2021年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)小突破訓(xùn)練：三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用（附答案）

2021年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)小專(zhuān)題突破訓(xùn)練：三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用（附答案）

1.如圖，△A8C中，BO,CO分別是/ABC,NACB的平分線(xiàn)，N4=50°,則NBOC等

于（）

A.110°B.115°C.120°D.130°

2.如圖，在aABC中，NB、NC的平分線(xiàn)BE,CD相交于點(diǎn)尸，N4BC=42°,乙4=60°,

貝|JNBFC=()

A.118°B.119°C.120°D.121°

3.如圖，/XABC中，AO是BC邊上的高，AE、BF分別是NBAC、NA8C的平分線(xiàn)，ABAC

=50°,ZABC=60°,則NE4O+N4CZ)=()

A.75°B.80°C.85°D.90°

4.如圖，把AABC紙片沿OE折疊，當(dāng)點(diǎn)4落在四邊形8CDE內(nèi)部時(shí)，則NA與N1+N2

之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變.請(qǐng)?jiān)囍乙徽疫@個(gè)規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（）

B

A'

2ZZ>^

A.ZA=Z1+Z2B.2ZA=Z1+Z2

C.3/A=2/l+N2D.3/A=2(Z1+Z2)

5.如圖，NMON=90°,點(diǎn)A,B分別在射線(xiàn)OM,ON上運(yùn)動(dòng)，BE平分/NBA,BE的反

向延長(zhǎng)線(xiàn)與NBA。的平分線(xiàn)交于點(diǎn)C,則/C的度數(shù)是（)

A.30°B.45°C.55°D.60°

6.如果三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比是2：3：4,則它是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形

C.直角三角形D.鈍角或直角三角形

7.如圖，三角形紙片ABC中，NA=65°NB=75°,將NC沿OE對(duì)折，使點(diǎn)C落在△

ABC外的點(diǎn)C'處，若Nl=20°,則N2的度數(shù)為（）

A.80°B.90°C.100°D.110°

8.如圖，OB、OC是N4BC、/ACB的角平分線(xiàn)，ZBOC=120°,則N4=（)

o

A.60°B.120°C.110°D.40°

9.適合條件的△ABC是（）

23

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形

10.如圖，在△ABC中，8平分/ACB交AB于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)。作OE〃BC交4c于點(diǎn)E.若

乙4=54°,ZB=48°,則/CDE的大小為（）

A.44°B.40°C.39°D.38°

11.如圖，80是△ABC的角平分線(xiàn)，AELBD,垂足為足若/A8C=35°,ZC=50°,

則N8E的度數(shù)為（）

A.35°B.40°C.45°D.50°

12.如圖，在△ABC中，/B=40°,三角形的外角ND4c和/ACF的平分線(xiàn)交于點(diǎn)E,則

NAEC=

13.如圖，在△ABC中，ZA=40°,。點(diǎn)是乙48c和/ACB角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，則/BOC

14.如果將一副三角板按如圖方式疊放，那么/1=

15.如圖，/XABC中，ZA=40°,ZB=72°,CE平分/ACB,CQ_LAB于。，DFVCE,

則度.

AEDB

16.如圖，在△ABC中，ZABC.NACB的平分線(xiàn)BE、CD相交于點(diǎn)尸，ZABC=42°,Z

A=60°,則/BFC=.

R

17.將正三角形、正四邊形、正五邊形按如圖所示的位置擺放.如果N3=32°,那么N1+

N2=度.

18.在△ABC中，ZA=50°，NB=30°，點(diǎn)。在AB邊上，連接CO,若△ACO為直角

三角形，則NBCO的度數(shù)為度.

