合工大自動控制理論 試題

線性系統(tǒng)的時域分析法動態(tài)數學模型，是對控制系統(tǒng)進行理論研究的前提。在確定系統(tǒng)的數學模型后，便可以用幾種不同的方法去分析控制系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。在經典控制理論中，常用時域分析法、根軌跡法或頻域分析法來分析線性控制系統(tǒng)的性能。顯然，不同的方法有不同的特點和適用范圍，但是比較而言，時域分析法是一種直接在時間域中對系統(tǒng)進行分析的方法，具有直觀、準確的優(yōu)點，并且可以提供時間響應的全部信息。時域分析法是根據系統(tǒng)的微分方程(或傳遞函數)，用拉普拉斯變換直接解出動態(tài)方程，并依據過程曲線及表達式分析系統(tǒng)的性能。3-1線性系統(tǒng)時間響應的性能指標一：典型初始狀態(tài)規(guī)定系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零狀態(tài)，即：c(0-)=c(o-)=C(0-)=???=0。表明在輸入加于系統(tǒng)之前，被控量及其各階導數相對于平衡工作點的增量為零，系統(tǒng)處于相對平衡狀態(tài)。二：典型輸入信號典型輸入信號是眾多而復雜的實際輸入的近似和抽象，它的選擇不僅應使數學運算簡單，而且還應便于實驗驗證。所謂典型輸入信號，是指根據系統(tǒng)常遇到的輸入信號形式，在數學描述上加以理想化的一些基本輸入函數。常用的典型輸入信號有以下幾種：1：單位階躍函數1(t)二L[1(t)]=-s2：單位斜坡函數t*t*1(t)=tt>00t<0L[t-1(t)]=Sr3：單位加速度函數*1/八—t2t>0萬t2?1(t)=\20t<0L112?1(t)]=—2s34：單位脈沖函數§(t)二f+g5(t)dt二1§(t)二-g

LL[5(t)]二15：正弦函數IAsinwtt>0Asmet-1(t)=<[0t<0L[Asinet-1(t)]=一s2+e2三：典型時間響應初始狀態(tài)為零的系統(tǒng)，在典型輸入信號作用下的輸出，稱為典型時間響應。典型時間響應由動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成。動態(tài)過程：動態(tài)過程又稱過渡過程或瞬態(tài)過程，是指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出由初始狀態(tài)到達最終狀態(tài)的響應過程。穩(wěn)態(tài)過程：指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，當時間t趨于無窮大時，系統(tǒng)輸出量的表現形式?？刂葡到y(tǒng)在典型輸入信號作用下的性能指標，通常由動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能兩部分組成。四：動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能描述穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍函數作用下，動態(tài)過程隨時間t的變化狀況的指標，稱為動態(tài)性能指標。對于圖3-1所示單位階躍響應h(t),其動態(tài)性能指標通常為：1：延遲時間td，指響應曲線第一次達到其終值一半所需要的時間。2：上升時間tr，指響應曲線從終值10%上升到終值90%所需要的時間；對于有振蕩的系統(tǒng)，也可定義為響應從零第一次上升到終值所需要的時間。上升時間是系統(tǒng)響應速度的一種度量。3：峰值時間t,指響應超過終值達到第一個峰值所需要的時間。4：調節(jié)時間ts，指響應達到并保持在終值±5%(或土2%)內所需要的時間。5：超調量Z%，指響應的最大偏離量h(tp)與終值h(g)之差的百分比，即：h(g)a%=h⑷)一瓜呵X100%

h(g)穩(wěn)態(tài)性能：穩(wěn)態(tài)誤差是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的一種性能指標，通常在階躍函數、斜坡函數和加速度函數作用下進行測定或計算。若時間趨于無窮大時，系統(tǒng)的輸出量不等于輸入量或輸入量的確定函數，則系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動能力的一種度量。3-2一階系統(tǒng)的時域分析一：一階系統(tǒng)的數學模型1K一階系統(tǒng)的結構圖如圖3-2所示，其開環(huán)傳遞函數為G(s)=-=—Tss閉環(huán)傳遞函數為①(s)==>E(s).1C(s).TsR(s)s+—Ts+1此系統(tǒng)稱為典型一階系統(tǒng)。二：一階系統(tǒng)的響應R(s)1：單位階躍響應當輸入信號為單位階躍信號時，r(t)=1(t)R(s)=11_1_15_s+1/TC(s)=①(s)R(s)=1—s(Ts+1)h(t)二L_1[C(s)]二1_e_t/T可以畫出一階系統(tǒng)的單位階躍響應如圖3-3所示。根據動態(tài)性能指標的定義，一階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標為t二0.69Tdt二2.20Trt二3T(±5%)s對于一階系統(tǒng)的單位階躍響應，e=lime(t)=lim[r(t)_c(t)]=0，說明一階SStsts

