新教材適用2024版高考數學一輪總復習第2章函數概念與基本初等函數Ⅰ第2講函數的單調性與最值課件

第二章函數概念與基本初等函數Ⅰ第二講函數的單調性與最值知識梳理·雙基自測名師講壇·素養(yǎng)提升考點突破·互動探究知識梳理·雙基自測知識點一函數的單調性1．單調函數的定義

增函數減函數定義一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2當x1<x2時，都有____________，那么就說函數f(x)在區(qū)間D上是增函數當x1<x2時，都有_____________，那么就說函數f(x)在區(qū)間D上是減函數f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)上升的下降的2.單調區(qū)間的定義如果函數y＝f(x)在區(qū)間D上是_________________，那么就說函數y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調性，_________叫做函數y＝f(x)的單調區(qū)間．增函數或減函數區(qū)間D知識點二函數的最值前提設函數y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足條件(1)對于任意x∈I，都有____________

；(2)存在x0∈I，使得_______________(1)對于任意x∈I，都有_____________；(2)存在x0∈I，使得________________結論M為最大值M為最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M1．復合函數的單調性函數y＝f(u)，u＝φ(x)，在函數y＝f[φ(x)]的定義域上，如果y＝f(u)，u＝φ(x)的單調性相同，則y＝f[φ(x)]單調遞增；如果y＝f(u)，u＝φ(x)的單調性相反，則y＝f[φ(x)]單調遞減．2．單調性定義的等價形式設任意x1，x2∈[a，b]，x1≠x2.3．函數單調性的常用結論(1)若f(x)，g(x)均為區(qū)間A上的增(減)函數，則f(x)＋g(x)也是區(qū)間A上的增(減)函數．(2)若f(x)、g(x)均為區(qū)間A上的單調函數，f(x)增，g(x)減，則f(x)－g(x)增，g(x)－f(x)減．(3)若k>0，則kf(x)與f(x)單調性相同，若k<0，則kf(x)與f(x)單調性相反．(4)函數y＝f(x)在定義域內與y＝－f(x)單調性相反．題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若f(x)的定義域為R，且f(－3)<f(2)，則f(x)為R上的增函數．(

)(2)函數f(x)在(－2,3)上單調遞增，則函數的單調遞增區(qū)間為(－2,3)．(

)(3)因為y＝x與y＝ex都是增函數，所以y＝xex在定義域內為增函數．(

)××××××[解析]

(1)函數的單調性體現(xiàn)了任意性，即對于單調區(qū)間上的任意兩個自變量值x1，x2，均有f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)，而不是區(qū)間上的兩個特殊值．(2)單調區(qū)間是定義域的子區(qū)間，如y＝x在[1，＋∞)上是增函數，但它的單調遞增區(qū)間是R，而不是[1，＋∞)．(3)y′＝(x＋1)ex，因此y＝xex在(－∞，－1)上單調遞減，在(－1，＋∞)上單調遞增，增函數的積、商不一定具備單調性．(4)多個單調區(qū)間不能用“∪”符號連接，而應用“，”或“和”連接．題組二走進教材2．(必修1P85習題T1改編)設定義在[－1,7]上的函數y＝f(x)的圖象如圖所示，則函數y＝f(x)的增區(qū)間為________________________.[－1,1]和[5,7]3．(必修1P86T3改編)若函數y＝f(x)在R上為增函數，且f(2m)>f(－m＋9)，則實數m的取值范圍是(

)A．(－∞，－3)B．(0，＋∞)C．(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)[解析]

函數y＝f(x)在R上為增函數，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，解得m>3.C－15題組三走向高考6．(2021·全國甲，4)下列函數中是增函數的為(

)D[解析]

排除法，利用基本初等函數的性質逐一判斷四個選項．對于f(x)＝－x，由正比例函數的性質可知，f(x)是減函數，故A不符合題意；7．(2020·新高考Ⅱ，7)已知函數f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)單調遞增，則a的取值范圍是(

)A．(－∞，－1] B．(－∞，2]C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)D考點突破·互動探究考向1函數單調性的判斷與證明——自主練透

(1)(多選題)(2023·廣東省名校聯(lián)考改編)設函數f(x)在R上為增函數，則下列結論中不正確的是()例1考點一函數的單調性ABC②解法一：設1<x1<x2，思維升華確定函數單調性的四種方法(1)定義法；(2)導數法；(3)圖象法；(4)性質法．考向2求函數的單調區(qū)間——師生共研求下列函數的單調區(qū)間．(1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3；例2[分析](1)可用圖象法或化為分段函數或用化為復合函數求解；(2)復合函數求解；(3)導數法．[解析]

(1)解法一：(圖象法)解法二：(化為分段函數求解)解法三：(復合函數法)函數由y＝－u2＋2u＋3(u≥0)和u＝|x|復合而成，y＝－u2＋2u＋3(u≥0)的對稱軸為u＝1，由|x|＝1得x＝±1.x(－∞，－1)(－1,0)(0,1)(1，＋∞)u(1，＋∞)(0,1)(0,1)(1，＋∞)u＝|x|

y＝－u2＋2u＋3

f(x)