19.如圖，在AABC中，8￡＞、BE分別是△48C的高線(xiàn)和角平分線(xiàn)，點(diǎn)尸在C4的延長(zhǎng)線(xiàn)上，

FHLBE交BD于點(diǎn)、G,交BC于點(diǎn)H.下列結(jié)論：①NDBE=NF；②(Z

BAF+NC)；?ZFGD=ZABE+ZC；(4)ZF=A(ABAC-NC)；其中正確的是

20.如圖，將△48C沿著。E對(duì)折，點(diǎn)4落到4'處，若/8D4'+ZCEA'=70°,則NA

21.如圖，△A8E和△AOC是△ABC分別沿著A&AC邊翻折180°形成的，若Nl：Z2：

N3=28：5：3,則Na的度數(shù)為度.

/必

RW

22.如圖，ZABC=ZACB,AD,BD、CQ分別平分aABC的外角NE4C、內(nèi)角NA8C、外

角/ACF.以下結(jié)論:

(i)AD//BC；(2)ZACB=2ZADB；③NADC=90°-NABD；④8。平分NAOC；⑤N

BDC=L/BAC.

2

其中正確的結(jié)論有.（填序號(hào)）

23.如圖，把△ABC的一角折疊，若Nl+N2=130°,則乙4的度數(shù)為.

24.在直角△ABC中，ZC=90°,沿圖中虛線(xiàn)剪去/C,則Nl+/2=

25.如圖，/\ABC中，NABC與NACB的平分線(xiàn)相交于。，若乙4=50°,則ZBDC=度.

D

26.一副透明的三角板，如圖疊放，直角三角板的斜邊A3、CE相交于點(diǎn)D,則NBOC

aE

27.在△ABC中，ZA：NB：NC=2：3：4,則.

28.如圖，在△4BC中，ZC=90°,乙4=34°,D,E分別為AB,AC上一點(diǎn)，將△BCO,

△ACE沿CO,OE翻折，點(diǎn)A,B恰好重合于點(diǎn)P處，貝iJ/ACP=.

29.在△ABC中，ZA=AZB=AZC,則NB=度.

23

30.已知如圖①，BP、CP分別是aABC的外角NC8D、/BCE的角平分線(xiàn)，BQ、C。分

別是/P8C、NPCB的角平分線(xiàn)，BM、CN分別是NPBD、NPCE的角平分線(xiàn)，ZBAC

(1)當(dāng)a=40°時(shí)，NBPC=°,NBQC=°；

(2)當(dāng)€(=°時(shí)，BM//CN；

(3)如圖②，當(dāng)a=120°時(shí)，BM、CN所在直線(xiàn)交于點(diǎn)O,求/BOC的度數(shù);

(4)在a>60°的條件下，直接寫(xiě)出NBPC、NBQC、NBOC三角之間的數(shù)量關(guān)系:

O

'a

P圖②

圖①

31.圖1,線(xiàn)段AB、CO相交于點(diǎn)0,連接A。、CB,我們把形如圖1的圖形稱(chēng)之為“8字

形如圖2,在圖1的條件下，ND4B和NBCO的平分線(xiàn)AP和CP相交于點(diǎn)P,并且

與C￡＞、AB分別相交于M、N.試解答下列問(wèn)題：

(1)在圖1中，請(qǐng)直接寫(xiě)出/A、NB、NC、之間的數(shù)量關(guān)系：；

(2)仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)：個(gè)；

(3)圖2中，當(dāng)NQ=50度，N8=40度時(shí)，求/尸的度數(shù).

(4)圖2中和NB為任意角時(shí)，其他條件不變，試問(wèn)NP與/￡＞、NB之間存在著

怎樣的數(shù)量關(guān)系.(直接寫(xiě)出結(jié)果，不必證明).

32.直線(xiàn)與直線(xiàn)尸。垂直相交于。，點(diǎn)4在射線(xiàn)O尸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)8在射線(xiàn)OM上運(yùn)動(dòng).

(1)如圖1,已知AE、BE分別是NBAO和/AB。角的平分線(xiàn)，點(diǎn)A、8在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程

中，ZAEB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，試求出

其值；

(2)如圖2,延長(zhǎng)84至G,已知NBA。、NOAG的角平分線(xiàn)與/BO。的角平分線(xiàn)及其

延長(zhǎng)線(xiàn)相交于E、F,則NEAF=°；在aAEF中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3

倍，試求/A8。的度數(shù).

