利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值例求以下函數(shù)的極值：1．；2．；3．分析：按照求極值的根本方法，首先從方程求出在函數(shù)定義域所有可能的極值點(diǎn)，然后按照函數(shù)極值的定義判斷在這些點(diǎn)處是否取得極值．解：1．函數(shù)定義域?yàn)镽．令，得．當(dāng)或時(shí)，，∴函數(shù)在和上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在〔－2，2〕上是減函數(shù)．∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值2．函數(shù)定義域?yàn)镽．令，得或．當(dāng)或時(shí)，，∴函數(shù)在和上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在〔0，2〕上是增函數(shù)．∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值．3．函數(shù)的定義域?yàn)镽．令，得．當(dāng)或時(shí)，，∴函數(shù)在和上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在〔－1，1〕上是增函數(shù)．∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值說(shuō)明：思維的周密性是解決問(wèn)題的根底，在解題過(guò)程中，要全面、系統(tǒng)地考慮問(wèn)題，注意各種條件綜合運(yùn)用，方可實(shí)現(xiàn)解題的正確性．解答此題時(shí)應(yīng)注意只是函數(shù)在處有極值的必要條件，如果再加之附近導(dǎo)數(shù)的符號(hào)相反，才能斷定函數(shù)在處取得極值．反映在解題上，錯(cuò)誤判斷極值點(diǎn)或漏掉極值點(diǎn)是學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的失誤．復(fù)雜函數(shù)的極值例求以下函數(shù)的極值：1．；2．分析：利用求導(dǎo)的方法，先確定可能取到極值的點(diǎn)，然后依據(jù)極值的定義判定．在函數(shù)的定義域?qū)で罂赡苋〉綐O值的“可疑點(diǎn)〞，除了確定其導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)外，還必須確定函數(shù)定義域所有不可導(dǎo)的點(diǎn)．這兩類(lèi)點(diǎn)就是函數(shù)在定義可能取到極值的全部“可疑點(diǎn)〞．解：1．令，解得，但也可能是極值點(diǎn)．當(dāng)或時(shí)，，∴函數(shù)在和上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在〔0，2〕上是減函數(shù)．∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值．2．∴令，得．當(dāng)或時(shí)，，∴函數(shù)在和上是減函數(shù)；當(dāng)或時(shí)，，∴函數(shù)在和上是增函數(shù)．∴當(dāng)和時(shí)，函數(shù)有極小值0，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值．說(shuō)明：在確定極值時(shí)，只討論滿(mǎn)足的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化情況，確定極值是不全面的．在函數(shù)定義域不可導(dǎo)的點(diǎn)處也可能存在極值．此題1中處，2中及處函數(shù)都不可導(dǎo)，但在這些點(diǎn)處左右兩側(cè)異號(hào)，根據(jù)極值的判定方法，函數(shù)在這些點(diǎn)處仍取得極值．從定義分析，極值與可導(dǎo)無(wú)關(guān)．根據(jù)函數(shù)的極值確定參數(shù)的值例在時(shí)取得極值，且．1．試求常數(shù)a、b、c的值；2．試判斷是函數(shù)的極小值還是極大值，并說(shuō)明理由．分析：考察函數(shù)是實(shí)數(shù)域上的可導(dǎo)函數(shù)，可先求導(dǎo)確定可能的極值點(diǎn)，再通過(guò)極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即極值點(diǎn)必為的根建立起由極值點(diǎn)所確定的相關(guān)等式，運(yùn)用待定系數(shù)法求出參數(shù)a、b、c的值．解：1．解法一：．是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴是方程，即的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得又，∴，〔3〕由〔1〕、〔2〕、〔3〕解得．解法二：由得，〔1〕〔2〕又，∴，〔3〕解〔1〕、〔2〕、〔3〕得．2．，∴當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，∴函數(shù)在和上是增函數(shù)，在〔－1，1〕上是減函數(shù)．∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值．說(shuō)明：解題的成功要靠正確思路的選擇．