在萬有引力作用下的質(zhì)點運動

本科畢業(yè)論文題目:在萬有引力作用下的質(zhì)點運動問題完成人姓名：主修專業(yè)： 物理學(xué)教育所在院（系）： 物理系入學(xué)年度： 2006年完成日期：指導(dǎo)教師： 在萬有引力作用下的質(zhì)點運動問題物理系摘要：質(zhì)點在萬有引力作用下的運動是經(jīng)典力學(xué)的一個重要問題，在萬有引力作用下行星繞太陽作橢圓運動，太陽位于橢圓的一個焦點上。人造衛(wèi)星運動也是衛(wèi)星受地球萬有引力作用繞地球作橢圓運動。這樣萬有引力作用下的質(zhì)點運動問題就顯得尤為重要。本文主要是根據(jù)萬有引力的知識解決地球衛(wèi)星的速度，變軌等問題。通過導(dǎo)出的極坐標(biāo)系下物體在萬有引力作用下運行的軌道方程，對人造地球衛(wèi)星的軌道轉(zhuǎn)換進(jìn)行了定性的分析與探討。本文從整體上分為兩大部分，第一部分首先給出有心力即萬有引力的定義基本特征，研究萬有引力作用下的質(zhì)點運動，得出行星橢圓軌道的運動方程及速度。第二部分從基本知識和方程入手重點研究宇宙速度和宇宙航行。使得概念和物理量的物理意義更加直觀。關(guān)鍵詞：有心力；萬有引力；行星的速度；橢圓軌道；宇宙速度UndertheactionofgravityparticlemotionproblemsGuohaoDepartmentofPhysics,BohaiUniversityAbstract:Undertheactionofgravityparticleinsportsisanimportantproblemofclassicalmechanicsongravitation,undertheplanetsrevolvearoundthesun,sunforellipticmovementisafocusoftheellipse.SatelliteisbyearthsatelliteorbitedtheearthgravityACTSasellipticalmovement.Soundertheactionofgravityparticlemotionproblemsappearparticularlyimportant.Thispaperismainlybasedontheknowledgeofgravityearthsatellitestosolveproblemssuchasthespeed,theorbitchanges.Throughthepolarcoordinateobjectsinundergravity'sorbitsatellites,theequationoftherailtransitionqualitativeanalysisanddiscussion.Basedonthewhole,thefirstpartaredividedintotwomostfirsthaveheartnamelydefinitionofgravitycharacteristics,researchundertheactionofgravityparticlemovement,ellipticalorbitofplanetarymotionequationandspeed.Thesecondpartoftheuniversefromthebasicfocusspeedandcosmicvoyage.Makephysicalconceptandthephysicalmeaningmoreintuitive.Keywords:Centralforce;Gravitation;Thespeedoftheplanet;Ellipticalorbit;CosmicvelocityTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"引言 1\o"CurrentDocument"一、 行星運動及kepler定律 1\o"CurrentDocument"二、 有心力和有心運動 2（一） 基本特性 2質(zhì)點的動量矩守恒 2有心運動是平面運動 3有心運動質(zhì)點的機械能守恒 3（二） 運動方程 3（三） 軌道微分方程 5\o"CurrentDocument"三、 萬有引力作用下的質(zhì)點運動 