系統(tǒng)跟蹤階躍輸入信號時’無穩(wěn)態(tài)誤差。另外有警=02：單位脈沖響應當輸入信號為單位脈沖信號時r(t)=6(t)R(s)=1C(sC(s)=①(s)R(s)=Ts+11/Ts+1/Tk(t)=Lk(t)=L-1[C(s)]=—e-t/tT可以畫出一階系統(tǒng)的單位脈沖響應如圖3-4所示。3：單位斜坡響應當輸入信號為單位斜坡信號時r(t)=t-1(t)R(s)=—s2C(C(s)二①(s)R(s)二1s2(Ts+1)cc(t)二L-1[C(s)]二t-T+Te-t/t可以畫出一階系統(tǒng)的單位斜坡響應如圖3-5所示。對于一階系統(tǒng)的單位斜坡響應，ess=lim可以畫出一階系統(tǒng)的單位斜坡響應如圖3-5所示。對于一階系統(tǒng)的單位斜坡響應，ess=lime(t)=lim[r(t)-c(t)]=T,說明一階系統(tǒng)跟蹤單位斜坡輸入信號時,tsts穩(wěn)態(tài)誤差為T。4：單位加速度響應當輸入信號為單位加速度信號時，r(t)=112?l(t)R(s)=丄2s3C(s)二①(s)R(s)二1s3(Ts+1)c(t)=L-1[C(S)]=112c(t)=L-1[C(S)]=e(t)=r(t)-c(t)=Tt-T2(1-e-t/t)ess說明一階系統(tǒng)無法跟蹤加速度輸入信號。5：四種響應的關系參考圖3-6，可以得出如下結論：某輸入信號響應的導數等于該輸入信號導數的響應。即：一階系統(tǒng)的單位加速度響應的導數等于其單位斜坡響應，一階系統(tǒng)的單位斜坡響應的導數等于其單位階躍響應，一階系統(tǒng)的單位階躍響應的導數等于其單位脈沖響應，這一規(guī)律適用于一般的線性定常系統(tǒng)。C1C1(s)=C2(s)①⑶_1+0.1①⑶_1+0.1x100/0.1s+11/a—s+1100a①⑶=1+ax100/st=3T=_^=0.1s100aa=0.3例3-1—階系統(tǒng)如圖所示，試求系統(tǒng)單位階躍響應的調節(jié)時間ts，如果要求ts=0.1秒，試問系統(tǒng)的反饋系數應如何調整？解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為100/s10這是一個典型一階系統(tǒng)，調節(jié)時間ts=3T=0.3秒。s若要求調節(jié)時間ts=0.1秒，可設反饋系數為a，則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為:100/s

例3-2已知某元部件的傳遞函數為：G（s）=10，采用圖示方法引入負0.2s+1反饋，將調節(jié)時間減至原來的0.1倍，但總放大系數保持不變，試選擇KH、K0的值。解：原系統(tǒng)的調節(jié)時間為t二3x0.2二0.6s10K10K/(0.2s+1)01+10K/(0.2s+1)HC（s）二kxG（s）二R（s）01+G（s）xKH10K0-1+10K二0.2~~=s+11+10KH若將調節(jié)時間減至原來的0.1倍，但總放大系數保持不變，則10K100二101+10K0.2H02二0.021+10KHK二0.9HK二1003-3二階系統(tǒng)的時域分析一：典型二階系統(tǒng)的數學模型典型二階系統(tǒng)的動態(tài)結構圖如圖所示，其開環(huán)傳遞函數為（）①2Ks(Ts+1)R(s)cE(s)-32C(s)?1s(s+2^3)nG⑶=s（s+環(huán)）=n閉環(huán)傳遞函數為：、32①（s）二n-s2+2^3s+32nn根據g的取值，可把系統(tǒng)分為欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼三種情況進行分析。二：二階系統(tǒng)的單位階躍響應1：欠阻尼情況（0侖＜1）系統(tǒng)的特征方程為：s2+生3s+32二0nn在欠阻尼的情況下，閉環(huán)極點為共軛復數：s=—^）3±j1—g23±j3nnd