此題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題設(shè)構(gòu)造進(jìn)展逆向聯(lián)想，合理地實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，使抽象的問(wèn)題具體化，在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中充分運(yùn)用了條件確定了解題的大方向．可見(jiàn)出路在于“思想認(rèn)識(shí)〞．在求導(dǎo)之后，不會(huì)應(yīng)用的隱含條件，因而造成了解決問(wèn)題的最大思維障礙．當(dāng)或時(shí)，，∴函數(shù)在和上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在〔－2，2〕上是減函數(shù)．∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值2．函數(shù)定義域?yàn)镽．令，得或．當(dāng)或時(shí)，，∴函數(shù)在和上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在〔0，2〕上是增函數(shù)．∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值．3．函數(shù)的定義域?yàn)镽．令，得．當(dāng)或時(shí)，，∴函數(shù)在和上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在〔－1，1〕上是增函數(shù)．∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值說(shuō)明：思維的周密性是解決問(wèn)題的根底，在解題過(guò)程中，要全面、系統(tǒng)地考慮問(wèn)題，注意各種條件綜合運(yùn)用，方可實(shí)現(xiàn)解題的正確性．解答此題時(shí)應(yīng)注意只是函數(shù)在處有極值的必要條件，如果再加之附近導(dǎo)數(shù)的符號(hào)相反，才能斷定函數(shù)在處取得極值．反映在解題上，錯(cuò)誤判斷極值點(diǎn)或漏掉極值點(diǎn)是學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的失誤．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：1．；2．；3．分析：為了提高解題的準(zhǔn)確性，在利用求導(dǎo)的方法確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，也必須先求出函數(shù)的定義域，然后再求導(dǎo)判斷符號(hào)，以防止不該出現(xiàn)的失誤．解：1．函數(shù)的定義域?yàn)镽，令，得或．∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為〔－1，0〕和；令，得或，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和〔0，1〕．2．函數(shù)定義域?yàn)榱睿茫嗪瘮?shù)的遞增區(qū)間為〔0，1〕；令，得，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為〔1，2〕．3．函數(shù)定義域?yàn)榱?，得或．∴函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；令，得且，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是和．說(shuō)明：依據(jù)導(dǎo)數(shù)在*一區(qū)間的符號(hào)來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，表達(dá)了形象思維的直觀性和運(yùn)動(dòng)性．解決這類(lèi)問(wèn)題，如果利用函數(shù)單調(diào)性定義來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，運(yùn)算顯得繁瑣，區(qū)間難以找準(zhǔn)．學(xué)生易犯的錯(cuò)誤是將兩個(gè)以上各自獨(dú)立單調(diào)遞增〔或遞減〕區(qū)間寫(xiě)成并集的形式，如將例1函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間分別寫(xiě)成和的錯(cuò)誤結(jié)果．這里我們可以看出，除函數(shù)思想方法在此題中的重要作用之外，還要注意轉(zhuǎn)化的思想方法的應(yīng)用．求解析式并根據(jù)單調(diào)性確定參數(shù)例，且1．設(shè)，求的解析式；2．設(shè)，試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使在為減函數(shù)，且在〔－1，0〕是增函數(shù)．分析：根據(jù)題設(shè)條件可以求出的表達(dá)式，對(duì)于探索性問(wèn)題，一般先對(duì)結(jié)論做肯定存在的假設(shè)，然后由此肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合條件進(jìn)展推理論證，由推證結(jié)果是否出現(xiàn)矛盾來(lái)作出判斷．解題的過(guò)程實(shí)質(zhì)是一種轉(zhuǎn)化的過(guò)程，由于函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，因此選擇好解題的突破口，要充分利用函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造等價(jià)的不等式，確定適合條件的參數(shù)的取值圍，使問(wèn)題獲解．