2021年吉林省長春市中考數(shù)學(xué)試卷

2021年吉林省長春市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

1.（3分）（2021?長春）-（-2）的值為（）

A.AB.-AC.2D.-2

22

2.（3分）（2021?長春）據(jù)報道，我省今年前4個月貨物貿(mào)易進出口總值為52860000000元

人民幣，比去年同期增長28.2%.其中52860000000這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.5286X1011B.5.286X1O10

C.52.86X109D.5286X107

3.（3分）（2021?長春）如圖是一個幾何體的三視圖，這個幾何體是（）

主視圖左視圖

俯視圖

A.圓錐B.長方體C.球D.圓柱

4.（3分）（2021?長春）關(guān)于x的一元二次方程7-6x+，w=0有兩個不相等的實數(shù)根，則機

的值可能是（）

A.8B.9C.10D.11

5.（3分）（2021?長春）如圖是凈月潭國家森林公園一段索道的示意圖.已知A、8兩點間

的距離為30米，/A=a,則纜車從A點到達(dá)B點，上升的高度（BC的長）為（）

A.30sina米B.1O米c.30cosa米D.30米

sinClcosCL

6.（3分）（2021?長春）如圖，AB是。。的直徑，8c是。。的切線，若NBAC=35°,則

NACB的大小為（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

7.（3分）（2021?長春）在△ABC中，ZBAC=90a,AB^AC,用無刻度的直尺和圓規(guī)在

BC邊上找一點O,使△ACO為等腰三角形.下列作法不正確的是（）

A.

8.（3分）（2021?長春）如圖,x>0)

x

的圖象上，過點4作x軸的垂線，與函數(shù)y=-K（x>0）的圖象交于點C,連結(jié)3。交

X

則點3的橫坐標(biāo)為（）

5D.3

2

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

9.（3分）（2021?長春）分解因式：a1+2a=

9Y>-1

10.（3分）（2021?長春）不等式組M'的所有整數(shù)解為

X41

11.（3分）（2021?長春）將一副三角板按如圖所示的方式擺放，點。在邊AC上，BC//EF,

則NADE的大小為度.

12.（3分）（2021?長春）如圖是圓弧形狀的鐵軌示意圖，半徑04的長度為200米，圓心

角NAO8=90°,則這段鐵軌的長度為米.（鐵軌的寬度忽略不計，結(jié)果保留

TT）

13.（3分）（2021?長春）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形AOB的斜邊OA在

y軸上，OA=2,點8在第一象限.標(biāo)記點8的位置后，將△AOB沿x軸正方向平移至

△A1O1B1的位置，使4。1經(jīng)過點B,再標(biāo)記點B\的位置，繼續(xù)平移至△A2O2B2的位置,

使A2O2經(jīng)過點Bi,此時點Bi的坐標(biāo)為.

14.（3分）（2021?長春）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（2,4）在拋物線y=o?上，

過點A作y軸的垂線，交拋物線于另一點8,點C、。在線段48上，分別過點C、。作

x軸的垂線交拋物線于E、F兩點.當(dāng)四邊形CDFE為正方形時，線段CD的長

為.

三、解答題（本大題共10小題，共78分）

15.（6分）（2021?長春）先化簡，再求值：（a+2）（a-2）+a（1-a）,其中〃=加+4.

16.（6分）（2021?長春）在一個不透明的口袋中裝有三個小球，分別標(biāo)記數(shù)字1、2、3,每

個小球除數(shù)字不同外其余均相同.小明和小亮玩摸球游戲，兩人各摸一個球，誰摸到的

數(shù)字大誰獲勝，摸到相同數(shù)字記為平局.小明從口袋中摸出一個小球記下數(shù)字后放回并

攪勻，小亮再從口袋中摸出一個小球.用畫樹狀圖（或列表）的方法，求小明獲勝的概

率.

17.（6分）（2021?長春）為助力鄉(xiāng)村發(fā)展，某購物平臺推出有機大米促銷活動，其中每千

克有機大米的售價僅比普通大米多2元，用420元購買的有機大米與用300元購買的普

通大米的重量相同.求每千克有機大米的售價為多少元？

18.（7分）（2021?長春）如圖，在菱形A8CD中，對角線AC與8。相交于點O,AC=4,

BD=8,點E在邊4。上，AE=1AD,連結(jié)BE交AC于點M.

