解析函數(shù)的羅朗(Laurent)展式與孤立奇點(diǎn)第五章第二節(jié)概要

定義5.2如果f(z)在點(diǎn)a的某一去心鄰域K-{a}:0<|z-a|<R(即除去圓心a的某圓)內(nèi)解析,點(diǎn)a是f(z)的奇點(diǎn)(見(jiàn)定義2.3),則稱(chēng)a為f(z)的孤立奇點(diǎn).5.2.1孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)如a為f(z)的孤立奇點(diǎn),則f(z)在a的某去心鄰域K-{a}內(nèi)可以展成羅朗級(jí)數(shù)則稱(chēng)為f(z)在點(diǎn)a的正則部分,而稱(chēng)為f(z)在點(diǎn)a的主要部分.第一頁(yè)第二頁(yè)，共20頁(yè)。定義5.3設(shè)a為f(z)的孤立奇點(diǎn).(1)如果f(z)在點(diǎn)a的主要部分為零,則稱(chēng)a為f(z)的孤立奇點(diǎn).(2)如果f(z)在點(diǎn)a的主要部分為有限多項(xiàng),則稱(chēng)a為f(z)的m階(級(jí))極點(diǎn).一級(jí)極點(diǎn)也稱(chēng)為簡(jiǎn)單極點(diǎn).(3)如果f(z)在點(diǎn)a的主要部分有無(wú)限多項(xiàng),則稱(chēng)a為f(z)的本性奇點(diǎn).設(shè)為第二頁(yè)第三頁(yè)，共20頁(yè)。定理5.3a為f(z)的可去奇點(diǎn)5.2.2孤立奇點(diǎn)的性質(zhì)

1.可去奇點(diǎn)或(2)(1)f(z)在點(diǎn)a的主要部分為零;或(3)f(z)在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)有界

證只需證(1)

(2);(2)

(3);(3)

(1)(1)推出(2)：由(1)知于是第三頁(yè)第四頁(yè)，共20頁(yè)。(2)推出(3):即例1.27.|f(z)|≤M(M>0).考慮f(z)在點(diǎn)a的主要部分(3)推出(1):設(shè)當(dāng)a∈K-{a}＝{z|0<|z-a|<a}時(shí)第四頁(yè)第五頁(yè)，共20頁(yè)。注：a為可去奇點(diǎn)時(shí)，補(bǔ)充f(z)=c0,則a就成為f(z)的解析點(diǎn)了。2.極點(diǎn)的性質(zhì)定理5.4如果f(z)以a為孤立點(diǎn),則a為f(z)的m階極點(diǎn)

(1)f(z)在a點(diǎn)的主要部分為或：(2)f(z)在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)能表成其中λ(z)在點(diǎn)a鄰域內(nèi)解析,且λ(a)≠0第五頁(yè)第六頁(yè)，共20頁(yè)。以a為m階零點(diǎn)(可去奇點(diǎn)a要當(dāng)作解析點(diǎn)看,只要令g(a)=0).證(1)

(2):設(shè)在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)有其中：顯然在點(diǎn)a的鄰域內(nèi)解析,且第六頁(yè)第七頁(yè)，共20頁(yè)。(2)推出(3):設(shè)在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)有其中在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)解析,且(由例1.28)因此a為g(z)的可去奇點(diǎn),作為解析點(diǎn)來(lái)看,只要令g(a)=0,a就為g(z)的m級(jí)零點(diǎn).(3)推出(1):如果以點(diǎn)a為m級(jí)零點(diǎn),則在點(diǎn)a的某鄰域內(nèi)定理4.17其中在此鄰域內(nèi)解析,且.這樣一來(lái)第七頁(yè)第八頁(yè)，共20頁(yè)。因1/(z)在點(diǎn)a某鄰域內(nèi)解析(例1.28),則可展成泰勒級(jí)數(shù)，設(shè)為：于是f(z)在點(diǎn)a的主要部分就是定理5.5f(z)的孤立奇點(diǎn)a為極點(diǎn)的充要條件是第八頁(yè)第九頁(yè)，共20頁(yè)。定理5.6f(z)的孤立奇點(diǎn)a為本性奇點(diǎn)