解：1．由題意得，，∴∴2．．假設(shè)滿(mǎn)足條件的存在，則∵函數(shù)在是減函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，，即對(duì)于恒成立．∴∴，解得．又函數(shù)在〔－1，0〕上是增函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，即對(duì)于恒成立，∴∴，解得．故當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在〔－1，0〕上是增函數(shù)，即滿(mǎn)足條件的存在．說(shuō)明：函數(shù)思維實(shí)際上是辯證思維的一種特殊表現(xiàn)形式，它包含著運(yùn)動(dòng)、變化，也就存在著量與量之間的相互依賴(lài)、相互制約的關(guān)系．因此挖掘題目中的隱含條件則是翻開(kāi)解題思路的重要途徑，具體到解題的過(guò)程，學(xué)生很大的思維障礙是迷失方向，不知從何處入手去溝通與未知的關(guān)系，使分散的條件相對(duì)集中，促成問(wèn)題的解決．不善于應(yīng)用恒成立和恒成立，究其原因是對(duì)函數(shù)的思想方法理解不深．利用導(dǎo)數(shù)比擬大小例a、b為實(shí)數(shù)，且，其中e為自然對(duì)數(shù)的底，求證：．分析：通過(guò)考察函數(shù)的單調(diào)性證明不等式也是常用的一種方法．根據(jù)題目自身的特點(diǎn)，適當(dāng)?shù)臉?gòu)造函數(shù)關(guān)系，在建立函數(shù)關(guān)系時(shí)，應(yīng)盡可能選擇求導(dǎo)和判斷導(dǎo)數(shù)都比擬容易的函數(shù)，一般地，證明，可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明，如果，則函數(shù)在上是增函數(shù)，如果，由增函數(shù)的定義可知，當(dāng)時(shí)，有，即．解：證法一：，∴要證，只要證，設(shè)，則．，∴，且，∴∴函數(shù)在上是增函數(shù)．∴，即，∴證法二：要證，只要證，即證，設(shè)，則，∴函數(shù)在上是減函數(shù)．又，即說(shuō)明：“構(gòu)造〞是一種重要而靈活的思維方式，應(yīng)用好構(gòu)造思想解題的關(guān)鍵是：一要有明確的方向，即為什么目的而構(gòu)造；二是要弄清條件的本質(zhì)特點(diǎn)，以便重新進(jìn)展邏輯組合．解決這種問(wèn)題常見(jiàn)的思維誤區(qū)是不善于構(gòu)造函數(shù)或求導(dǎo)之后得出的錯(cuò)誤結(jié)論．判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性例函數(shù)在區(qū)間上是〔〕A．增函數(shù)，且B．減函數(shù)，且C．增函數(shù)，且D．減函數(shù)，且分析：此題要解決兩個(gè)問(wèn)題：一是要判斷函數(shù)值y的大??；二是要判斷此函數(shù)的單調(diào)性．解：解法一：令，且，則，排除A、B．由復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)可知，u在上為減函數(shù)．又亦為減函數(shù)，故在上為增函數(shù)，排除D，選C．解法二：利用導(dǎo)數(shù)法〔〕，故y在上是增函數(shù)．由解法一知．所以選C．說(shuō)明：求函數(shù)的值域，是中學(xué)教學(xué)中的難關(guān)．一般可以通過(guò)圖象觀察或利用不等式性質(zhì)求解，也可以用函數(shù)的單調(diào)性求出最大、最小值等〔包括初等方法和導(dǎo)數(shù)法〕．對(duì)于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)是可以利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)展判斷，但是利用導(dǎo)數(shù)法判斷一些較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)還是有很大優(yōu)勢(shì)的．利用公式2求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1．；2．；3．．分析：根據(jù)所給問(wèn)題的特征，恰當(dāng)?shù)剡x擇求導(dǎo)公式，將題中函數(shù)的構(gòu)造施行調(diào)整．函數(shù)和的形式，這樣，在形式上它們都滿(mǎn)足冪函數(shù)的構(gòu)造特征，可直接應(yīng)用冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)．解：1．2．3．說(shuō)明：對(duì)于簡(jiǎn)單函數(shù)的求導(dǎo)，關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化函數(shù)關(guān)系式為可以直接應(yīng)用公式的根本函數(shù)的模式，以免求導(dǎo)過(guò)程中出現(xiàn)指數(shù)或系數(shù)的運(yùn)算失誤．運(yùn)算的準(zhǔn)確是數(shù)學(xué)能力上下的重要標(biāo)志，要從思想上提高認(rèn)識(shí)，養(yǎng)成思維嚴(yán)謹(jǐn)，步驟完整的解題習(xí)慣，要形成不僅會(huì)求，而且求對(duì)、求好的解題標(biāo)準(zhǔn)．根據(jù)斜率求對(duì)應(yīng)曲線的切線方程例求曲線的斜率等于4的切線方程．