其中：b=—g33=-1—g23ndn極點分布如圖所示。圖中：卩二COS-lg若輸入信號為單位階躍信號r(t)=1(t若輸入信號為單位階躍信號r(t)=1(t)R(s)=1sC(s)二①(s)R(s)32n(s+3)2+3ndls+g3—ns(s+g3)2+32nd32ln■—s2+2g3s+32snn1sg3n(s+g3)2+32ndg3h(t)二L—i[C(s)]二1一e-g3”tcos3t一——ne—g?ntsin3td3dd1二1—”e—g3ntsin(3t+P)1—g2dh(t)包含穩(wěn)態(tài)分量和動態(tài)分量，其穩(wěn)態(tài)分量為1,動態(tài)分量呈現振蕩衰減特1性，注意到h(t)的包絡線為：1土e-純，可以畫出h(t)曲線如圖所示，根J1-g2據動態(tài)性能指標的定義，可以求出性能指標為：兀一P上升時間：t=—Pr3d兀峰值時間：t二-p3d超調量：b%=e■-1-g2x10Q%4)調節(jié)時間：t=-!4)調節(jié)時間：t=-!穩(wěn)態(tài)誤差為0，說明典型二階系統(tǒng)跟蹤階躍輸入信號時，無穩(wěn)態(tài)誤差，系統(tǒng)為無靜差系統(tǒng)。在繪制h(t)曲線時，應注意到：畔L0=0由h(t)的表達式和性能指標的計算公式可以得出以下結論：阻尼比§越大，系統(tǒng)的超調量越小，響應平穩(wěn)；阻尼比§越小，系統(tǒng)的超調量越大，響應的平穩(wěn)性越差；當g=0時，系統(tǒng)的響應為：h(t)二1-cos?tn為頻率為3n的等幅振蕩，系統(tǒng)無法進入平衡工作狀態(tài)，不能正常工作。另外，在§一定時，3“越大，系統(tǒng)的振蕩頻率3d越大，響應的平穩(wěn)性較差。故§大，3小，系統(tǒng)響應的平穩(wěn)性好。調節(jié)時間t的計算公式為近似表達式，事實上，§小,系統(tǒng)響應時收斂s速度慢，調節(jié)時間長，若§過大，系統(tǒng)響應遲鈍，調節(jié)時間也較長。因此§應取適當的數值，§=0.707時的典型二階系統(tǒng)稱為最佳二階系統(tǒng)，此時超調量為4.3%,調節(jié)時間為3/3。例3-3：設典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線如圖所示，試確定系統(tǒng)的傳遞函數。解:根據題意b%=30%t=0.1pb%二e*2x100%二30%二0.1①二34.1①二36.6dn?2ns二0.1①二34.1①二36.6dn?2ns2+2g?s2nn1340s2+26.4s+13402：臨界阻尼情況(§=1)系統(tǒng)的特征方程為：s2+2g?s+?2二0nn在臨界阻尼的情況下，閉環(huán)極點為重極點：s=弋?n?2系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為：①G)=n，當輸入信號為階躍信號時,s2+2?s+?2nnr(t)=1(t)R(s)=1s

C(sC(s)二①(s)R(s)二32ns2+23s+32nn321n?一(s+3)2snh(t)=L-i[C(s)]=1—(1+3t)e?n響應具有非周期性，沒有振蕩和超調，其響應曲線如圖所示。該響應曲線不同與典型一階系統(tǒng)的單位階躍響應，dh(t同與典型一階系統(tǒng)的單位階躍響應，dh(t),dtIt=0動態(tài)性能指標為：當輸入信號為階躍信號時，r當輸入信號為階躍信號時，r(t)=1(t)R(s)=1st二4.75/3，穩(wěn)態(tài)誤差為0,說明典型二階系統(tǒng)跟蹤階躍輸入信號時，無穩(wěn)態(tài)sn誤差，系統(tǒng)為無靜差系統(tǒng)。3：過阻尼情況(E>1)系統(tǒng)的特征方程為：s2+2^3s+32二0nn在過阻尼的情況下，閉環(huán)極點為兩個負實數極點：s=弋3±3，三廠1若nnT~2則sT~2C(sC(s)二①(s)R(s)二ns2+2^3s+32nnTOC\o"1-5"\h\z321—n?