6（一） 軌道方程 6（二） 行星的橢圓軌道運動 7軌道方程 7行星橢圓軌道方程的長短半軸 9行星速度 11行星法向和切向加速度 11行星作橢圓軌道運動的曲率半徑 12\o"CurrentDocument"四、 宇宙速度和宇宙航行 12（一） 人造地球衛(wèi)星在軌運行的軌道方程 12（二） 宇宙速度 15（三） 衛(wèi)星軌道轉(zhuǎn)換的實現(xiàn) 16結(jié)論 18參考文獻(xiàn) 19萬有引力作用下的質(zhì)點運動引言經(jīng)典力學(xué)的發(fā)展是與對天體運行的觀察和研究分不開的［1。行星繞恒星的運動屬于所謂“有心運動”一類的運動。人造地球衛(wèi)星變軌問題，由于其所涉及的相關(guān)知識較多，綜合性較強，在物理教材中只是一帶而過，使許多學(xué)生對衛(wèi)星在軌運行速率發(fā)生變化時衛(wèi)星的軌道隨之發(fā)生變化的規(guī)律感到困惑不解，總認(rèn)為衛(wèi)星在軌運行速率V理，軌道半徑越大，衛(wèi)星速率越小，而使衛(wèi)星的速度增加，衛(wèi)星\r卻遠(yuǎn)離地球,作為物理教師有必要對此問題分析與探討，本文將對行星的橢圓軌道方程和衛(wèi)星變軌問題做進(jìn)一步的分析和解決，有助于拓寬學(xué)生視野，引導(dǎo)學(xué)生突破難點，解決問題。一、行星運動及kepler定律日、月、星辰東升西落的天文現(xiàn)象，人類對其認(rèn)識經(jīng)歷了漫長的道路。十六世紀(jì)前的“地心說”被教會用來作為“上帝造物”的依據(jù)，束縛著人類的思想。波蘭天文學(xué)家哥白尼經(jīng)過四十年的天文觀測和研究，提出了“日心說”。德國天文學(xué)家kepler在總結(jié)前人對天體運行位置測量的資料后，在1609-1619年先后提出了“行星運行三定律"（kpler定律）。Newton在總結(jié)前人的科學(xué)實驗，特別是伽利略“自由落體”定律的基礎(chǔ)上，提出了動力學(xué)三定律(Newton定律)，并于1686年提出了“萬有引力定律”⑵。二、有心力和有心運動基本特性取力心為慣性系坐標(biāo)的原點，則質(zhì)點受到的有心力可按定義寫為—?-rF=F(r)-=F(r)—rr其中，—=r弓是質(zhì)點的位置矢量。由此可以立即知道有心力對于力心的力矩為零。因為有心力的方向總是通過力心，有心力對力心(坐標(biāo)原點)的力矩為M=rxF=rF(r)exe=0其次，有心力是保守力。這是因為有心力只具有徑矢方向的分量，因而質(zhì)點由P1點運動到P2點時有心力作的功是PrW-j1F(r)edr-fF(r)drr「2 r2這個積分只與起點和終點離開力心的距離尸1和r2有關(guān)，顯然與質(zhì)點運動的路徑無關(guān)。這就證明了有心力是保守力［3。根據(jù)有心力的特點，立即可以推得質(zhì)點有心運動的一些基本特性。質(zhì)點的動量矩守恒質(zhì)點受到的有心力對于力心的力矩為零，由動量矩定理立即可知，質(zhì)點在運動過程中對力心（坐標(biāo)原點）的動量矩守恒，即L=rxmv=L0=恒矢量有心運動是平面運動由于角動量與質(zhì)點的位矢r及速度矢量v都垂直，質(zhì)點的角動量卻是一恒量矢量，因而質(zhì)點的位矢和速度都只能在與角動量L=（=L0）垂直的平面內(nèi)。質(zhì)點的有心運動只能是平面，有心運動的軌道曲線是平面曲線。質(zhì)點的運動平面，是由質(zhì)點的初始位矢和初始速度矢量所決定的。有心運動質(zhì)點的機械能守恒作用于質(zhì)點的有心力是保守力，質(zhì)點具有勢能：V（r）=-rF（r）dr+V（r）0r0質(zhì)點的總機械能守恒：E=T+V=1mv2+V二常量2（二）運動方程前面討論了有心力和質(zhì)點有心運動的一些特點，對求解有心運動問題提供了有利的幫助。質(zhì)點有心運動問題的求解采用平面極坐標(biāo)系是最為適宜的。取運動平面為極坐標(biāo)平面，角動量則與極坐標(biāo)平面垂百，質(zhì)點的運動微分方程可寫為m(r—r02)=F=F(r)rm(Gr+2r0)F=0上面的第二個方程很容易積分，注意到：書+2書=1位主