圖2

33.直線(xiàn)MN與直線(xiàn)P。垂直相交于0,點(diǎn)4在直線(xiàn)PQ上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)8在直線(xiàn)MN上運(yùn)動(dòng).

(1)如圖1,已知AE、BE分別是/84。和NAB0角的平分線(xiàn)，點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程

中，ZAEB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明變化的情況；若不發(fā)生變化，

試求出/AE3的大小.

(2)如圖2,已知AB不平行C￡>,AD,BC分別是N8AP和NABM的角平分線(xiàn)，又DE、

CE分別是NADC和NBCQ的角平分線(xiàn)，點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，NCE。的大小是否

會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由：若不發(fā)生變化，試求出其值.

(3)如圖3,延長(zhǎng)BA至G,已知NBA。、N0AG的角平分線(xiàn)與NB。。的角平分線(xiàn)及延

長(zhǎng)線(xiàn)相交于E、F,在aAE尸中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，直接寫(xiě)出N48。的度

數(shù)=.

34.探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品--圓規(guī).我們不妨把這樣圖

形叫做“規(guī)形圖”，

（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究/BOC與NA、NB、NC之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問(wèn)題：

①如圖2,把一塊三角尺XYZ放置在上，使三角尺的兩條直角邊XKXZ恰好經(jīng)

過(guò)點(diǎn)8、C,ZA=40°,則NA8X+NACX=°；

②如圖3,0c平分NAOB,EC平分NAEB,若/。AE=40°,NOBE=130°,求NOCE

的度數(shù)；

③如圖4,ZABD,NACQ的10等分線(xiàn)相交于點(diǎn)Gi、G2…、Gg,若NBOC=133°,Z

BG1C=7O°,求NA的度數(shù).

A4

EBC

圖（1）圖（2）圖（3）圖（4）

35.如圖，在△ABC中，是BC邊上的高,BE平分NABC交AC邊于E,NBAC=60°,

NABE=25°.求/D4c的度數(shù).

▲

BD

36.已知：ZVIBC中，記NBAC=a,NACB=0.

(1)如圖1,若AP平分NBAC,BP,CP分別平分△ABC的外角/C8M和NBCMBD

LAP于點(diǎn)。，用a的代數(shù)式表示NBPC的度數(shù)，用p的代數(shù)式表示的度數(shù)；

(2)如圖2,若點(diǎn)尸為△ABC的三條內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，8DLAP于點(diǎn)。，猜想(1)

中的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化，補(bǔ)全圖形并直接寫(xiě)出你的結(jié)論.

37.(1)如圖1所示，△ABC中，/ACB的角平分線(xiàn)CF與NEAC的角平分線(xiàn)A。的反向延

長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F；

①若NB=90°則NF=；

②若NB=a,求/F的度數(shù)(用。表示)；

(2)如圖2所示，若點(diǎn)G是CB延長(zhǎng)線(xiàn)上任意一動(dòng)點(diǎn)，連接AG,NAGB與NG4B的角

平分線(xiàn)交于點(diǎn)”，隨著點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)，NRN”的值是否變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若

不變，請(qǐng)求出其值.

38.如圖所示，在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)N1=N2,/3=/4,ZBAC=69°,求/

D4C的度數(shù).

1

4A

BDC.

39.如圖，BG//EF,△ABC的頂點(diǎn)C在EF上，AD=BD,NA=23°,N8CE=440,求

N4C8的度數(shù).

A

參考答案

1.解：；NA=50°,

...NABC+NACB=180°-ZA=180°-50°=130°,

,:BO,C。分別是NABC,NACB的平分線(xiàn)，

：.ZOBC=—ZABC,ZOCB=^ZACB,

22

：.ZOBC+ZOCB=^-(/A8C+/ACB)=Axi30°=65°,

22

.?.NBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)=180°-65°=115°.

故選:B.

