河北省保定市七校2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期7月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁河北省保定市七校2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期7月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）請點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一、單選題1．若，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．3．若，則（

）A． B． C． D．4．“”是“直線：與直線：互相垂直”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．等差數(shù)列中，若，則等于（

）A． B．0 C． D．16．已知圓關(guān)于直線為大于0的常數(shù)對稱，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．27．已知是雙曲線C的兩個焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．8．已知等差數(shù)列的前n項和為，滿足，，若數(shù)列滿足，則m＝（

）A．9 B．10 C．19 D．20評卷人得分二、多選題9．已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期是 B．的圖象關(guān)于y軸對稱C．在上單調(diào)遞增 D．是的一條對稱軸10．已知向量，其中，下列說法正確的是（

）A．若，則；B．若與夾角為銳角，則；C．若，則在方向上投影向量為；D．若，則11．如圖，正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為的中點(diǎn)，則（

）A．直線與直線垂直 B．直線與平面平行C．直線與平面所成角的正弦值為 D．直線與直線所成角的余弦值為12．過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則（

）A．以線段為直徑的圓與直線相切B．以線段為直徑的圓與軸相切C．當(dāng)時，D．的最小值為第II卷（非選擇題）請點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明評卷人得分三、解答題13．從某學(xué)校的800名男生中隨機(jī)抽取50名測量身高，被測學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，第二組，，第八組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4人．(1)求第七組的頻率；(2)估計該校的800名男生的身高的平均數(shù)和中位數(shù)；(3)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生，記他們的身高分別為x，y，事件，求．14．如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，E為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，若平面ABE與棱PD的交點(diǎn)為F.(1)求證：F為側(cè)棱PD的中點(diǎn)；(2)若PA⊥平面ABCD，且CF與平面PAD所成角的正切值為，求二面角P—BE—A的大小.15．已知數(shù)列的前項和為，且．(1)求的通項公式；(2)若，求證：數(shù)列的前項和．16．已知函數(shù)為奇函數(shù)(1)求實數(shù)的值及函數(shù)的值域；(2)若不等式對任意都成立，求實數(shù)的取值范圍.17．橢圓C：的離心率為，其左，右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為B，且．(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)作關(guān)于x軸對稱的兩條不同的直線和，交橢圓于點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)，且，證明：直線MN過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．18．中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知.(1)求內(nèi)角B的大小；(2)已知的面積為，，請判定的形狀，并說明理由.評卷人得分四、填空題19．已知的頂點(diǎn)、，若頂點(diǎn)在拋物線上移動，則的重心的軌跡方程為_______20．已知等差數(shù)列公差，，則__________．21．過橢圓的左焦點(diǎn)作傾斜角60°的直線，直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則______．22．已知奇函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，數(shù)列是一個公差為的等差數(shù)列，滿足，則的值為_____．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．A【解析】【分析】先由已知求得復(fù)數(shù)z，即可確定復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)所在象限.【詳解】解：由可得，，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限故選：A.2．B【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線為，高為，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式及弧長公式得到方程組，求出、，再由勾股定理求出，最后根據(jù)圓錐的體積公式計算可得.【詳解】解：設(shè)圓錐的底面半徑為，母線為，高為，則，解得，，所以，所以該圓錐的體積．故選：B3．A【解析】【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式即可求解.【詳解】由得，因此，故選：A4．A【解析】【分析】根據(jù)給定直線方程求出的等價條件，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】依題意，，解得或，所以“”是“直線：與直線：互相垂直”的充分不必要條件.故選：A5．B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)計算可得；【詳解】解：因為，所以，所以，所以；故選：B6．A【解析】【分析】由題意，直線過圓心，進(jìn)而有，又，從而利用均值不等式即可求解的最大值.【詳解】解：因為圓的圓心為，且圓關(guān)于直線為大于0的常數(shù)對稱，所以直線過圓心，所以，又，所以即當(dāng)取最大值為，故選：A.7．B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】因為，由雙曲線的定義可得，所以，；因為,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：B8．B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列的前n項和結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)，求出異號的相鄰兩項即可作答.【詳解】等差數(shù)列的前n項和為，則，有，，有，顯然數(shù)列是遞減的，且，因，所以.故選：B9．ABD【解析】【分析】對于A，利用周期公式直接計算，對于B，先求出的解析式，再判斷其奇偶性即可，對于C，由求出函數(shù)的增區(qū)間再判斷，對于D，將代入函數(shù)中驗證即可【詳解】由最小正周期得，，可知，A正確；所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于y軸對稱，所以B正確；由得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時，增區(qū)間為，當(dāng)時，增區(qū)間為，所以不是函數(shù)的增區(qū)間，所以C錯誤；因為，所以是的一條對稱軸，所以D正確故選：ABD10．ACD【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示直接求解可判斷A；注意向量同向不滿足題意可判斷B；根據(jù)投影向量的定義直接求解，可判斷C；根據(jù)性質(zhì)可知與同向，然后可判斷D.【詳解】若，則，解得，A正確；若與夾角為銳角，則，解得，又當(dāng)，，此時，與夾角為0，故B錯誤；若，則，因為在方向上投影為，與同向的單位向量為，所以在方向上投影向量為，C正確；若，則與同向，由上可知，此時，D正確.故選：ACD11．BD【解析】【分析】對A，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可以判斷；對B，取的中點(diǎn)M，通過證明平面和平面可得平面平面，即可證明；對C，可得為直線與平面所成角；對D，可得即為異面直線所與所成角.【詳解】對A，由正方體得：平面，所以，若，則平面，則有，又，所以不成立，所以A不正確.對B，取的中點(diǎn)M，連接，，易得，因為平面，平面，所以平面，因為為中點(diǎn)，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，因為，所以平面平面，因為平面，所以平面，故B正確；對C，由正方體得：平面，連接DF，由平面得：為直線與平面所成角，由已知得：，，，所以中，，所以C不正確.對D，由B選項得，所以即為異面直線所與所成角，在中，，，由余弦定理得：，即直線與直線所成角的余弦值為，所以D正確.故選：BD.12．ACD【解析】【分析】A選項由判斷即可；B選項判斷和之間的關(guān)系，C選項，先聯(lián)立得到，再結(jié)合條件解出，即可解出；D選項借助基本不等式進(jìn)行判斷.【詳解】準(zhǔn)線方程，，設(shè)在準(zhǔn)線上的射影為，，可得以線段為直徑的圓與直線相切，故A正確；設(shè)，則，，設(shè)中點(diǎn)為,在軸上的射影為，則，令，即，解得，故只有時，以線段為直徑的圓與軸相切，B錯誤；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程可得，，，由得，解得，，故C正確；由得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故D正確.故選：ACD.13．(1)；(2)平均數(shù)為，中位數(shù)為；(3)．【解析】【分析】(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)求第七組的頻率；(2)根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義利用頻率分布直方圖求平均數(shù)和中位數(shù)；(3)確定樣本空間，利用古典概型概率公式求概率.【詳解】解：(1)第六組的頻率為，∴第七組的頻率為．(2)由直方圖得，身高在第一組的頻率為，身高在第二組的頻率為，身高在第三組的頻率為，身高在第四組的頻率為，由于，，設(shè)這所學(xué)校的800名男生的身高中位數(shù)為m，則，由得，所以這所學(xué)校的800名男生的身高的中位數(shù)為174.5cm，平均數(shù)為．(3)第六組的抽取人數(shù)為4，設(shè)所抽取的人為a，b，c，d，第八組的抽取人數(shù)為，設(shè)所抽取的人為A，B，則從中隨機(jī)抽取兩名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15種情況，因事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)隨機(jī)抽取的兩名男生在同一組，所以事件E包含的基本事件為ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7種情況．所以．14．(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得線線平行，進(jìn)而根據(jù)三角形中位線即可證明中點(diǎn)；（2）根據(jù)PA⊥平面ABCD，且CF與平面PAD所成角的正切值為，可得線段的長度，進(jìn)而可得線線垂直，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，利用法向量的夾角求二面角.（1）由題設(shè)知：，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，又為棱的中點(diǎn)，即是的中位線，故為的中點(diǎn)；（2）因為PA⊥平面ABCD，所以,又因為,,所以平面,因此為CF與平面PAD所成的角，故,由,進(jìn)而可得，由于兩兩垂直，故以為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；;;設(shè)平面的法向量為，所以：，取，則，設(shè)平面的法向量為，所以：，取，則，，由幾何體的特征可知：二面角P—BE—A為銳角，設(shè)為，則，故