rdt因而有dt立即得出第一積分:這里h是積分常數(shù)。這個積分實際上就是質(zhì)點角動量守恒的極坐標(biāo)表示式。由式:—?L=Le=rxmv=mrx(re+rO—9)=mr20—.r29'=L=hm因此，對于有心運動，通常是在給定的初始條件下求解下列方程組:F(r)

r—r92= mr29=h除這兩個方程外，還可利用機械能守恒方程:

1 .—m(r2+r202)+V(r)—E在上述三個方程中，只需適當(dāng)選取兩個方程，便可解得質(zhì)點的運動。軌道微分方程關(guān)于有心運動，人們感興趣的常常是質(zhì)點的運動軌道。我們可以通過求解運動方程，先得到以時間t為參量的軌道參量方程r-r(t)，0-0⑺然后消去t得出軌道曲線方程r-r(0).但也可以一開始就在運動方程中消去時間參量t得到軌道微分方程，然后求軌道微分方程的解得出軌道曲線方程。r=攵0—hdr—-hd(!)

d0 r2d0 d0r式子中已經(jīng)利用關(guān)系式。再引進(jìn)變換：1u=——?r則有0=hu2dud0r=-dud0r=-h虹0

d02=—h2u2d2ud02代入運動方程中的第一式，即得到軌道微分方程:d2u,—mh2u2(———+u)=F(u)這個方程也稱為比內(nèi)公式［4，是二階非線性微分方程。對此求解可得u=u(0)，從而得到質(zhì)點的軌道方程r=1/u(0)=r(0)。它把質(zhì)點所受的有心力、有心力場中的運動特征(角動量守恒)以及r和0為變量的

一個微分方程之內(nèi)，因而既可以用它由已知軌道r=r(9)求有心力F(r)的具體形式；也可以用它由已知有心力求運動軌道。尤其在我們已知軌道而希望求力的規(guī)律時特別有用。式中F(r)的正負(fù)取決于有心力是斥力還是引力：斥力時為止號，引力時為負(fù)號。三、萬有引力作用下的質(zhì)點運動(一)軌道方程萬有引力具有如下形式:萬 k2F=——r2F(u)=—k2u2其中，度是與力的性質(zhì)有關(guān)的常量。為求質(zhì)點的運動軌道，將此式代入軌道微分方程，可得方程:TOC\o"1-5"\h\zd2u k2=—U+d92 mhd2 k2 k2——(u———)=—(u———)d92 mh2 mh這是簡諧運動類型的微分方程，容易得出它的解為u=—=^2+acos(9-9)mh"kTrmhmh"kT1r=+Acos(9-9) 1+型^Acos(9-9)mh 0k2 0其中，A和都是積分常數(shù)，由初始條件確定；h與質(zhì)點的動量矩相關(guān)。若令mh2p=~r~k2mh2,e= Ak2則軌道方程可寫為r= 八八1+ecos（0—0°）只需適當(dāng)選取極坐標(biāo)軸（x軸）的方向，在上式中便可以取等號時，此時質(zhì)點有心運動的軌道極坐標(biāo)方程可寫成Pr= 1+ecos0這是典型的圓錐曲線極坐標(biāo)方程，力心（坐標(biāo)原點）位于圓錐曲線的焦點。式子中e稱為軌道的偏心率［5,p是圓錐曲線正焦弦長度的一半。橢圓、拋物線和雙曲線都是圓錐曲線，這取決于偏心率e的數(shù)值。（二）行星的橢圓軌道運動軌道方程設(shè)橢圓的長短半軸分別為a和b,橢圓的兩焦點f,F之間的距離為2c,a>c,太陽位于焦點f2處,P為橢圓軌道上行星經(jīng)過的任意一點,如圖1所示.按余弦定理可得(2a—r)2=(2c)2+r2—4crcos0因有c2=a2+b2，故可得

