北師大版數(shù)學九年級上冊 1.1 菱形的性質

1.1

菱形的性質與判定第1課時

菱形的性質第一章特殊的平行四邊形情景引入欣賞下面圖片，圖片中框出的圖形是你熟悉的嗎？欣賞視頻：前面的圖片中出現(xiàn)的圖形是平行四邊形，和視頻中的菱形一樣，那么什么是菱形呢？它有什么特點？這節(jié)課讓我們一起來學習吧！點擊視頻開始播放↓菱形的性質思考如果從邊的角度，將平行四邊形特殊化，內(nèi)角大小保持不變，僅改變邊的長度，讓它有一組鄰邊相等，這個特殊的平行四邊形叫什么呢?

平行四邊形菱形鄰邊相等定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形.菱形是特殊的平行四邊形.平行四邊形不一定是菱形.歸納總結

活動1如何利用折紙、剪裁的方法，既快又準確地剪出一個菱形的紙片？點擊視頻

開始播放問題2根據(jù)上面的折疊過程，猜想菱形的四邊在數(shù)量

上有什么關系？菱形的兩條對角線有什么關系？

活動2在自己剪出的菱形上畫出兩條折痕，折疊手中

的圖形(如圖)，并回答以下問題：問題1菱形是軸對稱圖形嗎?如果是，

指出它的對稱軸.

是，兩條對角線所在的直線都是它的對稱軸猜想1菱形的四條邊都相等.

猜想2菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.

求證：(1)AB=BC=CD=AD；

(2)AC⊥BD，∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.

證明：(1)∵

四邊形

ABCD

是平行四邊形，∴

AB=CD，AD

=BC

(平行四邊形的對邊相等).又∵

AB

=

AD，

∴

AB

=

BC

=

CD

=

AD.ABCOD證一證已知：如圖，在平行四邊形

ABCD中，AB=

AD，對角線

AC與

BD相交于點

O.

(2)∵

AB=AD，

∴△ABD是等腰三角形.

又∵四邊形

ABCD是平行四邊形，

∴

OB=OD（平行四邊形的對角線互相平分）.

在等腰三角形

ABD中，OB=OD，

∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，即

AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.

同理可證∠DCA=∠BCA，

∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.ABCOD

菱形是特殊的平行四邊形，它除了具有平行四邊形的所有性質外，還有平行四邊形所沒有的特殊性質.對稱性：是軸對稱圖形.邊：四條邊都相等.對角線：互相垂直，且每條對角線平分一組對角.

角：對角相等.邊：對邊平行且相等.對角線：相互平分.平行四邊形的性質菱形的特殊性質歸納總結菱形菱形的性質有關計算邊周長=邊長的四倍角對角線1.兩組對邊分別平行且相等；2.四條邊相等兩組對角分別相等，鄰角互補1.兩條對角線互相垂直平分；2.每一條對角線平分一組對角1.1

菱形的性質與判定第2課時

菱形的判定第一章特殊的平行四邊形一組鄰邊相等有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.平行四邊形菱形的性質菱形兩組對邊平行四條邊相等兩組對角分別相等鄰角互補兩條對角線互相垂直平分每一條對角線平分一組對角邊角對角線復習引入問題

菱形的定義是什么？性質有哪些？根據(jù)菱形的定義，可得菱形的第一個判定的方法：且AB=AD，∵四邊形

ABCD是平行四邊形，∴四邊形

ABCD是菱形.數(shù)學語言有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.ABCD思考

還有其他的判定方法嗎？猜想：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.你能證明這一猜想嗎？對角線互相垂直的平行四邊形是菱形我們用一長一短兩根細木條，在它們的中點處固定一個小釘，做成一個可以轉動的十字，四周圍上一根橡皮筋，可得到一個平行四邊形.那么轉動木條，這個平行四邊形什么時候變成菱形?對此你有什么猜想？有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.四邊相等的四邊形是菱形.運用定理進行計算和證明菱形的判定定義法判定定理1.1

菱形的性質與判定第3課時

菱形的性質、判定與其他知識的綜合第一章特殊的平行四邊形1．平行四邊形的對邊

，

對角

，對角線

．2．菱形具有

的一切性質．3．菱形是

圖形也是

圖形．4．菱形的四條邊都

．5．菱形的兩條對角線互相

．平行且相等相等互相平分平行四邊形軸對稱中心對稱相等垂直且平分復習引入菱形的面積問題1

菱形是特殊的平行四邊形，那么能否利用平行四邊形的面積公式計算菱形

ABCD的面積呢?ABCD思考

前面我們已經(jīng)學習了菱形的對角線互相垂直，那么能否利用對角線來計算菱形

ABCD的面積呢?能.過點

A作

AE⊥BC于點

E，則

S菱形ABCD=底×高=BC·AE.E問題2

如圖，四邊形

ABCD是菱形，對角線

AC，BD交于點

O，試用對角線表示出菱形

ABCD的面積.ABCDO解：∵四邊形

ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴S菱形ABCD=S△ABC

+S△ADC=AC·BO+AC·DO=AC·(BO+DO)=AC·BD.你有什么發(fā)現(xiàn)？菱形的面積=

底×高=

對角線乘積的一半例1如圖，四邊形

ABCD是邊長為13cm的菱形，其

中對角線

BD長10cm.求：(1)對角線

AC的長度；(2)菱形

ABCD的面積.解：(1)∵四邊形

ABCD是菱形，∴∠AED=90°，(2)S菱形ABCD∴AC=2AE=2×12=24(cm).DBCAE

菱形的面積計算有如下方法：(1)

