新教材適用2024版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)練案30第五章平面向量與復(fù)數(shù)第二講平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

練案[30]第二講平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．(2022·巴中模擬)向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4,7)，則eq\o(BC,\s\up6(→))等于(B)A．(－2，－4) B．(2,4)C．(6,10) D．(－6，－10)[解析]eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4)．故選B.2．(2022·陜西漢中月考)已知向a，b滿足a－b＝(1，－5)，a＋2b＝(－2,1)，則b＝(C)A．(1,2) B．(1，－2)C．(－1,2) D．(－1，－2)[解析]∵a－b＝(1，－5)①，a＋2b＝(－2,1)②，∴②－①得3b＝(－3,6)．∴b＝(－1,2)．故選C.3．若e1，e2是平面α內(nèi)的一組基底，則下列四組向量能作為平面α的一組基底的是(B)A．e1－e2，e2－e1 B．e1＋e2，e1－e2C．2e2－3e1，－6e1＋4e2 D．2e1＋e2，e1＋eq\f(1,2)e2[解析]由e1，e2是平面α內(nèi)的一組基底，則e1，e2為非零不共線向量，對(duì)A，e1－e2＝－(e2－e1)，故e1－e2，e2－e1共線，不符題意；對(duì)B，e1＋e2，e1－e2不能互相線性表示，故不共線，滿足題意；對(duì)C,2e2－3e1＝eq\f(1,2)(－6e1＋4e2)，故2e2－3e1，－6e1＋4e2共線，不滿足題意；對(duì)D,2e1＋e2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e1＋\f(1,2)e2))，故2e1＋e2，e1＋eq\f(1,2)e2共線，不滿足題意，故選B.4．(2022·山西晉中市新一雙語(yǔ)學(xué)校月考)若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，則c＝(B)A．3a＋b B．3a－bC．－a＋3b D．a(chǎn)＋3b[解析]設(shè)c＝λa＋μb，則(4,2)＝(λ－μ，λ＋μ)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－μ＝4,λ＋μ＝2))，解得：λ＝3，μ＝－1則c＝3a－b故選B.5．向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝(B)A．2 B．4C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)[解析]以向量a和b的交點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系(設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1)，則A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)．所以a＝eq\o(AO,\s\up6(→))＝(－1,1)，b＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝(6,2)，c＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，－3)．∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－λ＋6μ＝－1，,λ＋2μ＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－2，,μ＝－\f(1,2)，))∴eq\f(λ,μ)＝4.故選B.6．(2022·汕頭調(diào)研)如圖，平行四邊形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段BE上，且BF＝3FE，記a＝eq\o(BA,\s\up6(→))，b＝eq\o(BC,\s\up6(→))，則eq\o(CF,\s\up6(→))＝(D)A.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b B．eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)bC．－eq\f(1,4)a＋eq\f(3,8)b D．eq\f(3,4)a－eq\f(5,8)b[解析]取a＝eq\o(BA,\s\up6(→))，b＝eq\o(BC,\s\up6(→))作為基底，則eq\o(BE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b.因?yàn)锽F＝3FE，所以eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝eq\f(3,4)a＋eq\f(3,8)b，所以eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)a＋eq\f(3,8)b－b＝eq\f(3,4)a－eq\f(5,8)b，故選D.7．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，設(shè)向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，則角C的大小為(B)A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,2) D．eq\f(2π,3)[解析]因?yàn)橄蛄縫＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)且p∥q，所以(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即c2－a2－b2＋ab＝0，所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，因?yàn)?<C<π，所以C＝eq\f(π,3).故選B.8．(2023·江西新余第一中學(xué)模擬)如圖，已知△OAB，若點(diǎn)C滿足eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝(D)A.eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(2,9) D．eq\f(9,2)[解析]∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,3)，μ＝eq\f(2,3)，∴eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝3＋eq\f(3,2)＝eq\f(9,2).故選D.二、多選題9．(2023·聊城一中模擬)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)M，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則下列結(jié)論正確的是(ABD)A.eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b B．eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋bC.eq\o(BM,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b D．eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)a＋b[解析]eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b，故A正確；eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋b，故B正確；eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，故C錯(cuò)誤；eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)a＋b，故D正確．10．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m可以是(ABD)A．－2 B．eq\f(1,2)C．1 D．－1[解析]各選項(xiàng)代入驗(yàn)證，若A，B，C三點(diǎn)不共線即可構(gòu)成三角形．因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假設(shè)A，B，C三點(diǎn)共線，則1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三點(diǎn)就可構(gòu)成三角形．11．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且|eq\o(MP,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(MN,\s\up6(→))|，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為(BD)A．(－8,1) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，－\f(5,2)))[解析]設(shè)P(x，y)，則eq\o(MP,\s\up6(→))＝(x－3，y＋2)，而eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(－8,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(1,2)))，當(dāng)eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))時(shí)，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3＝－4，,y＋2＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－\f(3,2).))所以P點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2))).