1b2,(a2-b2)2——=1 cos0ar a圖11設(shè)2a=也為正焦弦，8=（a2一b2）2為偏心率，則a aa=1-8cos0r（1）如圖2所示。圖2圖2當(dāng)式（1）中0角的初始角為兀時，式（1）等價于行星橢圓軌道方程。如圖1所示，按余弦定理可得(2c)2=r2+(2a-r)2-2r(2a-r)cos2^因cos因cos2^=cos2$-1故得橢圓表示式為:人bcos9=. —（2）t'r(2a-r)（2）?、,，bsrnv= —<r(2a-r)

行星橢圓軌道方程的長短半軸（1）行星橢圓表達(dá)式行星在太陽引力場作用下運動，由于引力場是有心力場,所以行星運動遵守角動量和能量守恒定律.當(dāng)行星在軌道上運動時，設(shè)行星質(zhì)量為m,它在軌道上任意點速度為v,太陽質(zhì)量為M,行星和太陽中心之間距離為r,行星太陽系統(tǒng)的總能量為E,按能量守恒定律有:（3）（4）式中G為萬有引力常數(shù)。對于行星太陽系統(tǒng)，在行星軌道上存在一點P，太陽中心和？點的矢徑為rp，該點的行星速度為vp。rp和vp，之間的夾角為Vp，如圖3所示，太陽中心和vp，之間的垂直距離為b（在橢圓軌道情況下，b豐rp），這個b即行星橢圓軌道的短半軸，根據(jù)角動量守恒定律mvrsinmvrsinW_mvrsinW（5）由圖3知b_rsinvPP故可得.vbsmw故可得.vbsmw_-Pvr（6）將式（4）代入（6）可得（7）TOC\o"1-5"\h\z? b（7）sinv_ 一I1T2GM2ErL+后■1-p p」式（7）為行星橢圓軌道表達(dá)式。

將（2）和式（7）相對照，可得GM =a（8）v2（8）2E

mv2

p故有：（9）「 1GMm（9）E= 2a式（9）為行星太陽系統(tǒng)總能量。（2）行星橢圓軌道的長短半軸[6]由式（9）可得長半軸a的絕對值\a\\a\=GMm（10）對于行星太陽系統(tǒng)，遵守角動量守恒定律，，從圖3可知角動量L=mVpb即短半軸為由式（8）知，，E由式（8）知，，E=-2mvp2b=上mvP故得（11）b=-L=（11）?\：‘2iEim

行星速度行星速度v可從行星太陽系統(tǒng)總能量表達(dá)式導(dǎo)出。將式（9）代入1GMm1GMmiD 1GMm1GMmiD — —mv2—co(Sco(S=vr(2a—r)所以法向加速度所以法向加速度（12）v2=GM式（12）為行星作橢圓軌道運動的速度表達(dá)式。行星法向和切向加速度如圖3所示，行星的引力加速度GM在直線PF2上，其方向指向太陽中心F，行星的法向加速度a沿角FPF的平分線上。a=GMco曲根據(jù)式（2）有GMbGMb（13）r2^r(2a—r)如圖3所示，切向加速度GM由式（2）可得,'2ar—r2—b22ar—r2所以切向加速度