一邊長與兩對邊的距離

(即菱形的高)

的積；(2)

四個小直角三角形的面積之和

(或一個小直角三角形面積的

4

倍)；(3)

兩條對角線長度乘積的一半．歸納例2如圖，菱形花壇

ABCD的邊長為20m，∠ABC＝60°，沿著菱形的對角線修建了兩條小路

AC和

BD，求兩條小路的長和花壇的面積（結果分別精確到0.01m和0.1m2）.A

B

C

D

O

解：∵花壇

ABCD是菱形，【變式題】如圖，在菱形

ABCD

中，∠ABC

與∠BAD

的度數(shù)比為

1∶2，周長是

8

cm．求：（1）兩條對角線的長度；（2）菱形的面積．解：（1）∵

四邊形

ABCD

是菱形，∴

AB

=

BC，AC⊥BD，AD∥BC.∴∠ABC

+∠BAD

=

180°.∵∠ABC

與∠BAD

的度數(shù)比為

1∶2，∴∠ABC

=×180°

=60°.∴

△ABC是等邊三角形，∠ABO

=∠ABC

=30°.∵

菱形

ABCD

的周長是

8

cm，∴

AB

=

2

cm.∴

OA

=AB

=

1

cm，AC

=

AB

=

2

cm.

∴

BD

=

2OB

=

cm.=×2×=（cm2）．

菱形中的相關計算通常轉化為直角三角形或等腰三角形求解，當菱形中有一個角是60°

或120°

時，菱形可被較短的對角線分為兩個等邊三角形.歸納（2）S菱形ABCD

=AC?BD練一練如圖，已知菱形的兩條對角線分別為

6

cm

和

8

cm，則這個菱形的高

DE

為（）A.2.4

cmB.4.8

cmC.5

cmD.9.6

cmB

如圖的兩張不等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分是什么圖形？做一做平行四邊形菱形的判定與性質的綜合問題如圖的兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分

ABCD是什么圖形？為什么？菱形ACDB分析：易知四邊形

ABCD是平行四邊形，只需證一組鄰邊相等或對角線互相垂直即可.由題意可知

BC邊上的高和

CD邊上的高相等，然后通過證△ABE≌△ADF，即可得

AB=AD.EF例3如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，BE＝2DE，延長DE到點F，使得EF＝BE，連接CF.(1)求證：四邊形BCFE是菱形；證明：∵

D、E

分別是

AB、AC

的中點，∴

DE∥BC，且

BC＝2DE.又∵

BE＝2DE，EF＝BE，∴

EF＝BC，EF∥BC.∴

四邊形

BCFE

是平行四邊形.又∵

EF＝BE，∴

四邊形

BCFE

是菱形.解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°.∴

△EBC是等邊三角形.∴

菱形的邊長為

4，高為.∴

菱形的面積為.(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面積．

判定一個四邊形是菱形時，要結合條件靈活選擇方法．如果可以證明四條邊相等，可直接證出是菱形；如果只知道一組鄰邊相等或對角線互相垂直，可以先嘗試證明這個四邊形是平行四邊形．歸納練一練如圖，在

□ABCD

中，AC

平分∠DAB，AB

=

2，求

□ABCD

的周長.解：在

□ABCD

中，AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAC=∠ACB，∠BAC=∠ACD.∵

AC

平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC.∴∠DAC=∠ACD.∴

AD

=

CD.∴

四邊形

ABCD

為菱形.∴

菱形

ABCD

的周長為4AB=4×2

=

8.1.已知菱形的周長是24cm，那么它的邊長是______.2.如圖，菱形

ABCD中∠BAD＝120°，則∠BAC＝_____°.6cm603.如圖，菱形的兩條對角線長分別為10cm和24cm，則菱形的邊長是（

）CA.10cmB.24cmC.13cmD.17cmABCDO4.如圖，在菱形

ABCD中，點

O為對角線

AC與

BD的交點，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形

ABCD兩對邊的距離

h.解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，∴S△AOB＝OA·OB＝×5×12＝30.∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.而菱形兩對邊的距離相等，∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h.∴13h＝120，解得

h＝.ABCDO5.如圖，在菱形

ABCD中，對角線

AC與

BD相交于點

O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的邊長

AB和對角線

AC的長.解：∵

四邊形

ABCD

是菱形，

∴

AC⊥BD，OB

=

OD

=BD=×6

=

3.在等腰△ABD中，∵∠BAD

=

60°，∴△ABD

是等邊三角形.∴

AB=BD=6.ABCOD在

Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2，∴

OA=