同理當(dāng)eq\o(MP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))時(shí)，可解得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，－\f(5,2))).故選B、D.三、填空題12．已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個(gè)頂點(diǎn)A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)(2,4)__.[解析]∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，∴eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→)).設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\o(DC,\s\up6(→))＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x＝2，,2－y＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4)．13．(2023·廣西賀州聯(lián)考)已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(m，n)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(2,1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3,8)，則mn＝_7__.[解析]∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(m＋2，n＋1)＝(3,8)，∴m＋2＝3，n＋1＝8，∴m＝1，n＝7，∴mn＝7.14．設(shè)向量a＝(3,2)，b＝(－1,3)，向量λa－2b與a＋b平行，則實(shí)數(shù)λ＝_－2__.[解析]∵a＝(3,2)，b＝(－1,3)，∴λa－2b＝(3λ＋2,2λ－6)，a＋b＝(2,5)，又λa－2b與a＋b平行，所以5(3λ＋2)＝2(2λ－6)整理得11λ＝－22，即λ＝－2.15．(2023·江西南昌模擬)已知向量a＝(m，n)，b＝(1，－2)，若|a|＝2eq\r(5)，a＝λb(λ<0)，則m－n＝_－6__.[解析]∵a＝(m，n)，b＝(1，－2)，∴由|a|＝2eq\r(5)，a＝λb(λ<0)，得m2＋n2＝20①，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，n>0，,－2m－n＝0))②，聯(lián)立①②，解得m＝－2，n＝4.∴m－n＝－6.四、解答題16．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)當(dāng)k為何值時(shí)，ka－b與a＋2b共線；(2)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb且A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值．[解析](1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵ka－b與a＋2b共線，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－eq\f(1,2).(2)解法一：∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝λ，,3＝mλ，))解得m＝eq\f(3,2).解法二：eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝eq\f(3,2).17．已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)．(1)若a∥b，求tanθ的值；(2)若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值．[解析](1)因?yàn)閍∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝eq\f(1,4).(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝12＋22＝5，所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.從而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,4)))＝－eq\f(\r(2),2).又由0<θ<π知，eq\f(π,4)<2θ＋eq\f(π,4)<eq\f(9π,4)，所以2θ＋eq\f(π,4)＝eq\f(5π,4)或2θ＋eq\f(π,4)＝eq\f(7π,4).因此θ＝eq\f(π,2)或θ＝eq\f(3π,4).B組能力提升1．(多選題)設(shè)a是已知的平面向量且a≠0，關(guān)于向量a的分解，有如下四個(gè)命題(向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線)，則真命題是(AB)A．給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋cB．給定向量b和c，總存在實(shí)數(shù)λ和μ，使a＝λb＋μcC．給定單位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實(shí)數(shù)λ，使a＝λb＋μcD．給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μc[解析]∵向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，∴b≠0，c≠0，給定向量a和b，只需求得其向量差a－b，即為所求的向量c，故總存在向量c，使a＝b＋c，故A正確；當(dāng)向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線時(shí)，向量b，c可作基底，由平面向量基本定理可知結(jié)論成立，故B正確；取a＝(4,4)，μ＝2，b＝(1,0)，無(wú)論λ取何值，向量λb都平行于x軸，而向量μc的模恒等于2，要使a＝λb＋μc成立，根據(jù)平行四邊形法則，向量μc的縱坐標(biāo)一定為4，故找不到這樣的單位向量c使等式成立，故C錯(cuò)誤；因?yàn)棣撕挺虨檎龜?shù)，所以λb和μc代表與原向量同向的且有固定長(zhǎng)度的向量，這就使得向量a不一定能用兩個(gè)單位向量的組合表示出來(lái)，故不一定能使a＝λb＋μc成立，故D錯(cuò)誤．故選AB.2．(2022·吉林重點(diǎn)高中月考)如圖，若eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，B是線段AC靠近點(diǎn)C的一個(gè)四等分點(diǎn)，則下列等式成立的是(C)A．c＝eq\f(2,3)b－eq\f(1,6)a B．c＝eq\f(4,3)b＋eq\f(1,3)aC．c＝eq\f(4,3)b－eq\f(1,3)a D．c＝eq\f(2,3)b＋eq\f(1,6)a[解析]本題考查向量的線性運(yùn)算．c＝eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)b－eq\f(1,3)a.故選C.3．(2023·湖北四校調(diào)研)如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，且BD＝3DC.若eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f(λ,μ)＝(B)A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．2 D．eq\f(2,3)[解析]本題考查向量的線性運(yùn)算.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(1,4)，μ＝eq\f(3,4)，從而求得eq\f(λ,μ)＝eq\f(1,3)，故選B.4．(2023·豫南九校聯(lián)考)如圖，A，B分別是射線OM，ON上的點(diǎn)，給出下列向量：若這些向量均以O(shè)為起點(diǎn)，則終點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)(包括邊界)的向量有(B)A.eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→)) B．eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))C.eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)) D．eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up6(→))[解析]在ON上取點(diǎn)C，使得OC＝2OB，以O(shè)A，OC為鄰邊作平行四邊形OCDA(圖略)，則eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))，其終點(diǎn)不在陰影區(qū)域內(nèi)，排除A，同理排除C，D，故選B.5．(2022·西安質(zhì)檢)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠DAB＝60°，設(shè)eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝(A)A.eq\f(2\r(3),3) B．eq\f(\r(3),3)C．3 D．eq\r(3)[解析]如圖，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)，C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2)，因?yàn)椤螪AB＝60°，所以設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(m，eq\r(3)m)(m>0)．eq\o(AD,\s\up6(→))＝(m，eq\r(3)m)＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))＝λ(1,0)＋μ(0,2)＝(λ，2μ)，則λ＝m，且μ＝eq\f(\r(3),2)m，所以eq\f(λ,μ)＝eq\f(2\r(3),3).6