—(s+1/T)(s+1/T)s12h(t)—L-1[C(s)]—1+—e-tT1+—e-二TT-1Lt-11'2響應具有非周期性，沒有振蕩和超調，其響應曲線如圖所示。該響應曲線不同與典型一階系統(tǒng)的單位階躍響應，響—同與典型一階系統(tǒng)的單位階躍響應，響—0。動態(tài)性能指標為:1t—(6.45;-1.7)(^>0.7)，穩(wěn)態(tài)誤差為0,說明典型二階系統(tǒng)跟蹤階躍輸s①nn需要說明的是，對于臨界阻尼和過阻尼的二階系統(tǒng)，其單位階躍響應都沒有振蕩和超調，系統(tǒng)的調節(jié)時間隨g的增加而變大，在所有無超調的二階系統(tǒng)中，臨界阻尼時，響應速度最快。例3-4:圖示系統(tǒng)，要求單位階躍響應無超調，調節(jié)時間不大于1秒，求開環(huán)增益K。解:該系統(tǒng)為典型二階系統(tǒng)，根據題意，應選擇解:該系統(tǒng)為典型二階系統(tǒng)，根據題意，應選擇g=1,系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為:R(s)-心E(s)-KC(s)dks(0.1s+1)G(sG(s)—Ks(0.1s+1)32s(s+)n31K—一K茗T0.n3—5K—2.5n三:二階系統(tǒng)性能的改善對于如圖所示欠阻尼典型二階系統(tǒng)，在單位階躍信號作用下，系統(tǒng)將產生超調。這是因為在［0,t］時間內，由于e(t)為正，系統(tǒng)輸出c(t)增加，這種增加一方面使輸出接近希望值，另一方面有可能使系統(tǒng)出現超調，要減小超調，e(t)不能過大，在［0,tj時間內，給e(t)加入一個附加的負信號，有利于減小超調；在［t，t］時間內，系統(tǒng)出現超調，e(t)為負，有利于減弱c(t)增加的趨勢，若在［t；tl時間內，給e(t)加入一個附加的負信號，有利于減小超調；在［t，t］1223時間內，c(t)已經過最大值，出現下降趨勢，e(t)為負，有利于c(t)的下降，同時有可能使c(t)出現反向超調，在此時間段內，給e(t)加入一個附加的正信號，有利于減小反向超調；在［t，t］時間內，c(t)出現反向超調，e(t)為正，34有利于減小c(t)的反向超調，在此時間段內，給e(t)加入一個附加的正信號，有利于減小反向超調。通過以上分析，要減小超調量，可以給e(t)加入一個附加信號，其極性要求為:［0,t］：“-”、［t，t］：“-”、［t，t通過以上分析，要減小超調量，可以給e(t)加入一個附加信號，其極性要求為:［0,t］：“-”、［t，t］：“-”、［t，t］：“+”、［t，t］：“+”，經分析，e(t)的導數和1-c(t)的導數1的2極性符合要求2。于3是采用比例3-微4分控制、測速負反饋控制可減小系統(tǒng)的超調量。1：比例-微分控制比例-微分控制時系統(tǒng)結構圖如圖所示，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為：G(s)=?2(Ts+1)n—s(s+n閉環(huán)傳遞函數為：32(Ts+1)~d1s2+2化+T3)3s+322dnnn系統(tǒng)的阻尼比為：E=E+1T3d2dn可見，采用比例-微分控制，增加了系統(tǒng)的阻尼比，使系統(tǒng)超調量下降，調節(jié)時間縮短，且不影響常值穩(wěn)態(tài)誤差及系統(tǒng)的自然頻率。需要注意的是，采用比例-微分控制后，系統(tǒng)為有零點的二階系統(tǒng)，不再是典型二階系統(tǒng)，性能指標計算公式為：設：1z二申二一兀+arctg[3'I2/(z-E3)]+arctg(-12/E)Tn"ddnddd卩二arctg(]1弋2/E)dddr二：z2-2E3+32/(z：'l-E2'dnn、d則：1)峰值時間tp=pd一申3<1-Ed2nd2)超調量o%=rx100%3）調節(jié)時間t二s113+_3）調節(jié)時間t二s113+_ln(z2-2^①+?2)一Inz-ln(l—g2)2dnn2d