分析：導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在*點(diǎn)處的變化率，它的幾何意義就是相應(yīng)曲線在該點(diǎn)處切線的斜率，由于切線的斜率，只要確定切點(diǎn)的坐標(biāo)，先利用導(dǎo)數(shù)求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再根據(jù)切點(diǎn)在曲線上確定切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而可求出切線方程．解：設(shè)切點(diǎn)為，則，∴，即，∴當(dāng)時(shí)，，故切點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔1，1〕．∴所求切線方程為即說(shuō)明：數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，要充分考慮題設(shè)條件，捕捉隱含的各種因素，確定條件與結(jié)論的相應(yīng)關(guān)系，解答這類(lèi)問(wèn)題常見(jiàn)的錯(cuò)誤是忽略切點(diǎn)既在曲線上也在切線上這一關(guān)鍵條件，或受思維定勢(shì)的消極影響，先設(shè)出切線方程，再利用直線和拋物線相切的條件，使得解題的運(yùn)算量變大．求直線方程例求過(guò)曲線上點(diǎn)且與過(guò)這點(diǎn)的切線垂直的直線方程．分析：要求與切線垂直的直線方程，關(guān)鍵是確定切線的斜率，從條件分析，求切線的斜率是可行的途徑，可先通過(guò)求導(dǎo)確定曲線在點(diǎn)P處切線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式求出與切線垂直的直線方程．解：，∴曲線在點(diǎn)處的切線斜率是∴過(guò)點(diǎn)P且與切線垂直的直線的斜率為，∴所求的直線方程為，即．說(shuō)明：曲線上*點(diǎn)的切線這一條件具有雙重含義．在確定與切線垂直的直線方程時(shí)，應(yīng)注意考察函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是否為零，當(dāng)時(shí)，切線平行于*軸，過(guò)切點(diǎn)P垂直于切線的直線斜率不存在．求曲線方程的交點(diǎn)處切線的夾角例設(shè)曲線和曲線在它們的交點(diǎn)處的兩切線的夾角為，求的值．分析：要求兩切線的夾角，關(guān)鍵是確定在兩曲線交點(diǎn)處的切線的斜率．根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，只需先求出兩曲線在交點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，再應(yīng)用兩直線夾角公式求出夾角即可．解：聯(lián)立兩曲線方程解得兩曲線交點(diǎn)為〔1，1〕．設(shè)兩曲線在交點(diǎn)處的切線斜率分別為，則由兩直線夾角公式說(shuō)明：探求正確結(jié)論的過(guò)程需要靈巧的構(gòu)思和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉\(yùn)算．兩曲線交點(diǎn)是一個(gè)關(guān)鍵條件，函數(shù)在交點(diǎn)處是否要導(dǎo)也是一個(gè)不能無(wú)視的問(wèn)題，而準(zhǔn)確理解題設(shè)要求則是正確作出結(jié)論的前提．求常函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例設(shè)，則等于〔〕A．B．C．0D．以上都不是分析：此題是對(duì)函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題，直接利用公式即可解：因?yàn)槭浅?shù)，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零，所以選C．根據(jù)條件確定函數(shù)的參數(shù)是否存在例函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)a、b、c，使同時(shí)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件：〔1〕定義域?yàn)镽的奇函數(shù)；〔2〕在上是增函數(shù)；〔3〕最大值是1．假設(shè)存在，求出a、b、c；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由．分析：此題是解決存在性的問(wèn)題，首先假設(shè)三個(gè)參數(shù)a、b、c存在，然后用三個(gè)已給條件逐一確定a、b、c的值．解：是奇函數(shù)又，即，∴．∴或，但時(shí)，，不合題意；故．這時(shí)在上是增函數(shù)，且最大值是1．設(shè)在上是增函數(shù)，且最大值是3．，當(dāng)時(shí)，故；又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以在是增函數(shù)，在〔－1，1〕上是減函數(shù)．又時(shí)，時(shí)最大值為3．∴經(jīng)歷證：時(shí)，符合題設(shè)條件，所以存在滿(mǎn)足條件的a、b、c，即說(shuō)明：此題是綜合性較強(qiáng)的存在性問(wèn)題，對(duì)于拓寬思路，開(kāi)闊視野很有指導(dǎo)意義．此題假設(shè)用相等方法解決是十分繁雜的，甚至無(wú)技可施．