平面向量知識歸納和題型總結(jié)

平面向量章節(jié)分析:向量是近代數(shù)學中重要和根本的概念之一,具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份〞,能融數(shù)形于一體,是溝通代數(shù)與幾何的天然橋梁，能與中學數(shù)學容的許多主干知識相結(jié)合,形成知識交匯點.向量是溝通代數(shù)、幾何和三角函數(shù)的一種工具,有著極其豐富的實際背景,在數(shù)學和物理學科中有重要應用.向量有深刻的幾何背景,是解決幾何問題的有力工具,向量概念引入后,許多圖形的根本性質(zhì)都可以轉(zhuǎn)化為向量的運算體系,例如平行、垂直、夾角、距離等.對本章的學習要立足根底,強化運算,重視運用,能根據(jù)向量的概念、定理、法則、公式對向量進展運算,并能運用向量知識解決平面幾何中的一些證明和計算問題.平面向量的概念、幾何運算和根本定理1.向量的相關(guān)概念2.向量的線性運算3.向量的共線定理非零向量與向量共線,當且僅當存在唯一一個實數(shù),使。延伸結(jié)論:三點共線當且僅當有唯一,使4.平面向量的根本定理如果是一個平面兩個不共線向量,則對這平面的任一向量,有且只有一對實數(shù)λ1,λ2使:,其中不共線的向量叫做表示這一平面所有向量的一組基底.練習:〔1〕是平面向量的一組基底,,①假設(shè)當且僅當且.②假設(shè)則.〔2〕如圖為單位向量，，其中的夾角為，的夾角為。假設(shè)，求的值。5.一個常用結(jié)論:中,為邊的中點,則有:.練習:設(shè)的重心為點,設(shè)試用表示.典型例題分析:知識點一:根本概念例1.1.如果是平面兩個不共線向量,則以下各說法錯誤的有()①()可以表示平面的所有向量;平面的所有向量都可以表示成()。②對于平面中的任一向量使的,有無數(shù)多對;③假設(shè)向量與共線,則有且只有一個,④假設(shè)實數(shù),使,則.A.①②B.②③C.③④D.②練習:1)判斷以下命題的真假(1)向量與向量為共線向量,則四點共線.(2)假設(shè)則四邊形為平行四邊形.(3)假設(shè)向量,則.(4)是兩個向量,則當且僅當不共線時成立知識點二:向量的線性運算例1.化簡:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)例2.如圖,四邊形,,分別為,的中點,求證:.練習:〔1)三個頂點,,及平面一點,假設(shè),則()A.在部B.在外部C.在邊所在直線上D.在線段上(2)設(shè)是平行四邊形的對角線的交點,為任意一點,則=知識點三:平面向量根本定理和共線定理例1.1〕為不共線向量,用表示.2)設(shè),是兩個不共線的向量,,,假設(shè),,三點共線,求的值.例2.證明:平面三點共線存在兩個均不為的實數(shù),使且練習:證明:平面三點共線存在三個均不為的實數(shù),使且向量數(shù)量積及坐標運算一、根本知識回憶:1、向量其中:向量的坐標表示,實際是向量的代數(shù)表示.在引入向量的坐標表示后,即可使向量運算完全代數(shù)化,將數(shù)與形嚴密地結(jié)合了起來向量幾何表示或運算向量運算與關(guān)系向量坐標表示或運算平行四邊形法則或三角形法則向量加減法實數(shù)λ與向量的積是一個向量,記作λ實數(shù)與向量的積數(shù)量積存在唯一的實數(shù)使〔〕向量向量()向量的模向量夾角<>三點共線練習:判斷以下命題的真假1〕假設(shè)向量,,則.2〕假設(shè)則3〕4〕5〕6〕2、.假設(shè),則;假設(shè),則.3、則與同向的單位向量是,與平行的單位向量是.4、點和向量,假設(shè),則點的坐標為5、,,假設(shè),數(shù)6、,則7〕以下各組向量中,可以作為平面基底的是〔〕A.B.C.D.8〕,則在方向上的投影為二、典型例題講解例1:1〕與的夾角為,求:〔1〕在方向上的投影〔2〕〔3〕2〕4、在直角中,是斜邊上的高,則以下等式不成立的是〔〕A. B.C.D.3〕向量夾角為，的夾角為銳角，求的圍。