GM.2ar—r2—b2a= tr2k2ar—r2行星作橢圓軌道運動的曲率半徑[7]如圖3所示，曲率半徑p在FPF的角平分線上，有1 2V2

a=—

np將式（12）和式（13）代入上式，可得曲率半徑（14）（2ar一r2）2

ab（14）由上面的討論可見，在研究有心力場問題時，采用橢圓表示式處理行星運動的物理問題方法簡潔，對深化理解有心力場的物理內(nèi)容也是有益的。宇宙速度和宇宙航行（一）人造地球衛(wèi)星在軌運行的軌道方程質(zhì)點在有心力場中運動時，徑向速度等于零的那些點又稱為拱點。力心與拱點連線稱為拱心線。力心與拱點間的距離稱為拱點力心距，簡稱拱距⑻。它實際上確定了運動的邊界到力心的距離。以地心為極點，在衛(wèi)星地球連線和速度方向所決定的平面內(nèi)建立極坐標(biāo)系，由于衛(wèi)星是在有心力作用下的運動，故滿足角動量守恒和機械能守恒兩個規(guī)律，根據(jù)角動量守恒定律有：mr2s=mr2s0 0

其中，，。為發(fā)射時衛(wèi)星到地心的距離，30為發(fā)射時繞地球旋轉(zhuǎn)的角速度⑼。用C表示營0，則r2?=C （1）取無窮遠(yuǎn)處引力勢能為零，則在任意距離r處的引力勢能為￡廣彳嘩，衛(wèi)星的機械能為：（2）（3）1 1-dr Mm（2）（3）E=2m(v2+V92)+E=2m[(3)2+(r?)2]-G（1）、(2)兩式子聯(lián)立，并利用?=dr，便可解得：dr（1）、 GM)2cos(9)2cos(9-9)1+I+——( mGM式中9為積分常數(shù)，將極軸轉(zhuǎn)過以個角度，（3）式中9為積分常數(shù)，將極軸轉(zhuǎn)過以個角度，（3）式子可寫成（4） GM（4）-I2E,C「"1+〔1+——( )2cos9mGM（4）式就是物體在萬有引力作用下的運行軌道方程，將（4）式與極坐標(biāo)系的圓錐曲線方程r= P 比較分析軌道方程［1。］:1+ecos9a-當(dāng)e=0時，運動軌道為一圓，即(R+H)2v『sin2a-2(R+H)gR2v「sin2a+g2R4=0解此方程有：gR2gR2(R+H)(1土icota)〃即發(fā)射速度為實數(shù)故cota=0即a=90。，此時v=對g，即就是。 0 （R+H）說，當(dāng)衛(wèi)星的發(fā)射速度方向與地心到該衛(wèi)星的連線（極徑）方向垂直時，并且滿足發(fā)射速度是高度的單值函數(shù)［11］即v0=Rlg，此時衛(wèi)星便繞地球作圓周運動，運動半徑為（R+H）。梢當(dāng)0〈川時，運動軌道為一橢圓，即:^當(dāng)e=1時，運動軌道為拋物線，即:v°=%*土當(dāng)鞏，運動軌道為雙曲線，即V0〉R\(R+H)根據(jù)b，c，d似乎發(fā)覺衛(wèi)星作橢圓，拋物線，雙曲線運動與發(fā)射角無關(guān)，果真是這樣的嗎？實際上，這只是一種理想化模型，是假設(shè)地球與衛(wèi)星為質(zhì)點的情況下菜成立的，在實際問題中，我們需要考慮他們的大小，軌道是不能穿過地球的，即還有一個條件：r.>R（這里衛(wèi)星仍被視為質(zhì)點）由于在軌道方程中，我們以地球的中心作為曲線的右焦點處理的，根據(jù)解析幾何知識，在曲線上頂點到焦點的距離最短，故當(dāng)4=0時有最小的距離r.