dn2：測速反饋控制測速反饋控制時系統(tǒng)結構圖如圖所示，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為G(s)=1+Ks-to2s(s+2go)no2

s(s+2go)n11―o2s(s+2go)nKs<tC(s)閉環(huán)傳遞函數為：①（s）二①（s）二s2+2(g+對動態(tài)性能的影響：微分控制相當于在系統(tǒng)中加入實零點，可以加快上升時間。在相同阻尼比的情況下，比例-微分控制系統(tǒng)的超調量會大于測速反饋控制系統(tǒng)的超調量。高階系統(tǒng)的時域分析一：高階系統(tǒng)的階躍響應對于圖示高階系統(tǒng)，設：0(0)-1當輸入為單位階躍信號時_G(s)M(s)_K0(0)-1當輸入為單位階躍信號時TOC\o"1-5"\h\zIi=11+G(s)H(s)D(s)門(s_s)i-1i若系統(tǒng)閉環(huán)極點s為互不相同之實數r(t)-1(t)R(s)-1sAi——ss_sKn(s_z)C(s)-①(s)R(s)-iAi——ss_snn(s_s)iKnm(_z)1Knm(s_z)A-—ii-0(0)A-_L?Hi一」0nn(_s)isinn(s_s)i-1ij-1ijj知c(t)—AAesi0ii-0若系統(tǒng)閉環(huán)極點中有q個實數極點，r對復數極點(q+2r二n)，當輸入為單位階躍信號時，r(t)-1(t)R(s)-1sKnm(s_z)C(s)-0(s)R(s)-i-1L_a+yA-—oa+yA-—o+i—ss_sj-1jn(s一s)n(s2+2?s2)ikkkj-1k-1k-1Bs+Ckks2+2^s+32kkk工Ck一BA戮e爲嚀sin?.：l_g21)k-1禺尸kh工Ck一BA戮e爲嚀sin?.：l_g21)k-1禺尸k0jkkkj-1k-1上式表明，高階系統(tǒng)的時間響應，是由一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)的時間響應函數項組成。如果高階系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點都具有負實部，即所有閉環(huán)極點都位于左半s開平面，那么隨著時間的增長，響應的瞬態(tài)分量趨于零，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，其穩(wěn)態(tài)輸出量為A。顯然，對于穩(wěn)定的高階系統(tǒng)，閉環(huán)極點負實部的絕對值越大，其對應的響應分量衰減得越迅速；反之，則衰減緩慢。二：閉環(huán)主導極點和偶極子對于穩(wěn)定的高階系統(tǒng)而言，如果在所有的閉環(huán)極點中，距虛軸最近的極點周圍沒有閉環(huán)零點，而其他極點又遠離虛軸，那么距虛軸最近的不會極點所對應的響應分量，隨時間的推移衰減緩慢，無論從指數還是系數來看，在系統(tǒng)的時間響應過程中起主導作用，這樣的閉環(huán)極點就稱為閉環(huán)主導極點。閉環(huán)主導極點可以是實數極點，也可以是復數極點，或是它們的組合。除閉環(huán)主導極點外，其他閉環(huán)極點由于其對應的響應分量隨時間的推移而迅速衰減，對系統(tǒng)的時間響應過程影響甚微，因而統(tǒng)稱為非主導極點。另外，閉環(huán)極點附近又閉環(huán)零點，則該閉環(huán)極點所對應的響應分量系數很小，對系統(tǒng)的時間響應過程影響甚微，這樣的一對閉環(huán)零、極點稱為偶極子。在分析高階系統(tǒng)的性能時，可以忽略偶極子的影響。三：高階系統(tǒng)動態(tài)性能估算運用閉環(huán)主導極點和偶極子的概念，可對高階系統(tǒng)動態(tài)性能作出估算。設高階系統(tǒng)具有一對共軛復數主導極點s1,，2而非主導極點實部的模比主導極點實部的模大3倍以上，則其單位階躍響應近似為：M(s)M(s)、TOC\o"1-5"\h\zh(t)二1+2丄e-ctcos?t+Z乙)sDD(s)dsDD(s)|ii|ii根據上式，可以估算系統(tǒng)的動態(tài)性能指標。1：峰值時間t二丄[兀-Kz(s—z)+》Z(s-s)]p①1i1idi=1i=3由上式可以得出如下結論：第一，閉環(huán)零點的作用為減小峰值時間，使系統(tǒng)響應速度加快，并且閉環(huán)零點越接近虛軸，這種作用便越顯著。第二，閉環(huán)非主導極點的作用為增大峰值時間，使系統(tǒng)響應速度變慢。第三，若閉環(huán)零、極點彼此接近，則它們對系統(tǒng)響應速度的影響相互削弱。2：超調量c%=PQe-ctpX100%nisinis一ziP=i=3IQ=i=11Inn|s-s|nm|z|i=31ii=1i由上式可以得出如下結論：第一，若閉環(huán)零點距虛軸較近，將使超調量增大，表明閉環(huán)零點會減小系統(tǒng)阻尼。第二，若閉環(huán)非主導極點距虛軸較近，將使超調量減小，表明閉環(huán)非主導極點可以增大系統(tǒng)阻尼。3：調節(jié)時間ln[?FQ也丿nn|s|nm|s-z|F=—i=2_iQ=4=1__1—nn|s-s|nm|z|i=21ii=1i

由上式可以得出如下結論：第一，若閉環(huán)零點距虛軸較近，將使調節(jié)時間增大。因此，閉環(huán)零點對系統(tǒng)動態(tài)性能總的影響是減小峰值時間，增大系統(tǒng)的超調量和調節(jié)時間，這種作用將隨閉環(huán)零點接近虛軸而加劇。第二，若閉環(huán)非主導極點距虛軸較近，將使調節(jié)時間減小。因此，閉環(huán)非主導極點對系統(tǒng)動態(tài)性能總的影響是增大峰值時間，減小系統(tǒng)的超調量和調節(jié)時間。3-5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析一：穩(wěn)定的概念和定義穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能夠正常工作的首要條件。控制系統(tǒng)在實際工作過程中，總會受到各種各樣的擾動，如果系統(tǒng)受到擾動時，偏離了平衡狀態(tài)，而當擾動消失后，系統(tǒng)仍能逐漸恢復到原平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，如果系統(tǒng)不能恢復或越偏越遠，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定性是擾動消失后系統(tǒng)自身的一種恢復能力，是系統(tǒng)的一種固有特性。這種固有的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)的結構和參數，與系統(tǒng)的輸入以及初始狀態(tài)無關。臨界穩(wěn)定臨界穩(wěn)定分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，給出保證系統(tǒng)特別是高階系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，是控制系統(tǒng)設計的基本任務之一。線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義：若線性系統(tǒng)在初始擾動的影響下，其動態(tài)過程隨時間推移逐漸衰減并趨于零，則稱系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定；反之，若在初始擾動的影響下，其動態(tài)過程隨時間推移而發(fā)散，則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。二：線性系統(tǒng)穩(wěn)定的數學條件設線性系統(tǒng)在初始條件為零時，作用一個理想單位脈沖5(t),這時系統(tǒng)的輸出響應為脈沖響應c(t)。這相當于系統(tǒng)在擾動信號作用下，輸出信號偏離原平衡工作點的問題。若t~8時，c(t)~0,則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。kn(s-z)設線性定常系統(tǒng)的傳遞函數為：①(s)=Ui當輸n(s-s)n(s2+2?s2)j=11k=ikkk入為單位脈沖信號時，r(t)=6(t)R(s)=1c(t)=瓦Aesj+Ybe弋嚴Jcos@,.;1-g21)+Y_BE鐵e爲吹sin?1-g21)j=1jk=ikkkk=1①八1-gk2八kkk上式表明，若系統(tǒng)的特征根中有一個或一個以上正實部根，則tfg時，c(t)f-,系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；當且僅當系統(tǒng)特征根全部具有負實部，才有t-g時，c(t)