假設(shè)用求導(dǎo)數(shù)的方法解決就迎刃而解．因此用導(dǎo)數(shù)法解決有關(guān)單調(diào)性和最值問(wèn)題是很重要的數(shù)學(xué)方法．切不可忘記．供水站建在何處使水管費(fèi)最少例有甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50km，兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，問(wèn)供水站分析：根據(jù)題設(shè)條件作出圖形，分析各條件之間的關(guān)系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式，適中選定變?cè)?，?gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)求導(dǎo)的方法或其他方法求出函數(shù)的最小值，可確定點(diǎn)C的位置．解：解法一：根據(jù)題意知，只有點(diǎn)C在線段AD上*一適當(dāng)位置，才能使總運(yùn)費(fèi)最省，設(shè)C點(diǎn)距D點(diǎn)*km，則又設(shè)總的水管費(fèi)用為y元，依題意有．令，解得在〔0，50〕上，y只有一個(gè)極值點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義，函數(shù)在〔km〕處取得最小值，此時(shí)〔km〕．∴供水站建在A、D之間距甲廠20km處，可使水管費(fèi)用最省．解法二：設(shè)，則∴．設(shè)總的水管費(fèi)用為，依題意，有∴令，得．根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)〔km〕，即供水站建在A、D之間距甲廠20km處，可使水管費(fèi)用最?。f(shuō)明：解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)．把“問(wèn)題情景〞譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，找出問(wèn)題的主要關(guān)系，并把問(wèn)題的主要關(guān)系近似化、形式化，抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，再劃歸為常規(guī)問(wèn)題，選擇適宜的數(shù)學(xué)方法求解．對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，學(xué)生往往無(wú)視了數(shù)學(xué)語(yǔ)言和普通語(yǔ)言的理解與轉(zhuǎn)換，從而造成了解決應(yīng)用問(wèn)題的最大思維障礙．運(yùn)算不過(guò)關(guān)，得不到正確的答案，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法不理解或理解不透徹，則找不到正確的解題思路，在此正需要我們依據(jù)問(wèn)題本身提供的信息，利用所謂的動(dòng)態(tài)思維，去尋求有利于問(wèn)題解決的變換途徑和方法，并從中進(jìn)展一番選擇．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值例求以下函數(shù)的最值：1．；2．；3．4．．分析：函數(shù)在給定區(qū)間上連續(xù)可導(dǎo)，必有最大值和最小值，因此，在求閉區(qū)間上函數(shù)的最值時(shí)，只需求出函數(shù)在開(kāi)區(qū)間的極值，然后與端點(diǎn)處函數(shù)值進(jìn)展比擬即可．解：1．，令，得，∴．又∴2．，令，得，∴，又．∴3．．令，即，解得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．∴函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值，也是最小值為即．4．函數(shù)定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，令，解得，∴，又，∴說(shuō)明：對(duì)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，如果在相應(yīng)開(kāi)區(qū)間可導(dǎo)，求上最值可簡(jiǎn)化過(guò)程，即直接將極值點(diǎn)與端點(diǎn)的函數(shù)值比擬，即可判定最大〔或最小〕的函數(shù)值，就是最大〔或最小〕值．解決這類(lèi)問(wèn)題，運(yùn)算欠準(zhǔn)確是普遍存在的一個(gè)突出問(wèn)題，反映出運(yùn)算能力上的差距．運(yùn)算的準(zhǔn)確要依靠運(yùn)算方法的合理與簡(jiǎn)捷，需要有效的檢驗(yàn)手段，只有全方位的“綜合治理〞才能在堅(jiān)實(shí)的根底上形成運(yùn)算能力，解決運(yùn)算不準(zhǔn)確的弊病．求兩變量乘積的最大值例為正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足關(guān)系式，求的最大值．分析：題中有兩個(gè)變量*和y，首先應(yīng)選擇一個(gè)主要變量，將表示為*一變量〔*或y或其它變量〕的函數(shù)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，同時(shí)根據(jù)題設(shè)條件確定變量的取值圍，再利用導(dǎo)數(shù)〔或均值不等式等〕求函數(shù)的最大值．解：解法一：，∴．由解得．設(shè)當(dāng)時(shí)，．令，得或〔舍〕．