3

（1）求AM的長.

19.（7分）（2021?長春）穩(wěn)定的糧食產(chǎn)量是人民幸福生活的基本保障，為了解糧食產(chǎn)量情

況，小明查閱相關(guān)資料得到如下信息：長春市2020年的糧食總產(chǎn)量達(dá)到960萬噸，比上

年增長約9%.其中玉米產(chǎn)量增長約12%,水稻產(chǎn)量下降約2%,其他農(nóng)作物產(chǎn)量下降約

2020年長春市糧食產(chǎn)量扇形統(tǒng)計圖

（注：以上數(shù)據(jù)中糧食產(chǎn)量均精確到萬噸）

根據(jù)以上信息回答下列問題:

(1)2020年玉米產(chǎn)量比2019年玉米產(chǎn)量多萬噸.

(2)扇形統(tǒng)計圖中〃的值為.

(3)計算2020年水稻的產(chǎn)量.

(4)小明發(fā)現(xiàn)如果這樣計算2020年糧食總產(chǎn)量的年增長率：12%+(-2%)+(-10%)=Q,

3

就與2020年糧食總產(chǎn)量比上年增長約9%不符，請說明原因.

20.(7分)(2021?長春)圖①、圖②、圖③均是4X4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長

均為1,每個小正方形的頂點稱為格點，點A、&C均為格點.只用無刻度的直尺，分

別在給定的網(wǎng)格中找一格點按下列要求作圖:

(1)在圖①中，連結(jié)MA、MB,使

(2)在圖②中,連結(jié)MA、MB、MC,使M4=MB=MC；

(3)在圖③中，連結(jié)MA、MC,使NAMC=2/A2C.

圖①圖②

21.(8分)(2021?長春)《九章算術(shù)》中記載，浮箭漏(圖①)出現(xiàn)于漢武帝時期，它由供

水壺和箭壺組成，箭壺內(nèi)裝有箭尺，水勻速地從供水壺流到箭壺，箭壺中的水位逐漸上

升，箭尺勻速上浮，可通過讀取箭尺讀數(shù)計算時間.某學(xué)校STEAM小組仿制了一套浮箭

漏，并從函數(shù)角度進行了如下實驗探究：

【實驗觀察】實驗小組通過觀察，每2小時記錄一次箭尺讀數(shù)，得到如表：

供水時間X(小時)02468

箭尺讀數(shù)y(厘米)618304254

【探索發(fā)現(xiàn)】①建立平面直角坐標(biāo)系，如圖②，橫軸表示供水時間x.縱軸表示箭尺讀數(shù)

y,描出以表格中數(shù)據(jù)為坐標(biāo)的各點.

②觀察上述各點的分布規(guī)律，判斷它們是否在同一條直線上，如果在同一條直線上，求

出這條直線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，如果不在同一條直線上，說明理由.

【結(jié)論應(yīng)用】應(yīng)用上述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律估算：

①供水時間達(dá)到12小時時，箭尺的讀數(shù)為多少厘米？

②如果本次實驗記錄的開始時間是上午8：00,那當(dāng)箭尺讀數(shù)為90厘米時是兒點鐘？（箭

尺最大讀數(shù)為100厘米）

p（厘米）

54*

浮箭漏示意圖

48

供水壺42

36

30

24

18

12

6

311T1御調(diào)菱7事15（小時）

圖①圖②

22.（9分）（2021?長春）實踐與探究

操作一:如圖①，已知正方形紙片A8C。，將正方形紙片沿過點A的直線折疊，使點B

落在正方形ABCD的內(nèi)部，點B的對應(yīng)點為點M,折痕為AE,再將紙片沿過點A的直

線折疊，使與AM重合，折痕為AF,則NEAF=度.

操作二：如圖②，將正方形紙片沿￡尸繼續(xù)折疊，點C的對應(yīng)點為點N.我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)

點E的位置不同時，點N的位置也不同.當(dāng)點￡在BC邊的某一位置時，點N恰好落在

折痕4E上，則NA￡F=度.

在圖②中，運用以上操作所得結(jié)論，解答下列問題:

（1）設(shè)AM與NF的交點為點P.求證：△ANP//\FNE；

（2）若AB=?,則線段AP的長為

圖①

23.（10分）（2021?長春）如圖,8c=3,點C為邊4c

的中點.動點P從點4出發(fā),沿折線A8-BC以每秒1個單位長度的速度向點C運動,

當(dāng)點P不與點A、C重合時，連結(jié)PD.作點A關(guān)于直線PQ的對稱點A',連結(jié)A'D、

A'A.設(shè)點P的運動時間為，秒.