=ep/(1+e)>R,將ep=h2/k2,e=\A\h2/k2代入此不等式，并解之有:v、R：(H2+HR)2gR (5)o(R+H)\'(R+H)sin2a-R2故發(fā)射速度v與發(fā)射角a必須滿足(4)式才能使衛(wèi)星軌道不穿過地球.0事實上由(4)式亦可知，欲使不等式右邊為實數(shù)，要求|sina，R/(R+H),如果a太小，此不等式便不會成立，那么軌道便會過地球,這是不符合實際的[12]如果質(zhì)點在勢場中運動是周期性的，則軌道是閉合的。就是說，在徑向極限匕詛和r之間往返有限次之后，周而復(fù)始，完全重復(fù)原先的運動。反之，如果在有限次振蕩之后，軌道不能自行閉合則稱軌道式開放的。下面我們再討論一下近地面發(fā)射問題,近地面發(fā)射有H=0,由(4)式可知|sina|，R/(R+H),故只能取等號，于是有a=90°,當(dāng)H=0a,=90。時，(4)式右邊根號下成立了0/0型極限問題,根據(jù)數(shù)學(xué)知識可求出lim(R*二M；RR2=2，由(4)式得：vo>JgR宇宙速度近地面發(fā)射問題只可能是發(fā)射速度與極徑垂直，發(fā)射的最小速度是點R(又稱第一宇宙速度)，此時衛(wèi)星以最小速度繞地球表面作圓周運動，當(dāng)發(fā)射速度達(dá)七疙戒時(又稱第二宇宙速度)衛(wèi)星以地球心為焦點作拋物線運動，當(dāng)然再也不可能返回地球，因為拋物線為非閉合曲線,當(dāng)發(fā)射速度介于荻和、?斯之間時,衛(wèi)星作橢圓運動，并隨速度的增大橢圓越扁，地球為橢圓的一個焦點，發(fā)射點為近地點.當(dāng)衛(wèi)星速度大于t斯而小于第三宇宙速度時（物體逃離太陽系的速度，又稱逃逸速度）它將在地球引力范圍內(nèi)作雙曲線運動，當(dāng)衛(wèi)星脫離地球引力后,將繞太陽運動成為太陽的一個行星,如果控制發(fā)射速度和軌道,它也可成為其它行星的衛(wèi)星。（三）衛(wèi)星軌道轉(zhuǎn)換的實現(xiàn)由第一宇宙速度可以看出，在軌的人造衛(wèi)星其速度完全由軌道半徑大小決定：與其的平方根成反比一一軌道半徑越小的，其速度越大（貼地球表面飛行，其速度最大，即為第一宇宙速度7.9千米/秒）；軌道半徑越大的，其速度越小。在變軌過程中，人造衛(wèi)星由低軌道調(diào)整到高軌道，其軌道半徑增加，那么運行速度將比原來的小。將人造地球衛(wèi)星送入預(yù)定軌道已相當(dāng)困難,而將它從一個軌道精確轉(zhuǎn)移到另一軌道,更是難上加難。現(xiàn)僅定性說明一下如何將衛(wèi)星從圓軌道r轉(zhuǎn)換到圓軌道r2。理解變軌問題的關(guān)鍵是對公式V=.巫的正確理解.否則，自然\r就會產(chǎn)生本文開頭所提到的問題.真正理解上式，關(guān)鍵在于必須清楚上式成立的前提條件:衛(wèi)星沿半徑為r的圓軌道勻速率運行時，即離地心為r,且徑向速度vr=0,此時衛(wèi)星所需向心力恰好由萬有引力提供,即滿足gM；=mV2^也即：%=停如圖4中幾個軌道.A:半徑為r的圓;B:半徑為r2的圓;a:表示一類橢圓（圖4中只畫出一個），近地點離地心為r3，遠(yuǎn)地點離地心為r2；b：表示另一類橢圓，近地點離地心為r，遠(yuǎn)地點離地心r>r.欲使衛(wèi)星在1 3 2A軌道上運行，必須滿足：（1）將它送至ri處；（2）速率必須是y您；' ‘1（3）速度與地面平行.這就是說，僅滿足速率公式，而速度方向不滿足vr=0，則仍不能沿圓軌道A運動.同理，若在r2處給衛(wèi)星一個速率