大數(shù)定率與中心極限定理習題

第四章大數(shù)定律及中心極限定理我的努力求學沒有得到別的好處，只不過是愈來愈發(fā)覺自己的無知。——笛卡兒?導學——極限論在概率研究中的應用本章是承前啟后的一章：明晰了“頻率與概率的關(guān)系”，這是一個遺留問題。并將《概率論》部分劃上了一個句號，這是承前;說它啟后，有定理設(shè)定：X,X，…,X…12 n,獨立同分布，這一設(shè)定在《數(shù)理統(tǒng)計》部分一直沿用了下去。全章由四節(jié)組成，§1節(jié)特征函數(shù)，§2節(jié)大數(shù)定律，講了三個定理，§3節(jié)隨機變量序列的兩種收斂性，§4節(jié)中心極限定理。三個定理?！按髷?shù)”及“極限”均要求nf+s，在實際問題中，n充分大即可?！?節(jié)主要研究對象為：算術(shù)平均值X=1（X+…+X）；§4節(jié)的主要研究對象為：n1 nZx=X+...+X，比X少了1。i1 n ni=1§2節(jié)的學習，不妨先從復習入手。第二、三章已熟悉了E（）及D0,先推算出1 一 一一八E（X）=~=氏D（X）==—o2這是核心推導之一，后面學《數(shù)理統(tǒng)計》會反復使nO2 1用，再由契比雪夫不等式及夾逼原理，可推出定理一，其中D（x）=獷中的n很寶貴。n1V定理二是由定理一推得的，關(guān)鍵點為：n=X+X+…+X及—=乙X=X，A1 2 nnn ii=1于是可用定理一了。推導本身是一件很愉快的事?！?節(jié)的三個定理可在比對中學習。定理一（契）不要求Xi，X2,…,X.，…一定為同分布，（貝）是由定理一（契）的特例。定理二（馬）不要求xi，X2,…,X”，…獨立或同分布。定理三（辛）不要求D（X）一定存在，“契”“馬”與“辛”的結(jié)論均為:nX一一N，即算術(shù)平均值依概率收斂于數(shù)學期望。“貝”的結(jié)論為：一Tfp，即n頻率依概率收斂于概率。這個結(jié)論很精致，十分簡單了。翻開§4節(jié)，一堆一堆的符號映入眼中，讓人頭大。其實，若標準化方法嫻熟，這

節(jié)并不難。Y=-4=1

nZX—E(ZX)iii=1fZT1J節(jié)并不難。Y=-4=1

nZX—E(ZX)iii=1fZT1JiJ~F(x)n上面這些，準化，limF(x)=fx可概括為：n充分大時，有：(Znx)ii=1Zx一g1 -t2e2dt<2k(Znx)*近~似

ii=1N(0,1)。(Zx)*是Zii=1i=1X的標i—E(ZX) Zx~nNiifZx1=1nnG棣莫佛一拉普拉斯定理改寫為：若n~b(n,p),則當n充分大時，nn*近~似n(0,1)。n由()得定義有：nn—e(n)n—由()得定義有：nD(n) ynp(1-pD(n) ynp(1-p)n有件事發(fā)人深思：X~U(a,b)或b(n,p)，但當n充分大后，i(ZX)*近~似N(0,1)，即ZX近~以正態(tài)。這表明，當n充分大后，單個的X是什么，ii ii=1 i=1已不重要，而它們的“合力”ZnX所演繹的是：正態(tài)分布。ii=1在《數(shù)理統(tǒng)計》部分，正態(tài)分布是絕對的主角。一填空題設(shè)隨機變量X服從幾何分布：P(X=k)=(1-p)k-1p,k=1,2,，則X的特征TOC\o"1-5"\h\z函數(shù)為。 …\o"CurrentDocument"(k-1)/ 、隨機變量X服從帕斯卡分布：P(X=k)= pr(1-p)kr,k=r,r+1,，Ir-1J則X的特征函數(shù)為。 …設(shè)X~N(N,o2)，則X的階中心矩為，階中心矩為。

