（大學(xué)課件）隨機(jī)變量的數(shù)字特征：隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

通常是指與隨機(jī)變量有關(guān)的，雖然不能完整地刻劃隨機(jī)變量，但卻能較為集中地反映隨機(jī)變量某些方面的重要特征的一些數(shù)值。3.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；3.2隨機(jī)變量的方差

；3.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

;本章內(nèi)容：3.4矩與協(xié)方差矩陣

.數(shù)字特征§4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望引例有甲、乙兩射手，他們的射擊技術(shù)用下表給出問題：已知隨機(jī)變量的概率分布,如何計(jì)算其平均值？

解“射擊水平”一般用平均擊中環(huán)數(shù)來反映。所以，只要對(duì)他們的平均擊中環(huán)數(shù)進(jìn)行比較即可。

分析：若甲射擊N次,設(shè)擊中8環(huán),9環(huán)和10環(huán)的次數(shù)分別為次，則甲在N次射擊中，平均每次擊中的環(huán)數(shù)為由于概率是頻率的穩(wěn)定中心，以表示甲的平均擊中環(huán)數(shù),則故認(rèn)為甲射手的水平較高由于可以看出：平均值是以分布概率為權(quán)重的加權(quán)平均。

定義

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為P{X=xk

}=pk，k=1,2,3…若級(jí)數(shù)，則稱級(jí)數(shù)和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望（或均值），記作E（X）隨機(jī)變量X

的數(shù)學(xué)期望完全是由它的概率分布確定的，而不應(yīng)受X的可能取值的排列次序的影響，因此要求否則，稱隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望不存在．解易知

X－13P0.40.6

例1

設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為求

若將此例視為甲、乙兩隊(duì)“比賽”，甲隊(duì)贏的概率為0.6，輸?shù)母怕蕿?.4，并且甲隊(duì)每贏一次得3分，每輸一次扣1分，則E(X)=1.4是指甲隊(duì)平均每次可得分．

例2

按規(guī)定，某公交車每天8點(diǎn)至9點(diǎn)和9點(diǎn)至10點(diǎn)都恰有一輛到站，各車到站的時(shí)刻是隨機(jī)的，且各車到站的時(shí)間是相互獨(dú)立的，其規(guī)律為到站時(shí)刻8:10/9:108:30/9:308:50/9:50

概率0.20.40.4某乘客8:20到站，求他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望．

解

設(shè)乘客的候車時(shí)間為X,若該乘客8:20到車站,而8點(diǎn)到9點(diǎn)的一趟車已于8:10開走,第二趟車9:10開,則他候車的時(shí)間為50min，

該乘客其余候車時(shí)間對(duì)應(yīng)的概率可類似得到，于是候車時(shí)間X的分布列為10305070900.40.40.040.080.08對(duì)應(yīng)的概率為事件“第一趟車8:10開走，且第二趟9:10開”發(fā)生的概率,即解候車時(shí)間X的分布列為10305070900.40.40.040.080.08從而該乘客候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望為

例2

按規(guī)定，某公交車每天8點(diǎn)至9點(diǎn)和9點(diǎn)至10點(diǎn)都恰有一輛到站，各車到站的時(shí)刻是隨機(jī)的，且各車到站的時(shí)間是相互獨(dú)立的，其規(guī)律為到站時(shí)刻8:10/9:108:30/9:308:50/9:50

概率0.20.40.4某乘客8:20到站，求他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望．

求隨機(jī)變量X和Y的數(shù)學(xué)期望．于是有

解由(X,Y)的聯(lián)合分布律可得關(guān)于X、Y的邊緣分布分別為

例3

設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布表為12311/41/81/421/81/81/8

125/83/8

1233/81/43/8

定理1

設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布為則

證明關(guān)于X的邊緣分布為于是有

同理可得

定義

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)，若積分

說明：如果積分收斂，則稱隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望不存在。收斂，則稱積分值為X的數(shù)學(xué)期望（或均值）。記作E(X)，即2.連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望試證X的數(shù)學(xué)期望不存在．證因?yàn)?/p>

例4

設(shè)隨機(jī)變量X服從柯西分布,其密度函數(shù)為即不收斂，所以X的數(shù)學(xué)期望不存在．

求X的數(shù)學(xué)期望.