(1)線段A。的長為:

(2)用含「的代數(shù)式表示線段BP的長；

(3)當(dāng)點A'在△ABC內(nèi)部時，求f的取值范圍;

(4)當(dāng)NA4'。與NB相等時，直接寫出，的值.

24.(12分)(2021?長春)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=2(x-巾)2+2m(山為常數(shù))

的頂點為4

(1)當(dāng)巾=工時，點A的坐標(biāo)是,拋物線與y軸交點的坐標(biāo)

2

是：

(2)若點A在第一象限，且OA=泥，求此拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫出

函數(shù)值y隨x的增大而減小時x的取值范圍；

(3)當(dāng)xW2〃?時，若函數(shù)y=2(x-〃z)2+2%的最小值為3,求機的值；

(4)分別過點P(4,2)、。(4,2-2m)作y軸的垂線，交拋物線的對稱軸于點M、N.當(dāng)

拋物線y=2(x-/?)2+2/n與四邊形PQNM的邊有兩個交點時，將這兩個交點分別記為

點8、點C,且點8的縱坐標(biāo)大于點C的縱坐標(biāo).若點8到)，軸的距離與點C到x軸的

距離相等，直接寫出〃?的值.

2021年吉林省長春市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

1.（3分）（2021?長春）-（-2）的值為（）

A.AB.-AC.2D.-2

22

【考點】相反數(shù).

【解答】解：-（-2）的值為2.

故選：C.

2.（3分）（2021?長春）據(jù)報道，我省今年前4個月貨物貿(mào)易進出口總值為52860000000元

人民幣，比去年同期增長28.2%.其中52860000000這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.5286X10“B.5.286X1O10

C.52.86X109D.5286X107

【考點】科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù).

【解答】解：52860000000=5.286X1O10.

故選:B.

3.（3分）（2021?長春）如圖是一個幾何體的三視圖，這個幾何體是（）

主視圖左視圖

俯視圖

A.圓錐B.長方體C.球D.圓柱

【考點】由三視圖判斷幾何體.

【解答】解：由于主視圖和俯視圖為長方形可得此幾何體為柱體，由左視圖為圓形可得

為圓柱.

故選：D.

4.（3分）（2021?長春）關(guān)于x的一元二次方程X2-6x+,〃=0有兩個不相等的實數(shù)根，則〃?

的值可能是（）

A.8B.9C.10D.11

【考點】根的判別式.

【解答】解：根據(jù)題意得△=（-6）2-4/n>0,

解得m<9.

故選：A.

5.（3分）（2021?長春）如圖是凈月潭國家森林公園一段索道的示意圖.已知A、B兩點間

的距離為30米，/A=a,則纜車從A點到達(dá)B點，上升的高度（BC的長）為（）

A.30sina米B.—螞一米C.30cosa米D._3。-米

sinCIcosCL

【考點】解直角三角形的應(yīng)用.

【解答】解：由圖可知，在△ABC中，ACLBC,

??.sqijnna-—-B--C--—-B--C-,

AB30

，BC=30sina米.

故選：A.

6.（3分）（2021?長春）如圖，AB是。。的直徑，BC是。。的切線，若NBAC=35°,則

/ACB的大小為（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

【考點】圓周角定理；切線的性質(zhì).

【解答】解：:BC是。。的切線，48是。。的直徑,

：.ABVBC,

.?.NA8C=90°,

AZACB=900-ZBAC=90°-35°=55°.

故選：C.

7.（3分）（2021?長春）在△ABC中，ZBAC=90°,AB^AC.用無刻度的直尺和圓規(guī)在

8c邊上找一點。，使△4C。為等腰三角形.下列作法不正確的是（）

【考點】等腰三角形的判定；作圖一復(fù)雜作圖.

【解答】解：A、由作圖可知AQ是△ABC的角平分線，推不出△AOC是等腰三角形，

本選項符合題意.

8、由作圖可知CA=C￡>,△4OC是等腰三角形，本選項不符合題意.

C、由作圖可知D4=CD,△AOC是等腰三角形，本選項不符合題意.