2.解：VZA=60°,

ZABC+ZACB=nO0,

?；BE,CD是NB、NC的平分線(xiàn)，

：.ZCBE^^ZABC,NBCDJ/BCA，

；.NCBE+/BCD=L(ZABC+ZBC4)=60°,

2

.?.NBFC=180°-60°=120°,

故選：C.

3.解：是8c邊上的高，NABC=60°,

AZBAD=30°,

"：ZBAC=50Q,AE平分/8AC,

:.NBAE=25°,

AZDAE=300-25°=5°,

「△ABC中，ZC=180°-ZABC-ZBAC=10°,

：.ZEAD+ZACD^5°+70°=75°,

故選：A.

4.解：2/A=/l+N2,

理由：?.?在四邊形AD4'E中，NA+NA'+ZADA'+ZAEA'=360°,

則2NA+180。-Z2+1800-Z1=360°,

可得2NA=/l+/2.

故選：B.

5.解：根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，可得NA8V=NA08+N2A。，

平分NNBA,AC平分NBAO,

ZABE=—ZABN,ZBAC^—ZBAO,

22

：.ZC=ZABE-ZBAC=—(NAOB+NBAO)-ZBAO=—ZAOB,

222

；NMON=90°,

...NAOB=90°,

AZC=—X90°=45°.

2

故選：B.

6.解：設(shè)三個(gè)內(nèi)角分別為24、3晨4k,

則2-4%=180°,

解得k=20°,

所以，最大的角為4X20°=80°,

所以，三角形是銳角三角形.

故選：A.

7.解：VZA=65°,NB=75°,

/.ZC=180°-65°-75°=40°,

由折疊的性質(zhì)可知，NC'=NC=40°,

.1.Z3=Z1+ZC,=60°,

AZ2=ZC+Z3=100°,

故選：C.

8.解：因?yàn)?8、OC^ZABC.N4cB的角平分線(xiàn),

所以NABO=NCB。，ZACO^ZBCO,

所以NABO+/ACO=NCBO+N8CO=180°-120°=60°

所以/ABC+NACB=60°X2=120°,

于是NA=180°-120°=60°.

故選：A.

：.ZB=2ZA,/C=3/A,

VZA+ZB+ZC=180°,即6/4=180°,

ZA=30°,

.,.ZB=60°,ZC=90°,

...△ABC為直角三角形.

故選：B.

10.解：VZA=54°,ZB=48°,

：.180°-54°-48°=78°,

；CO平分乙4cB交AB于點(diǎn)D,

AZDCB=-l.x78°=39°,

2

,:DE〃BC,

：.ZCDE=ZDCB=39°,

故選：C.

11.解：：8。是△ABC的角平分線(xiàn)，AEA.BD,

：.ZABD=ZEBD=—ZABC=——,NAFB=NEFB=90°,

22

:.NBAF=NBEF=90°-17.5°,

：.AB=BE,

C.AF^EF,

：.AD=ED,

，ZDAF=ADEF,

；NBAC=180°-ZABC-ZC=95°,

:.NBED=NBAD=95°,

：.ZCDE=95°-50°=45°,

故選：C.

12.解：：三角形的外角ND4C和NACF的平分線(xiàn)交于點(diǎn)E,

AZEAC=^ZDAC,ZECA=AZACF；

22

又：/B=40°(已知)，ZB+Z1+Z2=18O°(三角形內(nèi)角和定理)，

^ZDAC+—ZACF=^-(ZB+Z2)+—(ZB+Z1)=—(ZB+ZB+ZI+Z2)=110°

22222

(外角定理)，

；.NAEC=180°-(AZDAC+AZACF)=70°.

22

故答案為：70°.

13.解：?.?。點(diǎn)是NABC和/ACB角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，

NCBD=ZABD=—ZABC,NBCD=ZACD=—ZACB,

22

.,.NA8C+/ACB=180°-40°=140°,

:.NDBC+NDCB=10°,

AZBDC=180°-70°=110°,

故答案為：110°.