∴，又，∴函數(shù)的最大值為．即的最大值為．解法二：由得，設(shè)，∴，設(shè)，則令，得或．，此時(shí)∴即當(dāng)時(shí)，說(shuō)明：進(jìn)展一題多解訓(xùn)練，是一種翻開(kāi)思路，激發(fā)思維，穩(wěn)固根底，溝通聯(lián)系的重要途徑，但要明確解決問(wèn)題的策略、指向和思考方法，需要抓住問(wèn)題的本質(zhì)，領(lǐng)悟真諦，巧施轉(zhuǎn)化，方可快捷地與熟悉的問(wèn)題接軌，在實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，關(guān)鍵是要注意變量的取值圍必須滿(mǎn)足題設(shè)條件，以免解題陷于困境，功虧一簣．直接利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)例求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1．；2．3．；4．分析：仔細(xì)觀察和分析各函數(shù)的構(gòu)造規(guī)律，緊扣求導(dǎo)運(yùn)算法則，聯(lián)系根本函數(shù)求導(dǎo)公式，不具備求導(dǎo)法則條件的可適當(dāng)進(jìn)展恒等變形，步步為營(yíng)，使解決問(wèn)題水到渠成．解：1．2．3．解法一：解法二：，∴4．解法一：解法二：，說(shuō)明：理解和掌握求導(dǎo)法則和公式的構(gòu)造規(guī)律是靈活進(jìn)展求導(dǎo)運(yùn)算的前提條件，運(yùn)算過(guò)程出現(xiàn)失誤，原因是不能正確理解求導(dǎo)法則，特別是商的求導(dǎo)法同．求導(dǎo)過(guò)程中符號(hào)判斷不清，也是導(dǎo)致錯(cuò)誤的因素．從此題可以看出，深刻理解和掌握導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，再結(jié)合給定函數(shù)本身的特點(diǎn)，才能準(zhǔn)確有效地進(jìn)展求導(dǎo)運(yùn)算，才能充分調(diào)動(dòng)思維的積極性，在解決新問(wèn)題時(shí)舉一反三，觸類(lèi)旁通，得心應(yīng)手．化簡(jiǎn)函數(shù)解析式在求解例求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．1．；2．；3．；4．分析：對(duì)于比擬復(fù)雜的函數(shù)，如果直接套用求導(dǎo)法則，會(huì)使問(wèn)題求解過(guò)程繁瑣冗長(zhǎng)，且易出錯(cuò)．可先對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)展合理的恒等變換，轉(zhuǎn)化為易求導(dǎo)的構(gòu)造形式再求導(dǎo)數(shù)．解：1．，∴2．∴3．∴4．，∴說(shuō)明：對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡(jiǎn)，再求導(dǎo)的根本原則．求導(dǎo)時(shí)，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對(duì)求導(dǎo)的制約作用．在實(shí)施化簡(jiǎn)時(shí)，首先必須注意變換的等價(jià)性，防止不必要的運(yùn)算失誤．根據(jù)點(diǎn)和切線確定拋物線的系數(shù)例拋物線通過(guò)點(diǎn)，且在點(diǎn)處與直線相切，數(shù)a、b、c的值．分析：解決問(wèn)題，關(guān)鍵在于理解題意，轉(zhuǎn)化、溝通條件與結(jié)論，將二者統(tǒng)一起來(lái)．題中涉及三個(gè)未知參數(shù)，題設(shè)中有三個(gè)獨(dú)立的條件，因此，通過(guò)解方程組來(lái)確定參數(shù)a、b、c的值是可行的途徑．解：∵曲線過(guò)點(diǎn)，∴①，∴∴②又曲線過(guò)點(diǎn)，∴③．聯(lián)立解①、②、③得說(shuō)明：利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率是行之有效的方法，它適用于任何可導(dǎo)函數(shù)，解題時(shí)要充分運(yùn)用這一條件，才能使問(wèn)題迎刃而解．解答此題常見(jiàn)的失誤是不注意運(yùn)用點(diǎn)在曲線上這一關(guān)鍵的隱含條件．利用導(dǎo)數(shù)求和例利用導(dǎo)數(shù)求和．1．2．分析：?jiǎn)栴}分別可通過(guò)錯(cuò)位相減的方法及構(gòu)造二項(xiàng)式定理的方法來(lái)解決．轉(zhuǎn)換思維角度，由求導(dǎo)公式，可聯(lián)想到它們是另外一個(gè)和式的導(dǎo)數(shù)，因此可轉(zhuǎn)化求和，利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可使問(wèn)題解法更加簡(jiǎn)潔明快．解：1．當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，兩邊都是關(guān)于*的函數(shù)，求導(dǎo)得，即2．兩邊都是關(guān)于*的可導(dǎo)函數(shù)，求導(dǎo)得，令，得，即說(shuō)明：通過(guò)對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)展聯(lián)想，合理運(yùn)用了逆向思維的方法，從而激發(fā)了思維的靈活性，使數(shù)列的求和問(wèn)題獲得解決，其關(guān)鍵是抓住了數(shù)列通項(xiàng)的形式構(gòu)造．