人教版五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊【課本】5年級(jí)第23講-工程問題

第二十三講工程問題

------------------------------------------------------------------------------------我們這一講要學(xué)習(xí)的問題叫做工程問題．先來看下面的這個(gè)例子，假設(shè)一條地鐵線有15千米長，工程隊(duì)每個(gè)月可以修3千米，同學(xué)們肯定馬上就能看出，共需要在這個(gè)例子中，總長度15千米叫做這個(gè)工程問題的工作總量，5個(gè)月即為工作時(shí)間，而工程隊(duì)每個(gè)月修3千米就叫做工作效率．同學(xué)們，你們能看出來這和我們以前學(xué)過的哪一類應(yīng)用題很類似嗎？沒錯(cuò)，就是行程問題！上面的例子很容易轉(zhuǎn)化成這樣一個(gè)行程問題：兩地相距15千米，某人行走的速度為每小時(shí)3雖然工程問題看起來和行程問題很類似，但工程問題有它自己獨(dú)特的解法．在工程問題中，經(jīng)常無法從題目中找到工作總量，此時(shí)可以把工作總量設(shè)為單位“1”．例如：一個(gè)工程隊(duì)5天修完一段公路，我們就可以把修這段公路的工作總量設(shè)為單位“1”，那么工程隊(duì)每天就能修完公路的，那么每天完成的工作量就是“”，而“”就是這個(gè)工程隊(duì)的工作效率．所謂工作效率，就是單位時(shí)間內(nèi)完成的工作量．如同速度在行程問題中的核心地位，工程問題中工作效率、工作時(shí)間和工作總量這三個(gè)量中最為關(guān)鍵的量也是工作效率．因此，如何求出每一個(gè)工作者的工作效率，是同學(xué)們分析問題時(shí)的重點(diǎn)．練一練：李師傅要完成一批零件，他預(yù)計(jì)用6個(gè)小時(shí)完成了整個(gè)工作．則以這批零件的總量為單位“1”，李師傅的工作效率是_______，如果李師傅工作了2個(gè)小時(shí)，那么他完成了全部工作的_____分之_____．明明用了10個(gè)小時(shí)完成了寫大字的作業(yè)，那么明明3個(gè)小時(shí)能完成作業(yè)的_____分之_____，如果這時(shí)他寫好了30個(gè)大字，那么他總共要寫_______個(gè)大字．

吃飯的時(shí)候，媽媽給小高盛了一碗米飯，小高發(fā)現(xiàn)自己用了5分鐘就吃掉了半碗，如果以一碗米飯為單位“1”，那么小高吃米飯的效率是______．那么小高_(dá)_____分鐘能吃掉碗的米飯．阿呆和阿瓜兩個(gè)人打掃屋子，阿呆自己打掃50分鐘能打掃完，阿瓜75分鐘能打掃完，那么阿呆每分鐘能完成全部工作的_____分之_____，阿瓜每分鐘能完成全部工作的_____分之_____，如果兩個(gè)人同時(shí)工作的話，那么每分鐘能完成全部工作的_____分之_____．阿萍為鄰居家的溫奶奶修廁所，用30天可以修好，阿萍的效率是_____．阿萍工作了10天之后，修廁所的技術(shù)上了一個(gè)臺(tái)階，效率變成了之前的2倍．她還需要________天就可以把廁所修好．

在完成一項(xiàng)工作時(shí)，很多時(shí)候依靠個(gè)人的力量是無法完成的，或者不能完成得很快、很好，這時(shí)就需要多個(gè)人合作來完成．俗話說：“眾人拾柴火焰高”，團(tuán)隊(duì)的智慧是遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過個(gè)人的．當(dāng)多人合作的時(shí)候，完成的工作總量就是這些人工作量的總和，“總工效”就是他們每個(gè)人的工作效率之和．---------------------------------------------------------------------例題1．一條公路，甲隊(duì)單獨(dú)去修需要20天完成，乙隊(duì)單獨(dú)去修需要30天完成．那么：

（1）甲、乙兩隊(duì)一起修，共需要多少天完成？

（2）如果甲、乙兩隊(duì)合修若干天之后，乙隊(duì)停工休息，而甲隊(duì)繼續(xù)修了5天才修完，那么乙隊(duì)一共修了多少天？「分析」題目中已知甲、乙的工作時(shí)間，如果我們把工作總量設(shè)為單位“1”，那么利用工程問題的基本關(guān)系式：，馬上可以求出甲、乙兩隊(duì)的工作效率，那么兩人合作的效率是多少？第（2）問中，甲隊(duì)獨(dú)修了5天，那么甲隊(duì)獨(dú)修的工作量是多少？其余的工作由兩人合作完成，那兩人還需要合作幾天？