14.解：給圖中角標(biāo)上序號(hào)，如圖所示.

VZ2+Z3+450=180°,/2=30°,

.,.Z3=180°-30°-45°=105°,

.'.Nl=N3=105°.

故答案為：105°.

15.解：：NA=40°,/B=72°,

，NACB=68°,

平分NAC8,CDLAB于D,

AZBCE=34°,ZBCD=90-72=18°,

'：DFLCE,

：.ZCDF=90°-(34°-18°)=74°.

故答案為：74.

16.解：：NA8C=42°,ZA=60°,ZABC+ZA+ZACB=180".

AZACB=180°-42°-60°=78°.

又；/A8C、NACB的平分線(xiàn)分別為BE、CD.

?■?^^C=yZABC=21°>/FC**NACB=39°-

又ZFBC+ZFCB+ZBFC=180°.

；.NBFC=180°-21°-39°=120°.

故答案為：120°.

17.解：：/3=32°,正三角形的內(nèi)角是60°,正四邊形的內(nèi)角是90°,正五邊形的內(nèi)角

是108°,

；.N4=180°-60°-32°=88°,

，/5+/6=180°-88°=92°,

/.Z5=180°-Z2-108°①，

26=180。-90°-Zl=90°-Z1

...①+②得，180°-Z2-108°+90°-Zl=92°,

即Nl+N2=70°.

故答案為：70。.

1

18.解：分兩種情況:

①如圖1,當(dāng)NADC=90°時(shí),

VZB=30°,

：.ZBCD=90°-30°=60°；

②如圖2,當(dāng)NACD=90°時(shí),

VZA=50°，ZB=30°，

：.ZACB=180°-30°-50°=100°,

AZBCD=100°-90°=10°,

綜上，則N3C。的度數(shù)為60°或10°；

故答案為：60或10；

19.解：①?：BD上FD,

???NFGD+N尸=90°,

■:FH1BE,

???N8G”+/Z）8E=90°,

■:NFGD=NBGH,

；?NDBE=NF,故①正確；

②;BE平分N45C,

NABE=NCBE,

/BEF=/CBE+/C,

：.2ZBEF=ZABC+2ZC,

ZBAF=ZABC+ZC

???2N8EF=N84F+NC,即/3七/=4（NBA尸+NC）,故②正確;

③,?NAEB=/EBC+/C,

,//ABE=/CBE,

：.NAEB=NABE+NC,

?；BD上FC,FH1BE,

???NFGD=NFEB,

：.ZBGH=ZABE+ZC,故③正確,

④/ABD=90。-ABAC,

NDBE=/ABE-NABD=NABE-9?！?ZBAC=ZCBD-ZDBE-900+ZBAC,

；NC8O=90°-ZC,

：.NDBE=NBAC-ZC-NDBE,

由①得，ZDBE=ZF,

：.NF=ZBAC-ZC-ZDBE,

(ABAC-ZC)；故④正確；

故答案為①②③④，

20.解：?.?將△ABC沿著。E對(duì)折，A落到A',

.?.NA'DE=/ADE,ZA'ED=ZAED,

：.ZBDA'+2ZADE=180°,NA'EC+2NAED=180°,

：.NBDA'+2ZADE+ZA'EC+2NAED=360°,

:NBDA'+ZCEA'=70°,

AZADE+ZAED=145°,

；.NA=35°.

故答案為：35°.

21.解：VZ1：Z2：N3=28：5：3,

，設(shè)Nl=28x,N2=5x,N3=3尤，

由Nl+N2+/3=180°得:

28x+5x+3x=180°,

解得x=5,

故21=28X5=140°,22=5X5=25°,23=3X5=15°,

「△ABE和△AOC是△ABC分別沿著AB、AC邊翻折180°形成的，

.?./OC4=NE=/3=15°,N2=/EBA=N￡>=25°,/4=/￡jR4+/E=25°+15°

=40。,

Z5=Z2+Z3=25°+15°=40°,

故NEAC=/4+/5=40°+40°=80°,

在△￡?尸與△C4尸中，NE=NDCA,NDFE=NCFA,

:.XEGFsXCAF,

.*.a=/EAC=80°.