。、由作圖可知BQ=C￡）,推出AO=DC=BQ,△AOC是等腰三角形，本選項不符合題

意.

故選：A.

8.（3分）（2021?長春）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A、B在函數(shù)y=K（/>0,x>0）

X

的圖象上，過點A作x軸的垂線，與函數(shù)y=-K（x>0）的圖象交于點C,連結(jié)BC交

X

x軸于點。.若點A的橫坐標(biāo)為1,BC=38。，則點3的橫坐標(biāo)為（）

A.3B.2C.”D.3

22

【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

【解答】解：作軸于E,

J.AC//BE,

:.叢CDFS/\BDE,

?空=邁=型，

"BEDEBD'

,:BC=3BD,

.CF=DF=2

,,BEDET

：.CF=2BE,DF=2DE,

設(shè)B(—,b),

b

；.C(1,-2b),

?函數(shù)y=-K(x>0)的圖象交于點C,

x

-&=1X(-2b)--2b,

：.k=2b,

的橫坐標(biāo)為四=生=2,

bb

故選：B.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

9.（3分）（2021?長春）分解因式：a2+2a=a（a+2）

【考點】因式分解-提公因式法.

【解答】解：a^+2a—a（。+2）.

10.（3分）（2021?長春）不等式組12x>-l的所有整數(shù)解為0、1.

Ix<l

【考點】一元一次不等式組的整數(shù)解.

【解答】解：解不等式2x>-1,得：x>-0.5,

則不等式組的解集為-0.5VxW1,

不等式組的整數(shù)解為0、1,

故答案為：0、1.

11.（3分）（2021?長春）將一副三角板按如圖所示的方式擺放，點。在邊AC上，BC//EF,

則N4DE的大小為75度.

【考點】平行線的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì).

【解答】解：如圖，NC=30°,NE=45°,

.?.Z1=ZE=45°,

ZAD￡=Z1+ZC=45°+30°=75°,

故答案為：75.

12.（3分）（2021?長春）如圖是圓弧形狀的鐵軌示意圖，半徑04的長度為200米，圓心

角N4O8=90°,則這段鐵軌的長度為IOOTT米.（鐵軌的寬度忽略不計，結(jié)果保留

71）

【考點】弧長的計算.

【解答】解：圓弧長是：9°兀又2°°=100口（米）.

180

故答案是：lOOn.

13.（3分）（2021?長春）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形AO8的斜邊OA在

y軸上，04=2,點8在第一象限.標(biāo)記點8的位置后，將△AOB沿x軸正方向平移至

△40181的位置，使401經(jīng)過點B,再標(biāo)記點Bi的位置，繼續(xù)平移至△A2O2B2的位置,

使A2O2經(jīng)過點Bi,此時點B2的坐標(biāo)為（3,1）.

【考點】等腰直角三角形；坐標(biāo)與圖形變化-平移.

【解答】解：如圖所示，過點B作BPJ_y軸于點P,

；△ABO是等腰直角三角形，OA=2,

：.AP=OP=\,乙4。8=45°,

.?.△BP。是等腰直角三角形，

；.BP=PO=1,

由題意知點82的坐標(biāo)為（3,1）,

故答案為:（3,1）.

14.（3分）（2021?長春）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（2,4）在拋物線y=o?上，

過點A作y軸的垂線，交拋物線于另一點8,點C、。在線段AB上，分別過點C、。作

x軸的垂線交拋物線于E、尸兩點.當(dāng)四邊形COFE為正方形時，線段CD的長為-

2±2V5_.

【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

【解答】解：把A（2,4）代入中得4=4m

解得a—\,

.,.y=x2,

設(shè)點C橫坐標(biāo)為m,則CD=CE=2m,

.?.點E坐標(biāo)為（m,4-2m）,

m2=4-2m,

解得m--1-泥（舍）或m--1+75-

:.CD=2m=-2+2遙.

故答案為：-2+2/§.

三、解答題（本大題共10小題，共78分）

15.（6分）（2021?長春）先化簡，再求值：（a+2）（〃-2）+a（1-a）,其中&=加+4.

【考點】整式的混合運算一化簡求值.

【解答】解：原式=〃2-4+a-J

—a-4,

當(dāng)”=泥+4時，原式=遙+4-4=泥.