有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長度不小于3m,現(xiàn)從這批木柱中隨機地取出100根，問其中至少有30根短于3m的概率為。5.某電子計算機有10個0終端，每個終端有80的%時間被使用。若各個終端是否被使用是相互獨立的，則至少有15個終端空閑的概率為。擲一顆骰子次，記第i次擲出的點數(shù)為X,i=1,2,,100，點數(shù)之平均為i— 1項X=二X，則概率P（3<X<4）=100ii=1汽車銷售點每天出售的汽車數(shù)服從參數(shù)為九=2的泊松分布。若一年 天都經(jīng)營汽車銷售，且每天出售的汽車數(shù)是相互獨立的。則一年中售出70輛0以上汽車的概率為。.一儀器同時收到 個信號U,i=1,2,,50.設(shè)它們相互獨立，且都服從（，）i內(nèi)的均勻分布，則P(內(nèi)的均勻分布，則P(Ei=1、>300)二計算題1.據(jù)以往經(jīng)驗，某種電器元件的壽命服從均值為10小0時的指數(shù)分布，先隨機地取36只，設(shè)它們的壽命是相互獨立的。求這16只元件的壽命的總和大于192小0時的概率。2．一部件包括10部分，每部分的長度是一個隨機變量，它們相互獨立，且服從同一分布，其數(shù)學期望為，均方差為，規(guī)定總長度為l土）時產(chǎn)品合格，試求產(chǎn)品合格的概率。計算器在進行加法時，將每個加數(shù)舍入最靠近它的整數(shù)。設(shè)所有舍入誤差是獨立的且在（-0.5，0.5）上服從均與分布。（1）若將1500個數(shù)相加，問誤差總和的絕對值超過15的概率是多少？（2）最多可有幾個數(shù)相加使得誤差總和的絕對值小于10的概率不小于0.90？設(shè)各零件的重量都是隨機變量，它們相互獨立，且服從相同的分布，其數(shù)學期望為0.5kg,問5000只零件的總重量超過2510kg的概率是多少？某單位設(shè)置一電話總機，共有200架電話分機。設(shè)每個電話分機是否使用外線通話是相互獨立的。設(shè)每時刻每個分機有5%的概率要使用外線通話。問總機需要多少外線才能以不低于90%的概率保證每個分機要使用外線時可供使用？一食品店有三種蛋糕出售,因為售出哪一種蛋糕是隨機的,因而售出一只蛋糕的價格是一個隨機變量,它取1（元）、1.2（元）、1.5（元）各個值的概率分別為0.3、0.2、0.5.某天售出300只蛋糕。（1）求這天的收入至少400（元）的概率；（2）求這天售出價格為1.2（元）的蛋糕多于60只得概率。（1）一復雜的系統(tǒng)由100個相互獨立起作業(yè)的部件所組成。在整個運行期間每個部件損壞的概率為0.10.為了使整個系統(tǒng)起作用,至少必須有85個部件正常工作,求整個系統(tǒng)起作用的概率。一復雜的系統(tǒng)由n個相互獨立起作用的部件所組成，每個部件的可靠性（即部件正常工作地概率）為0.90.且必須至少有80%的部件工作才能使整個系統(tǒng)工作,問n至少為多大才能使系統(tǒng)的可靠性不低于0.95。某藥廠斷言,該廠生產(chǎn)地某種藥品對于醫(yī)治一種疑難的血液病的治愈率為0.8。醫(yī)院檢驗員任意抽查100個服用此藥品的病人,如果其中多于75人治愈,就接受這一斷言，否則就拒絕這一斷言。（1）若實際上次藥品對這種疾病的治愈率是0.8，問接受這一斷言的概率是多少？（2）若實際上次藥品對這種疾病的治愈率為0.7，問接受這一斷言的概率是多少?隨機地選取兩組學生，每組80人，分別在兩個實驗室里測量某種化合物的pH值。各人測量的結(jié)果是隨機變量，它們相互獨立，且服從同一分布，其數(shù)學期望為5，方差為0.3,以X,Y分別表示第一組和第二組所得結(jié)果的算術(shù)平均。（1）求口4.9<X<5.1}；（2）求P{-0.1<X—Y<0.1}。某種電子器件的壽命（小時）具有數(shù)學期望N（未知），方差o2=400。為了估計N，隨機地取n只這種器件，在時刻t=0投入測試（設(shè)測試是相互獨立的）直到失效，測得其壽命為x,X,...,X以X=1Zx作為目的估計。為了使1 2 n, nkk=1PX-N<1上0.95，問n至少為多少?一家有500間客房的大旅館的每間客房裝有一臺2kw的空調(diào)機。若開房率為80%，需要多少kw的電力才能有99%的可能性保證足夠的電力使用空調(diào)機。某工廠每月生產(chǎn)10000臺液晶投影機，但它的液晶片車間生產(chǎn)合格品率為80%。為了以99.7%的可能性保證出廠的臺液晶投影機都能裝上合格的液晶片，試問該液晶片車間每月至少應該生產(chǎn)多少片液晶片?某產(chǎn)品的合格品率為99%。問包裝箱中應該裝多少此種產(chǎn)品，才能有95%的可能性使每箱中至少有100個合格產(chǎn)品。為確定某城市成年男子中吸煙者的比例p，任意調(diào)查n個成年男子，記其中的吸煙人數(shù)為m。問n至少為多大才能保證m/n與P的差異小于0.01的概率大于95%。設(shè)… 相互獨立且服從不同的 分布P（Xi=1）=p=1-/,ii100試求三證明題1.試用特征函數(shù)的工具證明：（1）二項分布的可加性；（2）泊松分布的可加性；（3）正態(tài)分布的可加性；（4）伽瑪分布的可加性。設(shè)X獨立同分布，且X~Exp（九），i=1,2,,n。試用特征函數(shù)法證明:ii???Y=ZX~Ga(n,九)。nii=1設(shè)為獨立隨機變量序列,且1 / C、Y2 八-P(X =0)=1,P(X =±\:n)=,P(X =0)=1--, n=2,3,1 n nn n證明 服從大數(shù)定律。