-0,系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若系統(tǒng)特征根中有一個或一個以上零實部根，而其余的特征根均具有負實部，則t-g時，c(t)趨于常數或趨于等幅正弦振蕩，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，屬不穩(wěn)定系統(tǒng)。由此可見，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負實部；或者說，閉環(huán)傳遞函數的極點均嚴格位于左半s平面。三：穩(wěn)定判據1：胡爾維茨判據設線性系統(tǒng)的特征方程為：(a>0)0D(s)=asn+asn_ihfas(a>0)001n-1n線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：由系統(tǒng)特征方程系數所構成的主行列式△及其各階順序主子式△(i=l,2…,n-1)全部為正。其中：niA=a11aA=a11aaaA=aaA=i35i3aaa2aa3024020aa13例3-5：設線性系統(tǒng)特征方程式為：aia3a5…0aaa…00240a1a3…00a0a2…000a1…000a…0An0D(s)二s4+2s3+3s3+4s+5二0試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：aaaaai35A二a二2A二13二6A=aaa=-12112aa3024020aa1324001350A=-604二02400135系統(tǒng)不穩(wěn)定。2：李納德-戚帕特判據設線性系統(tǒng)的特征方程為(a>0)0D(s)=asn+asn-iffas(a>0)001n-1n

線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：1）方程式所有系數為正；2）所有奇數階或偶數階胡爾維茨行列式為正，即：△>0或厶>0。奇偶根據李納德-戚帕特判據，若系統(tǒng)特征方程式的各項系數中有負或零（缺項），則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對于一階系統(tǒng)，特征方程式為Ts+l=0，只要系數為正（T>0）,系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對于二階系統(tǒng)，特征方程式為s2+莖①s+W2二0，只要系數為正聳>0,3>0）,nnn系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例3-6：設線性系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為：G(s)H(s)=K(s+1)

s(Ts+G(s)H(s)=試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定時K,T應滿足的條件。解：系統(tǒng)特征方程式為1+G(s)H(s)=0s(Ts+1)(2s+1)+K(s+1)二02Ts3+(2+T)s2+(1+K)s+K二0根據李納德-戚帕特判據，K>0,T>0且2+TKA>0>022T1+K(2+T)(1+K)-2TK>02(1+K)>T(K-1)系統(tǒng)穩(wěn)定時，要求：T系統(tǒng)穩(wěn)定時，要求：T>0,K>02(1+K)>T(K-1)3：勞斯穩(wěn)定判據設線性系統(tǒng)的特征方程為D（s）=asn+asn-ihfas+a=0（a>0）01n-1n0根據特征方程式的系數，可建立勞斯表如下：線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：勞斯表中第一列系數全部為正。勞斯判據指出，若勞斯表中第一列系數全部為正，則所有閉環(huán)極點均位于左半s平面；若勞斯表第一列系數有負數，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，說明有閉環(huán)極點位于右半s平面，位于右半s平面的閉環(huán)極點數正好等于勞斯表第一列系數符號改變的次數。例3-7：設線性系統(tǒng)特征方程式為：sna0ssna0sn-1a1aa-aasn-2b二1a