16.（6分）（2021?長春）在一個不透明的口袋中裝有三個小球，分別標(biāo)記數(shù)字1、2、3,每

個小球除數(shù)字不同外其余均相同.小明和小亮玩摸球游戲，兩人各摸一個球，誰摸到的

數(shù)字大誰獲勝，摸到相同數(shù)字記為平局.小明從口袋中摸出一個小球記下數(shù)字后放回并

攪勻，小亮再從口袋中摸出一個小球.用畫樹狀圖（或列表）的方法，求小明獲勝的概

率.

【考點】列表法與樹狀圖法.

【解答】解：畫樹狀圖如圖：

開始

小明123

/1\Z\/N

小亮123123123

共有9種等可能的結(jié)果，小明獲勝的結(jié)果有3種，

.??小明獲勝的概率為旦=」.

93

17.（6分）（2021?長春）為助力鄉(xiāng)村發(fā)展，某購物平臺推出有機大米促銷活動，其中每千

克有機大米的售價僅比普通大米多2元，用420元購買的有機大米與用300元購買的普

通大米的重量相同.求每千克有機大米的售價為多少元？

【考點】分式方程的應(yīng)用.

【解答】解：設(shè)每千克有機大米的售價為x元，則每千克普通大米的售價為（x-2）元,

依題意得：420=300,

xx-2

解得：x=7,

經(jīng)檢驗，x=7是原方程的解，且符合題意.

答：每千克有機大米的售價為7元.

18.（7分）（2021?長春）如圖，在菱形ABC。中，對角線4C與8。相交于點O,AC=4,

BD=8,點E在邊AO上，AE=1AD,連結(jié)BE交AC于點M.

3

（1）求AM的長.

（2）tan/M8。的值為工

【考點】菱形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形.

【解答】解：（1）在菱形A8C。中，

AD//BC,AD=BC,

：.XAEMs/\CBM,

?迪=嶇

*'CMBC"

"：AE=^AD,

3

：.AE=1.BC,

3

?幽=迪=工

"CMBC3"

.,.AM=—CM=^.AC=1.

34

（2）VA0=AAC=2,B0=2BQ=4,ACLBD,

22

AZBOM=90°,AM=OM=1AO=1,

2

：.tanZMBO=^-=l.

BO4

故答案為：1.

4

19.（7分）（2021?長春）穩(wěn)定的糧食產(chǎn)量是人民幸福生活的基本保障，為了解糧食產(chǎn)量情

況，小明查閱相關(guān)資料得到如下信息：長春市2020年的糧食總產(chǎn)量達(dá)到960萬噸，比上

年增長約9%.其中玉米產(chǎn)量增長約12%,水稻產(chǎn)量下降約2%,其他農(nóng)作物產(chǎn)量下降約

10%.

2019年和2020年長春市糧食產(chǎn)量條形統(tǒng)計圖

，萬噸2020年長春市糧食產(chǎn)量扇形統(tǒng)計圖

800-7O7HM廿拗

600-.

400-.

R/W\)

200-■147

玉米水稻其他

口2019年■2020年\82.5%/

（注：以上數(shù)據(jù)中糧食產(chǎn)量均精確到萬噸）

根據(jù)以上信息回答下列問題：

（1）2020年玉米產(chǎn)量比2019年玉米產(chǎn)量多85萬噸.

（2）扇形統(tǒng)計圖中〃的值為15.

（3）計算2020年水稻的產(chǎn)量.

（4）小明發(fā)現(xiàn)如果這樣計算2020年糧食總產(chǎn)量的年增長率:12%+(-2%)+(-10%)=0,

3

就與2020年糧食總產(chǎn)量比上年增長約9%不符，請說明原因.

【考點】扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖.

【解答】解：(1)792-707=85(萬噸)，

故答案為：85：

(2)1-82.5%-2.5%=15%,

."=15,

故答案為：15；

(3)147X(1-2%)=144.06(萬噸),

答：2020年水稻的產(chǎn)量為144.06萬噸：

(4)正確的計算方法為：(792+144.06+24-707-147-27)+(707+147+27)X100%

生9%,

因為題中式子中的幾個百分?jǐn)?shù)基數(shù)不同，所以不能這樣計算.

