得到EG=BD=3，F(xiàn)G=AC=2以及∠EGF=120°或60°；最后利用余弦定理即可求出結(jié)論．解答：（Ⅰ）證明：連接AD，作EG∥BD交AD于點(diǎn)G，連接FG，因?yàn)锳E：EB=CF：FD∴EG∥BD，F(xiàn)G∥AC，則EG∥β，F(xiàn)G∥α，∵α∥β∴FG∥β；又因?yàn)?；EG∩FG=G．∴平面EFG∥β而EF?平面EFG；∴EF∥β（Ⅱ）解：∵EG∥BD，F(xiàn)G∥AC且E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AC=4，BD=6；∴EG=BD=3，F(xiàn)G=AC=2∵AC，BD所成的角為60°，∴∠EGF=120°或60°∴EF===；或EF==即．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間中線段距離的計(jì)算以及線面平行的判定．在求線段長(zhǎng)度問題是，一般是放在三角形中，借助于正弦定理或余弦定理求解19.某電視臺(tái)舉辦青年歌手大獎(jiǎng)賽，有10名評(píng)委打分，已知甲、乙兩名選手演唱后的打分情況如莖葉圖所示：（Ⅰ）從統(tǒng)計(jì)的角度，你認(rèn)為甲與乙比較，演唱水平怎樣？（Ⅱ）現(xiàn)場(chǎng)有3名點(diǎn)評(píng)嘉賓A、B、C，每位選手可以從中選2位進(jìn)行指導(dǎo)，若選手選每位點(diǎn)評(píng)嘉賓的可能性相等，求甲乙兩選手選擇的點(diǎn)評(píng)嘉賓恰重復(fù)一人的概率．參考答案：【考點(diǎn)】莖葉圖；古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】綜合題；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（Ⅰ）由莖葉圖可得：，，，即可得出結(jié)論；（Ⅱ）求出所有基本事件，其中，甲乙兩選手選擇的點(diǎn)評(píng)嘉賓恰重復(fù)一人包含6個(gè)基本事件，即可求出甲乙兩選手選擇的點(diǎn)評(píng)嘉賓恰重復(fù)一人的概率．【解答】解：（Ⅰ）由莖葉圖可得：，，，所以甲演唱水平更高一點(diǎn)，但甲的方差較大，即評(píng)委對(duì)甲的水平認(rèn)可存在較大的差異

…（Ⅱ）依題意，共有9個(gè)基本事件：其中，甲乙兩選手選擇的點(diǎn)評(píng)嘉賓恰重復(fù)一人包含6個(gè)基本事件．所以，所求概率為．

…【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的計(jì)算，考查莖葉圖，確定基本事件的個(gè)數(shù)是關(guān)鍵．20.下表是我國(guó)一個(gè)工業(yè)城市每年中度以上污染的天數(shù),由于以前只注重經(jīng)濟(jì)發(fā)展,沒有過多的考慮工業(yè)發(fā)展對(duì)環(huán)境的影響,近幾年來,該市加大了對(duì)污染企業(yè)的治理整頓,環(huán)境不斷得到改善．(1)在以上5年中任取2年,至少有1年中度以上污染的天數(shù)小于60天的概率有多大;(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;(3)按照環(huán)境改善的趨勢(shì),估計(jì)2016年中度以上污染的天數(shù)．參考公式:用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式．參考答案：(1)在2010至2014年的5年中,有兩年中度以上污染的天數(shù)小于60天,所以概率為．(2)將代入得,∴,所以線性回歸方程．(3)估計(jì)2016年中度以上污染的天數(shù)為天．分析：本題主要考查的是線性回歸方程的應(yīng)用和古典概型的簡(jiǎn)單應(yīng)用,意在考查學(xué)生的計(jì)算求解能力.(1)利用對(duì)立事件的概率和為1,進(jìn)行求解;(2)根據(jù)表格得到,代入公式求得線性回歸方程(3)由(2)計(jì)算可得答案.21.（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.如圖，點(diǎn)為斜三棱柱的側(cè)棱上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）在任意中有余弦定理：．拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明．（3）在（2）中，我們看到了平面圖形中的性質(zhì)類比到空間圖形的例子，這樣的例子還有不少．下面請(qǐng)觀察平面勾股定理的條件和結(jié)論特征，試著將勾股定理推廣到空間去．勾股定理的類比三角形ABC四面體O-ABC條件AB⊥ACOA、OB、OC兩兩垂直結(jié)論AB2+AC2=BC2？請(qǐng)?jiān)诖痤}紙上完成上表中的類比結(jié)論，并給出證明．參考答案：（1）證：；（4分）（2）解：在斜三棱柱中，有其中為平面與平面所組成的二面角.

（7分）上述的二面角為，在中，?，由于，有.

（10分）（3）空間勾股定理的猜想：已知四面體O-ABC的三條側(cè)棱OA、OB、OC兩兩垂直，則有