在貝努利試驗中，事件出現(xiàn)的概率為p，令」1,若在第n次及第n+1次試驗中4出現(xiàn);廣〔0,其他。證明 服從大數(shù)定律。為獨立同分布的隨機變量序列E為獨立同分布的隨機變量序列E<+8。若令E(X)二口,V.r(X)=02，Y=(X—D,n=1,2,，則服從大數(shù)定律n n nn設(shè) 為一同分布、方差存在的隨機變量序列且…僅與和相關(guān)而與其他的不相關(guān)則 服從大數(shù)定律設(shè) 是方差一致有界的隨機變量序列，且當|上—l\一+8時，一致地有Cov(X,X)-0，證明 服從大數(shù)定律。kl n設(shè)隨機變量X服從柯西分布，其密度函數(shù)為nnp(X)= ,-8<X<+8.n 兀(1+n2x2)試證：X一0。n設(shè) 為獨立同分布的隨機變量序列其共同的密度函數(shù)為‘1/反0<x<P;p(x)=10,其他其中常數(shù)B〉0。令Y=max(X,X,,X)，試證：Y一B。n 12 n n設(shè) 為獨立同分布的隨機變量序列其共同的密度函數(shù)為e—(e—(x—a),0,x2a；其他,令Y=min(X,X,,X)，試證：Y一a。n 12 n n設(shè)分布函數(shù)列?{F(x)}弱收斂于分布函數(shù)F(x)，且F(x)和F(x)均是連續(xù)、嚴格nn單調(diào)函數(shù)，又設(shè)自~U(0,1)，試證:F