20.(7分)(2021?長春)圖①、圖②、圖③均是4X4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長

均為1,每個小正方形的頂點稱為格點，點人B、C均為格點.只用無刻度的直尺，分

別在給定的網(wǎng)格中找一格點M,按下列要求作圖：

(I)在圖①中，連結(jié)MA、MB,使MA=M8；

(2)在圖②中，連結(jié)MA、MB、MC,使M4=MB=MC；

(3)在圖③中，連結(jié)AM、MC,使/4MC=2NABC.

【考點】作圖一應(yīng)用與設(shè)計作圖.

【解答】解：如圖，

B

圖①圖②圖③

21.（8分）（2021?長春）《九章算術(shù)》中記載，浮箭漏（圖①）出現(xiàn)于漢武帝時期，它由供

水壺和箭壺組成，箭壺內(nèi)裝有箭尺，水勻速地從供水壺流到箭壺，箭壺中的水位逐漸上

升，箭尺勻速上浮，可通過讀取箭尺讀數(shù)計算時間.某學(xué)校STEAM小組仿制了一套浮箭

漏，并從函數(shù)角度進行了如下實驗探究:

【實驗觀察】實驗小組通過觀察，每2小時記錄一次箭尺讀數(shù)，得到如表：

供水時間x（小時）02468

箭尺讀數(shù)y（厘米）618304254

【探索發(fā)現(xiàn)】①建立平面直角坐標(biāo)系，如圖②，橫軸表示供水時間工縱軸表示箭尺讀數(shù)

y,描出以表格中數(shù)據(jù)為坐標(biāo)的各點.

②觀察上述各點的分布規(guī)律，判斷它們是否在同一條直線上，如果在同一條直線上，求

出這條直線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，如果不在同一條直線上，說明理由.

【結(jié)論應(yīng)用】應(yīng)用上述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律估算：

①供水時間達(dá)到12小時時，箭尺的讀數(shù)為多少厘米？

②如果本次實驗記錄的開始時間是上午8：00,那當(dāng)箭尺讀數(shù)為90厘米時是幾點鐘？（箭

尺最大讀數(shù)為100厘米）

p（厘米）

浮箭漏示意圖

123456789x（小時）

圖①圖②

【考點】一次函數(shù)的應(yīng)用.

【解答】解：【探索發(fā)現(xiàn)】①如圖②,

產(chǎn)厘米）

廠

「

54--一

—

—

廠

-:一_

48L_

一1_

42—

36

30

24

1S

12

6

O123456789式小時）

圖②

②觀察上述各點的分布規(guī)律，可得它們是否在同一條直線上，

設(shè)這條直線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=H+6,

則（b%,

l2k+b=18

解得：

lb=6

???y=6x+6；

【結(jié)論應(yīng)用】應(yīng)用上述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律估算：

①x=12時，＞=6X12+6=78,

.??供水時間達(dá)到12小時時，箭尺的讀數(shù)為78厘米；

②y=90時，6x+6=90,解得：x=14,

供水時間為14小時，

:本次實驗記錄的開始時間是上午8：00,8：00+14=22：00,

?，?當(dāng)箭尺讀數(shù)為90厘米時是22點鐘.

22.（9分）（2021?長春）實踐與探究

操作一：如圖①，已知正方形紙片ABCD，將正方形紙片沿過點A的直線折疊，使點B

落在正方形ABC。的內(nèi)部，點8的對應(yīng)點為點M,折痕為AE,再將紙片沿過點A的直

線折疊，使AO與4M重合，折痕為AF,則/￡4尸=45度.

操作二：如圖②，將正方形紙片沿￡尸繼續(xù)折疊，點C的對應(yīng)點為點N.我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)

點E的位置不同時，點N的位置也不同.當(dāng)點E在BC邊的某一位置時，點N恰好落在

折痕AE上，則NAEF=60度.

在圖②中，運用以上操作所得結(jié)論，解答下列問題：

(1)設(shè)AM與NP的交點為點P.求證：△ANP絲△FNE；

(2)若AB=yf^,則線段AP的長為2y-2.

【考點】四邊形綜合題.