ba-1ab

sn-3C=-1^-^21b1a2a3aa-aab二^52aba-1abC=-^-52b1a4a5aa-aab二3a1a6a7s2

s2

s1s0p1

q1

r1p02D(s)二s4+2s3+3s3+4s+5二0試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：建立勞斯表：TOC\o"1-5"\h\zs4135s3240s215si-60s05勞斯表中第一列系數符號改變2次，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。4：勞斯判據中的特殊情況1)勞斯表第一列出現系數為零。例3-8：設線性系統(tǒng)特征方程式為：D(s)二s4+2s3+2s3+4s+5二0試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：建立勞斯表：s4125s3240s205若勞斯表某行第一列系數為零，則勞斯表無法計算下去，可以用無窮小的正數8代替0，接著進行計算，勞斯判據結論不變。TOC\o"1-5"\h\zs4125s3240s285蟲一10si8s05由于勞斯表中第一列系數有負，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。2)勞斯表中出現某行系數全為零例3-9：設線性系統(tǒng)特征方程式為：D(s)二s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16s+16二0試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：建立勞斯表：s6182016s5212160s421216s300勞斯表中出現某行系數全為零，這是因為在系統(tǒng)的特征方程中出現了對稱于原點的根(如大小相等，符號相反的實數根；一對共軛純虛根；對稱于原點的兩對共軛復數根)，對稱于原點的根可由全零行上面一行的系數構造一個輔助方程式F(s)=0求得，而全零行的系數則由全零行上面一行的系數構造一個輔助多項式F(s)對s求導后所得的多項式系數來代替，勞斯表可以繼續(xù)計算下去。需要指出的是，一旦勞斯表中出現某行系數全為零，則系統(tǒng)的特征方程中出現了對稱于原點的根，系統(tǒng)必是不穩(wěn)定的。勞斯表中第一列系數符號改變的次數等于系統(tǒng)特征方程式根中位于右半s平面的根的數目。對于本例：s6182016s5212160s421216-》2s4+12s2+16s38248s3+24ss261616s16s016結論：系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由輔助方程式可以求得系統(tǒng)對稱于原點的根:s4+6s2+8二0(s2+2)(s2+4)二0利用長除法，可以求出特征方程其余的根s=-1±j15,6根據勞斯判據的計算方法以及穩(wěn)定性結論，可知在勞斯表的計算過程中，允許某行各系數同時乘以一個正數，而不影響穩(wěn)定性結論。例3-10：設線性系統(tǒng)特征方程式為：D(s)二s6+s5一2s4一3s3一7s2一4s一4二0試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：建立勞斯表：s61-2-7-4s51-3-40s41-3-4ts4-3s2-4s34-64s3-6ss2-6-16s1-100s0-16系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。特征方程共有6個根：s二±2s=±js=_1+八31,23,45,625：穩(wěn)定判據的應用利用穩(wěn)定判據，可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。利用穩(wěn)定判據，可以判斷系統(tǒng)穩(wěn)定時，參數的取值范圍。例3-11：設單位負反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數為：G(s)二Ks(0.05s2+0.4s+1)試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時K的取值范圍。解：系統(tǒng)的特征方程式為：0.05s3+0.4s2+s+K二0建立勞斯表：TOC\o"1-5"\h\zs30.051s20.4Ksi0.4-0.05Ks0K系統(tǒng)穩(wěn)定時，要求0<K<8利用穩(wěn)定判據，也可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。系統(tǒng)穩(wěn)定時，要求所有閉環(huán)極點在s平面的左邊，閉環(huán)極點離虛軸越遠，系統(tǒng)穩(wěn)定性越好，閉環(huán)極點離開虛軸的距離，可以作為衡量系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。在系統(tǒng)的特征方程D(s)=0中，令s二s「a,得到D(s/=0,利用穩(wěn)定判據，若D(s/=0的所有解都在平面左邊，則原系統(tǒng)的特征根在s=-a左邊。1例3-12：設單位負反饋系統(tǒng),開環(huán)傳遞函數為：s(0.05s2+0.4s+1)若要求閉環(huán)極點在s=-1左邊，試確定K的取值范圍。解：系統(tǒng)的特征方程式為：0.05s3+0.4s2+s+K二0

令s=s-110.05(s-1)3+0.4(s-1)2+s-1+K=01110.05s3+0.25s2+0.35s+K-0.25=0111s30.050.351s20.25K-0.251s10.1-0.05K1K-0.25s0i0.1-0.05K0.25<K<23-6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算一：誤差與穩(wěn)態(tài)誤差眾所周知，誤差可以定義為：誤差=希望值-實際值，對于圖示一般線性控制系統(tǒng)，若按輸入端定義：e(t)=r(t)-b(t)，E(s)=R(s)-B(s)若按輸出端定義：E(s)=R(s)/H(s)-C(s)對于單位負反饋系統(tǒng)，兩種定義方法是一致的。在系統(tǒng)分析和設計中，一般采用按輸入端定義誤差。穩(wěn)態(tài)誤差是指誤差信號的穩(wěn)態(tài)值，即：e=lime(t)sstT8若系統(tǒng)的誤差傳遞函數為e(s),則E(s)=e(s)R(s),若E(s)滿足拉氏變換終值定理的條件(要求系統(tǒng)穩(wěn)定，且R(s)的所有極點在左半s開區(qū)間)，可以利用終值定理來求穩(wěn)態(tài)誤差，即e終值定理來求穩(wěn)態(tài)誤差，即ess=limsE(s)sT0例3-13:設單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為：G(s)=Ts求r(t)=l(t),r(t)二t,r(t)二t?/2以及r(t)=sin3t時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：誤差傳遞函數為：①(s解：誤差傳遞函數為：①(s)=1eTs1+G(s)Ts+1系統(tǒng)是穩(wěn)定的。r(t)=1(t)R(s)=sTsST0s^0ess=limsE(s)ST0s^0r(t)=tR(s)=—s2Tsess=limTsess=limsE(s)=lims-旳s^0s^0s2r(t)=112R(s)=—2s3Ts1e=limsE(s)=lims-?=gssstOstOTs+1s3若輸入信號為正弦信號，則不能應用拉氏變換終值定理r(r(t)=sinwtR(s)=s22、Ts3)—?—Ts+1s2+32T31T3s(T3)23?+?+?一(T3)2+1s+1/T(T3)2+1s2+32(T3)2+1s2+32e(t)--T3e-t/t+T3cos3t+(T3)2sin3t(Tto)2+1(Tto)2+1(Tto)2+1穩(wěn)態(tài)誤差為：e(t)—弓[cos3t+/，罟)2[sin3tss(Tto)2+1(Tto)2+1二：系統(tǒng)類型設控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為kH(ts+1)iG(s)H(s)—擊svH(Ts+1)jj—1其中K稱為系統(tǒng)的開環(huán)增益。u=0,系統(tǒng)稱為0型系統(tǒng)，u=1,系統(tǒng)稱為1型系統(tǒng)，u=2，系統(tǒng)稱為2型系統(tǒng)，…。三：單位階躍信號作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，可用終值定理來求：E(S)—1+G(s)H(s)R(S)e—limsE(s)—lims?R(s)SSstosto1+G(S)H(S)3—lim—lims?—limsto1+G(s)H(s)ssto1+G(s)H(s)定義系統(tǒng)靜態(tài)位置誤差系數K—limG(s)H(s)psto有K—Wo型系統(tǒng)pg1,2,…型系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：ess11+Kp11+K00型系統(tǒng)1,2,…型系統(tǒng)四：單位斜坡信號作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，可用終值定理來求：E(s)=11+G(s)HE(s)=11+G(s)H(s)R(s)ess二limsE(s)二lims-s^0s^011+G(s)H(s)R(s)二lims-stO111+G(s)H(s)s2二limstO1sG(s)H(s)定義系統(tǒng)靜態(tài)速度誤差系數K=limsG(s)H(s)st00有0有K=<Kg0型系統(tǒng)1型系統(tǒng)2,3…型系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：essg0型系統(tǒng)