∴f(x)在增區(qū)間為(－∞，－1)，(0,1)，減區(qū)間為(－1,0)，(1，＋∞)．[引申1]本例(1)f(x)＝|－x2＋2x＋3|的增區(qū)間為___________________.[解析]

作出f(x)＝|－x2＋2x＋3|的圖象，由圖可知所求增區(qū)間為(－1,1)和(3，＋∞)．[引申2]本例(2)f(x)＝log2(－x2＋4x＋5)的增區(qū)間為_______________.(－1,1)和(3，＋∞)(－1,2]求函數的單調區(qū)間(確定函數單調性)的方法(1)利用已知函數的單調性，即轉化為已知單調性的函數的和、差或復合函數，再求單調區(qū)間．(2)定義法：先求定義域，再利用單調性定義求解．(3)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由圖象直接寫出它的單調區(qū)間．(4)導數法：利用導數取值的正負確定函數的單調區(qū)間．(5)求復合函數的單調區(qū)間的一般步驟是：①求函數的定義域；②求簡單函數的單調區(qū)間；③求復合函數的單調區(qū)間，依據是“同增異減”．注意：(1)求函數單調區(qū)間，定義域優(yōu)先．(2)單調區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個單調區(qū)間應分別寫，不能用并集符號“∪”連接，也不能用“或”連接．〔變式訓練1〕(1)(2019·北京)下列函數中，在區(qū)間(0，＋∞)上單調遞增的是(

)(2)(2023·滄州七校聯(lián)考)函數f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)的單調遞減區(qū)間是(

)A．(3，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，－1)(3)函數f(x)＝(a－1)x＋2在R上單調遞增，則函數g(x)＝a|x－2|的單調遞減區(qū)間是_______________.AA(－∞，2]令t＝(x＋1)(x－3)，則函數t在區(qū)間(3，＋∞)上單調遞增．又0<0.5<1，∴f(x)在區(qū)間(3，＋∞)上單調遞減．(3)由已知得a－1>0，∴a>1，∴g(x)＝a|x－2|減區(qū)間為q(x)＝|x－2|減區(qū)間，(－∞，2]，故填(－∞，2]．考向3函數單調性的應用——多維探究角度1利用函數的單調性比較大小例3D角度2利用單調性求最值例43角度3利用單調性解不等式

(1)已知函數f(x)＝lnx＋2x，若f(x2－4)<2，則實數x的取值范圍是______________________.例5(－2,1)角度4利用單調性求參數的取值范圍

(1)已知y＝f(x)在定義域(－1,1)上是減函數，且f(1－a)<f(a2－1)，求a的取值范圍．例6[解析]

(1)由題意可得1>1－a>a2－1>－1，函數單調性應用問題的常見類型及解題策略(1)比較函數值的大小，應將自變量轉化到同一個單調區(qū)間內，然后利用函數的單調性解決．(2)利用函數單調性求最值是求函數最值的重要方法，特別是當函數圖象不易作出時，單調性法幾乎成為首選方法．(3)解不等式．在求解與抽象函數有關的不等式時，往往是利用函數的單調性將“f”符號脫掉，使其轉化為具體的不等式求解．此時應特別注意函數的定義域．(4)利用單調性求參數時，通常要把參數視為已知數，依據函數的圖象或單調性定義，確定函數的單調區(qū)間，與已知單調區(qū)間比較，利用區(qū)間端點間關系求參數．求解時注意函數定義域的限制，遇分段函數注意分點處左、右端點函數值的大小關系．〔變式訓練2〕(1)(角度1)設偶函數f(x)的定義域為R，當x∈[0，＋∞)時，f(x)是增函數，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關系是(

)A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)A(1,2)[－3，－2][解析]

(1)因為f(x)是偶函數，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又因為函數f(x)在[0，＋∞)上是增函數，所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．故選A.(4)設u＝2－ax，∵a>0且a≠1，∴函數u在[0,1]上是減函數．由題意可知函數y＝logau在[0,1]上是增函數，∴a>1.又∵u在[0,1]上要滿足u>0，∴2－a×1>0，得a<2.綜上得1<a<2.例7考點二函數的最值——自主練透D利用單調性求最值，應先確定函數的單調性，然后根據性質求解．若函數f(x)在閉區(qū)間[a，b]上是增函數，則f(x)在[a，b]上的最大值為f(b)，最小值為f(a)．若函數f(x)在閉區(qū)間[a，b]上是減函數，則f(x)在[a，b]上的最大值為f(a)，最小值為f(b)．名師講壇·素養(yǎng)提升(1)求證：f(x)為奇函數；(2)求證：f(x)在R上是減函數；(3)求f(x)在[－3,6]上的最大值與最