練習(xí)1．有一堆排骨，老虎單獨(dú)吃需要10分鐘，獅子單獨(dú)吃需要15分鐘．那么：

（1）老虎和獅子一起互不影響地吃這堆排骨，需要多少分鐘吃完？

（2）如果老虎和獅子一起吃了3分鐘后，老虎就把獅子趕走了，剩下的排骨可以讓老虎單獨(dú)吃幾分鐘？

在例題1中，單獨(dú)與合作劃分得很清楚，單獨(dú)做的時(shí)候只要找那個(gè)人對應(yīng)的工效和工作量，就能算出那個(gè)人單獨(dú)的工作時(shí)間，而合作的時(shí)候，只要找到工效和與對應(yīng)的工作量就能求出合作時(shí)間．然而有些時(shí)候，單獨(dú)與合作的界線并不是那么清楚，需要我們自己找到．

例2．現(xiàn)在要修筑一條公路，如果甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)同時(shí)施工，20天可以完成．如果兩隊(duì)合作15天之后，剩下的全都由乙來完成，則還需要15天才能完成．那么如果這條路全部都由甲隊(duì)來修，需要多少天才能完成？「分析」實(shí)際工作的30天中，前15天是兩隊(duì)合作，后15天是乙隊(duì)獨(dú)做，每天的工作效率不一樣．那我們可以分別計(jì)算前15天與后15天的工作總量，進(jìn)而計(jì)算出甲和乙的工作效率．

練2．現(xiàn)在要修筑一條公路，如果乙工程隊(duì)單獨(dú)修，需要18天完成．如果兩隊(duì)合作10天之后，剩下的全都由乙來完成，則還需要6天才能完成．那么如果這條路全部都由甲隊(duì)來修，需要多少天才能完成？例題3．有一條公路，甲隊(duì)獨(dú)修需12天，乙隊(duì)獨(dú)修需15天．現(xiàn)在讓2個(gè)隊(duì)合修，但中間甲隊(duì)有別的任務(wù)離開了，結(jié)果從頭到尾用了10天才把這條公路修完．請問：甲隊(duì)參與修路多少天？「分析」我們可以把兩隊(duì)分開來計(jì)算．甲隊(duì)最“懶”，干了幾天就走了；乙隊(duì)最聽話，完完整整地做了10天，由此我們可以求出乙隊(duì)的工作總量，進(jìn)而求出甲的工作總量和工作時(shí)間．

練習(xí)3．有一堆煤，甲車單獨(dú)運(yùn)需要10天運(yùn)完，乙車單獨(dú)運(yùn)需要40天運(yùn)完．乙車先開始運(yùn)，若干天后甲車加入，到運(yùn)完時(shí)乙車一共運(yùn)了12天．那么乙車開始后幾天甲車才加入？

例題4．有一批待加工的零件，甲單獨(dú)做需要4天完成，乙單獨(dú)做需要5天完成，如果兩人合作，那么完成任務(wù)時(shí)甲比乙多做20個(gè)零件．這批零件共有多少個(gè)？「分析」到完成時(shí)甲乙各完成了這批零件的幾分之幾？20個(gè)零件占了這批零件的幾分之幾？練習(xí)4．甲、乙兩工程隊(duì)修一條路，如果讓甲隊(duì)單獨(dú)修，需要8天完成；如果讓乙隊(duì)單獨(dú)修，需要6天完成．現(xiàn)在兩隊(duì)合修，修完后，甲隊(duì)比乙隊(duì)少修了50米．這條路有多長？在生活當(dāng)中，有時(shí)候會(huì)出現(xiàn)“倒班”，也就是幾個(gè)人輪流工作，而不是同時(shí)工作．這種類型的工程問題應(yīng)該怎么解決呢？例題5．（1）單獨(dú)完成一項(xiàng)工程，甲需要15天，乙需要10天．現(xiàn)在兩人按甲、乙、甲、乙、…的順序，一人一天輪流工作．那么完成這項(xiàng)工作需要幾天？

（2）單獨(dú)完成一項(xiàng)工程，甲需要15天，乙需要6天．現(xiàn)在兩人按甲、乙、甲、乙、…的順序，一人一天輪流工作．那么完成這項(xiàng)工作需要幾天？