例5

設(shè)在某一規(guī)定的時(shí)間內(nèi)，一電氣設(shè)備用于最大負(fù)荷的時(shí)間X（單位：min）是一個(gè)隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)為解由已知可得

例6

設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為解

關(guān)于X、Y的邊緣概率密度函數(shù)分別為求E（X），E（Y）．于是有

定理2

設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度函數(shù)為f(x,y),則有

于是有

證關(guān)于X、Y的邊緣概率密度函數(shù)分別為3.

隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望如果級(jí)數(shù)

收斂，則有

定理3

設(shè)X是隨機(jī)變量，Y=g(X)是X的連續(xù)函數(shù)，則有(1)若為離散型變量，其概率函數(shù)為

(2)如果X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x),如果積分收斂則有(3)

如果(X,Y)為離散型隨機(jī)向量，其聯(lián)合概率分布為

P{X=xiY=yj}=piji,j=1,2,3,…,如果

則Z=g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望為(4)設(shè)二維隨機(jī)向量（X，Y）為連續(xù)型隨機(jī)變量，它的聯(lián)合概率密度為f(x,y),若收斂,則Z=g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望為：解因?yàn)榉植悸蔀?/p>

所以

其中

求例7

設(shè)隨機(jī)變量，解

例8

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為

求

解

例9

設(shè)二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)為

求

例9

設(shè)二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求

解

例10

設(shè)國(guó)際市場(chǎng)上每年對(duì)我國(guó)某種出口農(nóng)產(chǎn)品的需求量X(單位：t)是隨機(jī)變量，它服從[1200，3000]上的均勻分布．若售出這種農(nóng)產(chǎn)品1t，可賺2萬元，但若銷售不出去，則每噸需付倉庫保管費(fèi)1萬元，問每年應(yīng)準(zhǔn)備多少噸產(chǎn)品才可得到最大利潤(rùn)?解設(shè)每年準(zhǔn)備該種商品yt

得到平均利潤(rùn)為則利潤(rùn)為解利潤(rùn)為得到平均利潤(rùn)為當(dāng)y=2400時(shí)，取到最大值，故每年準(zhǔn)備此種商品2400t，可使平均利潤(rùn)達(dá)到最大．

例10

設(shè)國(guó)際市場(chǎng)上每年對(duì)我國(guó)某種出口農(nóng)產(chǎn)品的需求量X(單位：t)是隨機(jī)變量，它服從[1200，3000]上的均勻分布．若售出這種農(nóng)產(chǎn)品1t，可賺2萬元，但若銷售不出去，則每噸需付倉庫保管費(fèi)1萬元，問每年應(yīng)準(zhǔn)備多少噸產(chǎn)品才可得到最大利潤(rùn)?證可將C看成離散型隨機(jī)變量，分布律為P{X=C}=1，故由定義即得E(C)=C.2.設(shè)C為常數(shù)，X為隨機(jī)變量，則有E(CX)=CE(X)．證設(shè)X的密度函數(shù)為，則有

3.設(shè)為任意兩個(gè)隨機(jī)變量，都有

1.

設(shè)C為常數(shù)，則有E(C)=C．4.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

3.設(shè)X,Y

為任意兩個(gè)隨機(jī)變量，都有

證設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為邊緣密度函數(shù)分別為和

則推廣到任意有限多個(gè)隨機(jī)變量之和的情形，有4.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)4.設(shè)X,Y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有

證

因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立，故其聯(lián)合密度函數(shù)與邊緣密度函數(shù)滿足推廣到任意有限多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之積的情形，有

所以解設(shè)隨機(jī)變量

例11

一民航機(jī)場(chǎng)的送客班車載有20位旅客，自機(jī)場(chǎng)開出，沿途旅客有10個(gè)車站可以下車．如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車班車就不停．設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的，且各旅客是否下車相互獨(dú)立，以X表示停車的次數(shù)，求

E(X)i=1,2,…,10由題意，任一旅客在第i個(gè)車站不下車的概率為表示第i站沒有旅客下車，故20位旅客都不在第i站下車的概率為，在第i站有人下車的概率為，于是得的分布律如下：Xi01P0.9201-0.920

例11

一民航機(jī)場(chǎng)的送客班車載有20位旅客，自機(jī)場(chǎng)開出，沿途旅客有10個(gè)車站可以下車．如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車班車就不停．設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的，且各旅客是否下車相互獨(dú)立，以X表示停車的次數(shù)，求E(X)解隨機(jī)變量Xi01P0.9201-0.920=1－0.920

這表明班車平均停車約9次．

解

例12

設(shè)二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)為

試驗(yàn)證