學(xué)生易犯的錯(cuò)誤是受思維定式的影響不善于聯(lián)想．導(dǎo)數(shù)定義的利用例假設(shè)，則等于〔〕A．B．C．D．以上都不是分析：此題考察的是對(duì)導(dǎo)數(shù)定義的理解，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義直接求解即可解：由于，應(yīng)選A求曲線方程的斜率和方程例曲線上一點(diǎn)，用斜率定義求：〔1〕點(diǎn)A的切線的斜率〔2〕點(diǎn)A處的切線方程分析：求曲線在A處的斜率，即求解：〔1〕〔2〕切線方程為即說(shuō)明：上述求導(dǎo)方法也是用定義求運(yùn)動(dòng)物體在時(shí)刻處的瞬時(shí)速度的步驟．判斷分段函數(shù)的在段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)例函數(shù)，判斷在處是否可導(dǎo)？分析：對(duì)分段函數(shù)在“分界點(diǎn)〞處的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，要根據(jù)定義來(lái)判斷是否可導(dǎo)．解：∴在處不可導(dǎo)．說(shuō)明：函數(shù)在*一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，是指一個(gè)極限值，即，當(dāng)；包括；，判定分段函數(shù)在“分界處〞的導(dǎo)數(shù)是否存在時(shí)，要驗(yàn)證其左、右極限是否存在且相等，如果存在且相等，才能判定這點(diǎn)存在導(dǎo)數(shù)，否則不存在導(dǎo)數(shù)．利用導(dǎo)數(shù)定義的求解例設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，試求以下各極限的值．1．；2．3．假設(shè)，則等于〔〕A．－1B．－2C．－1D．分析：在導(dǎo)數(shù)的定義中，增量的形式是多種多樣的，但不管選擇哪種形式，也必須選擇相對(duì)應(yīng)的形式．利用函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式班等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的構(gòu)造形式．解：1．原式＝2．原式＝3．〔含〕，∴應(yīng)選A．說(shuō)明：概念是分析解決問(wèn)題的重要依據(jù)，只有熟練掌握概念的本質(zhì)屬性，把握其涵與外延，才能靈活地應(yīng)用概念進(jìn)展解題，不能準(zhǔn)確分析和把握給定的極限式與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，盲目套用導(dǎo)數(shù)的定義是使思維受阻的主要原因．解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵就是等價(jià)變形，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化．利用定義求導(dǎo)數(shù)例1．求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)；2．求函數(shù)〔a、b為常數(shù)〕的導(dǎo)數(shù)．分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是求導(dǎo)數(shù)的根本方法，確定函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)有兩種方法，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義法和導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值法．解：1．解法一〔導(dǎo)數(shù)定義法〕：，解法二〔導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值法〕：，∴2．說(shuō)明：求導(dǎo)其本質(zhì)是求極限，在求極限的過(guò)程中，力求使所求極限的構(gòu)造形式轉(zhuǎn)化為極限的形式，即導(dǎo)數(shù)的定義，這是能夠順利求導(dǎo)的關(guān)鍵，因此必須深刻理解導(dǎo)數(shù)的概念．證明函數(shù)的在一點(diǎn)處連續(xù)例證明：假設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)．分析：從和要證明的問(wèn)題中去尋求轉(zhuǎn)化的方法和策略，要證明在點(diǎn)處連續(xù)，必須證明．由于函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，因此，根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)的定義，逐步實(shí)現(xiàn)兩個(gè)轉(zhuǎn)化，一個(gè)是趨向的轉(zhuǎn)化，另一個(gè)是形式〔變?yōu)閷?dǎo)數(shù)定義形式〕的轉(zhuǎn)化．解：證法一：設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)．證法二：∵函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，∴在點(diǎn)處有∴∴函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)．