3.本性奇點(diǎn)的性質(zhì)證明：(反證法)若a不是f(z)的本性奇點(diǎn)a是f(z)的可去奇點(diǎn)a是f(z)的極點(diǎn)

a是f(z)的可去奇點(diǎn)

a是f(z)的極點(diǎn)矛盾！

第九頁(yè)第十頁(yè)，共20頁(yè)。定理5.7若z=a為f(z)之一本性奇點(diǎn),且在點(diǎn)a的充分小去心鄰域內(nèi)不為零,則z=a亦必為的本性奇點(diǎn).證（反證法）①若z=a為(z)的可去奇點(diǎn)(解析點(diǎn)),都與假設(shè)②若z=a為(z)的極點(diǎn)a為f(z)的可去奇點(diǎn)

a為f(z)的可去奇點(diǎn)a為f(z)的極點(diǎn)

.由假設(shè),z=a必為

矛盾！第十頁(yè)第十一頁(yè)，共20頁(yè)。第十一頁(yè)第十二頁(yè)，共20頁(yè)。定理5.8如果a為f(z)的本性奇點(diǎn),則對(duì)于任何常數(shù)A,不管它是有限數(shù)還是無(wú)窮,都有一個(gè)收斂與a的點(diǎn)列{zn},使得換句話(huà)說(shuō),在本性奇點(diǎn)的無(wú)論怎樣小的去心鄰域內(nèi),函數(shù)f(z)可以取任意接近于預(yù)先給定的任何數(shù)值(有限的或無(wú)窮的).5.2.3Picard(畢卡)定理證(1)在A(yíng)＝∞的情形,定理是正確的.因?yàn)楹瘮?shù)f(z)的模在a的任何去心鄰域內(nèi)都是無(wú)界的.第十二頁(yè)第十三頁(yè)，共20頁(yè)。否則,a必為f(z)的可去奇點(diǎn).(2)現(xiàn)在設(shè).這樣,由定理5.7,函數(shù)在K-{a}內(nèi)解析,且以a為本性奇點(diǎn)(因a為f(z)的本性奇由此推出可能有這種情形發(fā)生,在點(diǎn)a的任意小的鄰域內(nèi)有這樣一點(diǎn)z存在,使f(z)=A.定理得證因此,我們可以假定,在點(diǎn)a的充分小去心鄰域K-{a}內(nèi)f(z)≠A點(diǎn)).根據(jù)前面(1)段的結(jié)果,必定有一個(gè)趨向a的點(diǎn)列{zn}存在,使得第十三頁(yè)第十四頁(yè)，共20頁(yè)。用下列例子來(lái)驗(yàn)證定理5.8成立例5.9A=∞A≠∞第十四頁(yè)第十五頁(yè)，共20頁(yè)。例5.10A=∞A=0A≠∞,A≠∞第十五頁(yè)第十六頁(yè)，共20頁(yè)。

定理5.9(畢卡(大)定理)如果a為f(z)的本性奇點(diǎn),則對(duì)于每一個(gè)A≠∞,除掉可能一個(gè)值A(chǔ)=A0外,必有趨于a的無(wú)限點(diǎn)列{zn}使f(zn)=A(n=1,2,…).第十六頁(yè)第十七頁(yè)，共20頁(yè)。席瓦爾茲(Schwarz)引理如果函數(shù)f(z)在單位圓|z|<1內(nèi)解析,并且滿(mǎn)足條件

f(0)=0,|f(z)|<1(|z|<1),則在單位圓|z|<1內(nèi)恒有|f(z)|≤|z|,)且有|f/(0)|≤1.5