（3）單獨(dú)完成一項(xiàng)工程，甲需要15天，乙需要12天．現(xiàn)在兩人按甲、乙、甲、乙、…的順序，一人一天輪流工作．那么完成這項(xiàng)工作需要幾天？「分析」甲乙輪流工作，以2天為一周期，每個(gè)周期完成的工作量都是相同的．到最后完成工作需要幾個(gè)周期呢？很多大型的工程中，都包含著多個(gè)小型的工程．比如中國的南水北調(diào)工程就分為東線工程、中線工程和西線工程．在工程問題中，這種整體與部分之間的關(guān)系是值得注意的．例題6．搬運(yùn)一個(gè)倉庫的貨物，甲需要10小時(shí)，乙需要12小時(shí)，丙需要15小時(shí)．現(xiàn)有兩個(gè)相同的倉庫A和B，甲在A倉庫、乙在B倉庫同時(shí)開始搬運(yùn)貨物，丙先幫助甲搬運(yùn)，中途又轉(zhuǎn)向幫助乙搬運(yùn)，最后兩個(gè)倉庫貨物同時(shí)搬完，那么丙幫助甲搬了多少小時(shí)？「分析」我們可以把這兩個(gè)倉庫看成一個(gè)大的倉庫，那么甲乙丙三人在合作搬運(yùn)這個(gè)大倉庫的貨物，而且是同時(shí)開始，同時(shí)結(jié)束．那么搬運(yùn)的時(shí)間能不能算出來？

曼哈頓工程曼哈頓工程是第二次世界大戰(zhàn)期間美國陸軍自1942年起開發(fā)核武器計(jì)劃的代號(hào)。曼哈頓工程的負(fù)責(zé)人為美國物理學(xué)家J·羅伯特·奧本海默。愛因斯坦與奧本海默1941年12月7日，日本偷襲美國珍珠港。此后不久，美國正式成為第二次世界大戰(zhàn)參戰(zhàn)國。與此同時(shí)，美國國家科學(xué)院在以往研究成果的基礎(chǔ)上遞交的研制核武器申請得到了批準(zhǔn)。1942年夏，面對希特勒德國氘及氚產(chǎn)量令人擔(dān)心的增長，美國秘密撥款共25億美元，加緊開發(fā)核武器。美國陸軍方面的計(jì)劃主管LeslieRichardGroves將計(jì)劃命名為曼哈頓計(jì)劃。計(jì)劃主要在新墨西哥州LosAlamos附近的一個(gè)專為此項(xiàng)目開辟的絕密研究中心進(jìn)行。在奧本海默領(lǐng)導(dǎo)下，大批物理學(xué)家和技術(shù)人員參加了這一計(jì)劃，高峰時(shí)期參加者人數(shù)逾10萬人。1945年7月16日，第一顆原子彈試驗(yàn)成功，爆炸當(dāng)量相當(dāng)于2萬1千噸三硝基甲苯（TNT）。由于當(dāng)時(shí)歐洲的兩個(gè)主要軸心國均已戰(zhàn)敗，原子彈投放的目標(biāo)轉(zhuǎn)向了日本。1945年8月6日美國向廣島投放了稱為小男孩的原子彈，8月9日又向長崎投放了稱為胖子的原子彈。數(shù)天后，日本宣布投降，第二次世界大戰(zhàn)宣告結(jié)束。

小山羊和老鹿在吃倉庫里的草，2個(gè)小時(shí)可以吃完．如果只有老鹿吃的話，3個(gè)小時(shí)可以吃完．如果只有小山羊吃的話，幾個(gè)小時(shí)可以吃完？廚房里有一些包子，阿呆一個(gè)人需要10分鐘吃完，阿瓜一個(gè)人需要15分鐘吃完．如果兩個(gè)人一塊吃，到吃完時(shí)阿呆比阿瓜多吃10個(gè)包子．廚房里本來有多少個(gè)包子？春天的時(shí)候，學(xué)校組織同學(xué)去果園給果樹澆水，甲班的學(xué)生單獨(dú)去做需要12天完成，乙班的學(xué)生單獨(dú)去做需要15天完成，如果兩個(gè)班共同做了4天，那么乙班獨(dú)自做完剩下的工作需要多少天？有一項(xiàng)工作，甲單獨(dú)做需要5天完成，乙單獨(dú)做需要12天完成，丙