說(shuō)明：對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題，可以從不同角度去表述，關(guān)鍵是要透過(guò)現(xiàn)象看清問(wèn)題的本質(zhì)，正確運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想來(lái)解決問(wèn)題．函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，有極限以及導(dǎo)數(shù)存在這三者之間的關(guān)系是：導(dǎo)數(shù)存在連續(xù)有極限．反之則不一定成立．證題過(guò)程中不能合理實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，而直接理解為是使論證推理出現(xiàn)失誤的障礙．求指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1．；2．；3．；4．分析：對(duì)于比擬復(fù)雜的函數(shù)求導(dǎo)，除了利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式之外，還需要考慮應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來(lái)進(jìn)展．求導(dǎo)過(guò)程中，可以先適當(dāng)進(jìn)展變形化簡(jiǎn)，將對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)位置轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的形式后再求導(dǎo)數(shù)．解：1．解法一：可看成復(fù)合而成．解法二：解法三：，2．解法一：設(shè)，則解法二：3．解法一：設(shè)，則解法二：4．說(shuō)明：深刻理解，掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式的構(gòu)造規(guī)律，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，解答此題所使用的知識(shí)，方法都是最根本的，但解法的構(gòu)思是靈魂，有了它才能運(yùn)用知識(shí)為解題效勞，在求導(dǎo)過(guò)程中，學(xué)生易犯漏掉符合或混淆系數(shù)的錯(cuò)誤，使解題走入困境．解題時(shí)，能認(rèn)真觀察函數(shù)的構(gòu)造特征，積極地進(jìn)展聯(lián)想化歸，才能抓住問(wèn)題的本質(zhì)，把解題思路放開(kāi)．變形函數(shù)解析式求導(dǎo)例求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕．分析：先將函數(shù)適當(dāng)變形，化為更易于求導(dǎo)的形式，可減少計(jì)算量．解：〔1〕．〔2〕，〔3〕〔4〕當(dāng)時(shí)不存在．說(shuō)明：求〔其中為多項(xiàng)式〕的導(dǎo)數(shù)時(shí)，假設(shè)的次數(shù)不小于的次數(shù)，則由多項(xiàng)式除法可知，存在，使．從而，這里均為多項(xiàng)式，且的次數(shù)小于的次數(shù)．再求導(dǎo)可減少計(jì)算量．對(duì)函數(shù)變形要注意定義域．如，則定義域變?yōu)?，所以雖然的導(dǎo)數(shù)與的導(dǎo)數(shù)結(jié)果一樣，但我們還是應(yīng)防止這種解法．函數(shù)求導(dǎo)法則的綜合運(yùn)用例求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1．；2．；3．；4．分析：式中所給函數(shù)是幾個(gè)因式積、商、冪、開(kāi)方的關(guān)系．對(duì)于這種構(gòu)造形式的函數(shù)，可通過(guò)兩邊取對(duì)數(shù)后再求導(dǎo)，就可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化或使無(wú)法求導(dǎo)的問(wèn)題得以解決．但必須注意取尋數(shù)時(shí)需要滿(mǎn)足的條件是真數(shù)為正實(shí)數(shù)，否則將會(huì)出現(xiàn)運(yùn)算失誤．解：1．取y的絕對(duì)值，得，兩邊取尋數(shù)，得根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，兩端對(duì)*求導(dǎo)，得，∴2．注意到，兩端取對(duì)數(shù)，得∴∴3．兩端取對(duì)數(shù)，得，兩端對(duì)*求導(dǎo)，得4．兩端取對(duì)數(shù)，得，兩邊對(duì)*求導(dǎo)，得∴說(shuō)明：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則實(shí)質(zhì)上是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的應(yīng)用．從多角度分析和探索解決問(wèn)題的途徑，能運(yùn)用恰當(dāng)合理的思維視力，把問(wèn)題的隱含挖掘出來(lái)加以利用，會(huì)使問(wèn)題的解答避繁就簡(jiǎn)，化難為易，收到出奇制勝的效果．解決這類(lèi)問(wèn)題常見(jiàn)的錯(cuò)誤是不注意是關(guān)于*的復(fù)合函數(shù)．指對(duì)數(shù)函數(shù)的概念提醒了各自存在的條件、根本性質(zhì)及其幾何特征，恰當(dāng)?shù)匾雽?duì)數(shù)求導(dǎo)的方