15．(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）先求解的值，當(dāng)時，利用求解數(shù)列的通向公式即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果求解數(shù)列，利用裂項相消法求前項和即可.（1）解：當(dāng)時，．當(dāng)時，，則，當(dāng)時，滿足上式，則．（2）解：由（1）可得，則．∵∴所以.16．(1)，值域為(2)【解析】【分析】（1）先利用奇函數(shù)求出，分離常數(shù)項，可得函數(shù)的值域；（2）分離參數(shù)，利用換元法，結(jié)合基本不等式可得結(jié)果.（1）函數(shù)為奇函數(shù)，定義域為，則，所以，經(jīng)檢驗知符合題意；因為，則所以函數(shù)的值域為.（2）由題知：當(dāng)恒成立；則；令，所以；又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，而，所以，則.17．(1)(2)證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率可得到，根據(jù)可得，結(jié)合a，b,c的關(guān)系解得答案;（2）設(shè)直線方程并聯(lián)立橢圓方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，由直線和關(guān)于x軸對稱，可得和斜率之和為0，得到，化簡得到，即可證明結(jié)論.（1）由題意得，，即，得，又，且，故，即，結(jié)合解得，故橢圓C的方程為；（2）證明：由題意可知，直線MN斜率存在且不為0，故設(shè)直線MN方程為，，，聯(lián)立可得：，即有，需滿足，則，因為直線和關(guān)于x軸對稱，故和斜率之和為0，即，即，即，即，即有，則，所以直線MN方程為，故直線MN過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程的求解以及直線和橢圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，涉及到直線過定點(diǎn)問題，綜合性較強(qiáng)，計算量大，解答的關(guān)鍵是設(shè)直線方程并聯(lián)立橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合和斜率之和為0進(jìn)行化簡.18．(1)(2)為直角三角形，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角轉(zhuǎn)化既可求解;（2）根據(jù)三角形面積公式以及余弦定理求出三邊長度，即可根據(jù)勾股定理證明為直角三角形.（1）因為，由正弦定理可得，又由，可得，因為，可得，所以，即，又因為，可得.（2）因為的面積為，所以，所以，因為，所以，所以，所以，故為直角三角形.19．【解析】【分析】設(shè)的重心為，設(shè)點(diǎn)，可得出，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程，化簡可得出的重心的軌跡方程，再利用、、三點(diǎn)不共線，可得出，綜合可得出答案.【詳解】設(shè)的重心為，設(shè)點(diǎn)，則，可得，因為點(diǎn)在拋物線上，則，即，可得.因為點(diǎn)不能在軸上，則，因此，的重心的軌跡方程為.故答案為：.20