丄系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：essK、02,3-??型系統(tǒng)五：單位加速度信號作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，可用終值定理來求：E(s)=11+G(s)HE(s)=11+G(s)H(s)R(s)ess二limsE(s)二lims-st0st011+G(s)H(s)R(s)二lims-st0111+G(s)H(s)s3二limst01s2G(s)H(s)定義系統(tǒng)靜態(tài)速度誤差系數Ka二lims2G(s)H(s)st000,1型系統(tǒng)有KJk2型系統(tǒng)vg3,4…型系統(tǒng)g0,1型系統(tǒng)TOC\o"1-5"\h\z11、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：e——<—2型系統(tǒng)ssKKa|o3,4…型系統(tǒng)當系統(tǒng)輸入信號為：心-R01(t)+R+2佇2時’系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為:RRRe—o—+1+2s1+KKKpva22六：動態(tài)誤差系數設①設①(s)=e11+G(s)H(s)二①(0)+0(0)s+-Q(0)s2+…

ee2!e1E(s)二①(s)R(s)二①(0)R(s)+(O)sR(s)+—Q(0)s2R(s)+—則eee2!e=cR(s)+csR(s)+cs2R(s)+—012該級數收斂于S—0的鄰域，相當于t—8時成立。或者說，在t—8時有：e(t)二cr(t)+cr(t)+cr(t)+—ss012上式即為穩(wěn)態(tài)誤差的計算公式，需要注意，上式中的輸入信號，是指t-g時的表達式，在輸入信號中，那些隨時間增長而趨于0的分量應予以舍去。定義c為動態(tài)位置誤差系數，c為動態(tài)速度誤差系數，c為動態(tài)加速度誤差系數,可以用下式計算：c=—①(i)(0)ii!實際計算時，常采用長除法計算，即令：b+bs+bs2++bsm①(s)二0—2m二c+cs+cs2+ea+as+as2++asn-1+sn012012n-1例3-14：設單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為：G(s)=求r(t)二t,s(0.1s+1)r(t)=t2，r(t)=Sin5t時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：誤差傳遞函數為：①(s)=1=s(0.1s+D=0+10-2s+9X10-4s2-1.9X10-5s3+…e1+G(s)0.1s2+s+100可求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：e(t)=10-2r(t)+9x10-4r(t)-1.9x10-5r(t)+—ssr(t)=t時，r(t)=1r(t)=0r(t)=0，e(t)=10-2ssr(t)=t2時，r(t)=2tr(t)=2r(t)=0,e(t)=2X10-21+1.8X10-3ssr(t)=sin5t時，r(t)=5cos5tr(t)=-25sin5tr'(t)=-125sin5t,e(t)二10-2x5cos5t-9x10-4x25sin5t+1.9x10-5x125sin5t+—ss二-0.055cos(5t-24.9。)E(s)一nE(s)二0-C(s)二一nG2(s)21+GE(s)一nE(s)二0-C(s)二一nG2(s)21+G(s)G(s)H(s)12N(s)若晞)滿足拉氏變換終值定理條件，可利用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差:esn=limsE(s)stO令①en(s)二需二Con+Cs+Cs2H1n2n則可用動態(tài)誤差系數法求擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差：e(t)二cn(t)+cn(t)+cn(t)h—sn0n1n2n例3-15：對于圖示系統(tǒng)，試求r(t)二t,n(t)=1(t)時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為KK1_2.s(Ts+1)為1型二階系統(tǒng)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的,在r(t)二t,穩(wěn)態(tài)誤差11e二二ssiKKKv12在擾動信號作用下的誤差表達式為E(s)二-n2s(Ts+1)-N(s)二1hK1s(Tsh1)K2—

s(T