練習:1〕向量,滿足則2〕在中，求邊的長度例2:1〕,點在線段的延長線上,且,求點的坐標〔假設(shè)點在直線上〕2〕在中,點在上,且,點是的中點,假設(shè),則例3:向量,.〔Ⅰ〕當,且時,求的值;〔Ⅱ〕當,且∥時,求的值.解:〔Ⅰ〕當時,,,由,得,………3分上式兩邊平方得,因此,.……………6分〔Ⅱ〕當時,,由∥得.即.………9分,或.…………12分例4、向量.且1)當時,求的集合;2)求;3〕求函數(shù)的最小值4〕求函數(shù)的最小值5〕假設(shè)的最小值是,數(shù)的值.練習:1〕設(shè)是不共線的兩非零向量,假設(shè),且夾角為,求為何值時,的值最小.2〕向量==且∈.〔1〕求·及|+|;(2)假設(shè)=·-|+|,求的最大值和最小值.向量與三角形平面向量的應用十分廣泛.由于三角形中的有關(guān)線段可以視為向量,線線之間的位置關(guān)系、大小關(guān)系以及邊角關(guān)系均可以用向量表示,這就為向量與三角形的溝通、聯(lián)系、交匯提供了條件,在這類問題中,往往要涉及到向量的和差運算、數(shù)乘運算、數(shù)量積運算以及向量的共線、垂直、向量的模等性質(zhì),因此解題思路較寬、方法靈活、綜合性強.三角形之心外心.三角形外接圓的圓心,簡稱外心.是三角形三邊中垂線的交點.〔下左圖〕重心三角形三條中線的交點,叫做三角形的重心.掌握重心到頂點的距離是它到對邊中點距離的2倍.〔上右圖〕三、垂心三角形三條高的交點,稱為三角形的垂心.〔下左圖〕四、心

三角形切圓的圓心,簡稱為心.是三角形三角平分線的交點.三角形角平分線性質(zhì)定理:三角形角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應成比例.〔上右圖〕知識點一、三角形形狀與向量1、向量滿足條件,且,求證是正三角形.2、是所在平面上的一點,假設(shè),則是三角形.3、非零向量和滿足且,則為.4、假設(shè)為所在平面一點,且滿足則的形狀為〔〕A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形5、非零向量與滿足且,則△ABC為 〔 〕A.三邊均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形思路分析:1.根據(jù)四個選擇支的特點:此題可采用驗證法來處理,不妨先驗證等邊三角形,剛好適合題意,則可同時排除其他三個選擇支,應選D.2.由于所在直線穿過△ABC的心,則由知,〔等腰三角形的三線合一定理〕;又,所以,即△ABC為等邊三角形,應選D.知識點二、三角形的“心〞與向量重心在△ABC中,AD為BC邊上的中線,根據(jù)向量加法的平行四邊形法則,可得.這說明所在的直線過的中點,從而一定通過的重心.另外,為的重心的充要條件是或,〔其中為所在平面任意一點〕,這也是兩個常用的結(jié)論.例1.是平面上不共線的三點,是的外心,動點滿足,則的軌跡一定通過的〔 〕A.心 B.垂心 C.外心 D.重心思路分析:取AB邊的中點M,則,由可得,所以,即點P的軌跡為三角形中AB邊上的中線,應選D.垂心在中,由向量的數(shù)量積公式,可得,這說明所在直線是BC邊上的高所在直線,從而它一定通過△ABC的垂心.例:假設(shè)動點滿足,則點P軌跡一定通過的〔〕A、外心B、心C、垂心D、重心例2.點是所在平面的一點,滿足,則點是的 〔 〕A.三個角的角平分線的交點B.三條邊的垂直平分線的交點C.三條中線的交點D.三條高的交點思路分析:由,得,所以,即.同理.因此是三條高的交點,應選D.練習:點是所在平面的一點,滿足,則點是的〔 〕A.三個角的角平分線的交點B.三條邊的垂直平分線的交點C.三條中線的交點D.三條高的交點心在中,由兩單位向量相加,可得所在直線是∠A的平分線所在的直線,從而一定經(jīng)過的心.例3是平面上定點,A、B、C是平面上不共線的三個點,動點P滿足,則P的軌跡一定通過△ABC