【解答】操作一：

解：???四邊形4BCD是正方形，

：.ZC=ZBAD=90°,

由折疊的性質(zhì)得：NBAE=NMAE,ZDAF=ZMAF,

：.ZMAE+ZMAF^ZBAE+ZDAF^1.ZBAD=45,^,

2

即/EAF=45。,

故答案為：45；

操作二：

解：???四邊形ABCO是正方形，

：.ZB^ZC=90°,

由折疊的性質(zhì)得：NNFE=NCFE,NENF=NC=90°,NAFD=NAFM,

：.ZANF=\^Q-90°=90°,

由操作一得：ZEAF=45°,

.?.△ANF是等腰直角三角形，

；.N"N=45°,

AZAFD=ZAFM=45°+ZNFE,

：.2(45°+ZNFE)+NCFE=180°,

：.ZNFE=4CFE=30°,

ZAEF=90°-30°=60

故答案為：60；

(1)證明：???△ANF是等腰直角三角形，

:.AN=FN,

,:NAMF=NANF=9G°,ZAPN=ZFPM,

:.NNAP=/NFE=3Q°,

在△ANP和△FNE中，

<ZANP=ZFNE=90°

<AN=FN>

ZNAP=ZNFE

:.XANP烏XFNE(ASA)；

(2)由(1)得：△AM0多△FNE,

：.AP=FE,PN=EN,

,:NNFE=NCFE=3Q°,NENF=/C=90°,

：.ZNEF=ZCEF=60°,

AZA￡B=60°,

VZB=90°,

AZBAE=30°,

：.BE=^AB=1,

3

：.AE=2BE=2,

設(shè)PN=EN=a,

VZANP=90°,NAMP=30°,

：.AN=y/3PN=^,AP=2PN=2a,

"：AN+EN=AE,

yf^ci+a—2,

解得：a=y/3-1,

.,.AP=2a=2?-2,

故答案為：2"\/^-2.

23.（10分）（2021?長春）如圖，在aABC中，ZC=90°,AB=5,8c=3,點。為邊4c

的中點.動點P從點A出發(fā)，沿折線AB-BC以每秒1個單位長度的速度向點C運動，

當(dāng)點尸不與點4、C重合時，連結(jié)PZ）.作點A關(guān)于直線PD的對稱點4',連結(jié)A'D、

A'A.設(shè)點P的運動時間為，秒.

(1)線段A。的長為2；

(2)用含「的代數(shù)式表示線段BP的長；

(3)當(dāng)點A'在AABC內(nèi)部時，求，的取值范圍;

(4)當(dāng)/AA'。與NB相等時，直接寫出，的值.

【考點】幾何變換綜合題.

【解答】解：(1)在RtzXABC中，由勾股定理得：

AC=VAB2-BC2=4,

：.AD=1AC=2.

2

故答案為：2.

(2)當(dāng)0<fW5時，點P在線段AB上運動，PB=AB-AP=5-3

當(dāng)5<7<8時，點P在BC上運動，PB=t-5.

r5-t(0<t<5)

綜上所述,

t-5(5<t<8)

(3)如圖，當(dāng)點4落在AB上時，

"."AP—t,AD—2,cosA=2,

5

Z.在Rt/\APD中，COSA=-^.=A=A,

AD25

?,=8

5

如圖，當(dāng)點4落在BC邊上時，DP±AC,

"."AP—t,AD—2,cosA=±

5

.,.在RtZXAP。中，COSA=^=2=>1,

APt5

2

如圖，點H運動軌跡為以。為圓心，A。長為半徑的圓上,

(4)如圖，0<fV5時,

*.?N4V￡>=N5=NWAO,

ZADP-^ZA,AD=ZBAC+ZB=90Q,

??.ZADP=N8AC,

：.AE=lAD=\f

2

*.*cosA==」=生

APt5

Ar=—.

4

如圖，當(dāng)5VfV8時，

NAA'8=NB=ZA'AD,

NBAC+/B=90°,

???NBAC+NAAD=90°,

???PE//BA9

:"DPC=/B,

???在RtZiPCD中，CD=,AC=2，CP=S-tanZDPC=A,

3

：.tanZZ)PC=J^=-2-=A,

PC8-t3

???f=.1.3?

2

綜上所述，尸”或工1

42

24.(12分)(2021?長春)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=2(x-/n)2+2w(機為常數(shù))

的頂點為A.

(1)當(dāng)機=*時，點A的坐標(biāo)是(-1,1),拋物線與v軸交點的坐標(biāo)是(0,

3)；

2—

(2)若點A在第一象限，且。4=遙，求此拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫出

函數(shù)值y隨x的增大而減小時x的取值范圍；

(3)當(dāng)時