故填80°.

22.解：（1）平分△ABC的外角NEAC,

：.ZEAD=ZDAC,

VZEAC=ZACB+ZABC,且/A8C=NACB,

：.ZEAD=ZABC,

：.AD//BC,

故①正確.

(2)由(1)可知AD〃5C,

J/ADB=NDBC,

YBO平分NA8C,

J/ABD=/DBC,

：.ZABC=2ZADB,

,?ZABC=ZACB,

：.NACB=2NADB,

故②正確.

(3)在△AOC中，ZADC+ZCAD+ZACD=180°,

VCD平分△ABC的外角NACK

NACD=NDCF,

■:AD〃BC,

：.ZADC=ZDCF,/ADB=/DBC,ZCAD=ZACB

：.ZACD=4ADC,ZCAD=/ACB=ZABC=2ZABDf

：.ZADC+ZCAD+ZACD=ZADC+2ZABD+ZADC=2ZADC+2ZABD=\S00,

NAOC+NABO=90°

ZADC=90Q-AABD,

故③正確；

(4)如果平分/4OC,則四邊形ABC。是平行四邊形,

NABD=ZADB,

：.AB=AD,

四邊形ABC。是菱形，

只有在aABC是正三角形時(shí)才有BD平分/AOC

故④錯(cuò)誤.

(5)VZBAC+ZABC^ZACF,

.".^ZBAC+AZABC=AZACF,

222

ZBDC+ZDBC=—ZACF,

2

：.—ZBAC+—ZABC=ZBDC+ZDBC,

22

'：ZDBC=—ZABC,

2

：.^ZBAC=ZBDC,即NBDC=」NBAC.

22

故⑤正確.

故答案為：①②③⑤，

23.解：如圖,

,?.△ABC的一角折疊,

Z3=Z5,Z4=Z6,

而N3+N5+Nl+N2+N4+N6=360°,

???2N3+2N4+Nl+N2=360°,

VZ1+Z2=13O°,

AZ3+Z4=115O,

/.ZA=180°-N3-N4=65°.

故答案為：65°.

24.解：VZA+ZB+ZC=180°,

???NA+NB=180°-ZC=90°,

VZ1+Z2+ZA+ZB=36O°,

/.Zl+Z2=360°-90°=270°.

故答案是：270°.

25.解：VZA=50°,

ZABC+ZACB=]30°.

???NABC與NAC3的平分線(xiàn)相交于D,

.\ZDBC+ZDCB=65°,

：.ZBDC=\\5°.

26.解：VZCEA=60°，ZBAE=45°，

：.ZADE=\SQ°-ZCEA-ZBAE^15Q,

:.NBDC=NADE=15°,

故答案為75°.

27.解：設(shè)一份是x°,則/A=2x°,N8=3x°,ZC=4.v°.

則有2x+3x+4x=180,

x=20.

則NB=3x°=60°；

故答案為：60°.

28.解：由折疊可得，AD=PD^BD,

二。是AB的中點(diǎn)，

：.CD=—AB=AD=BD,

2

，乙48=乙4=34°,NBCD=NB=56°,

：.ZBCP=2ZBCD=\12°,

；.NACP=112°-90°=22°,

故答案為：22°.

29.解：設(shè)/A為x.

x+2x+3x=180°=x=30°.

AZA=30°,ZB=60°,ZC=90°.

故填60.

30.解：（1）ZDBC=ZA+ZACB,ZBCE=ZA+ZABC,

AZDBC+ZBCE=180°+N4=220°,

,:BP、CP分別是△ABC的外角/C2￡)、/8CE的角平分線(xiàn)，

；.NCBP+NBCP=L(NDBC+NBCE)=110°,

2

AZBPC=180°-110°=70°,

,:BQ、CQ分別是/P8C、NPCB的角平分線(xiàn)，

：.ZQBC=—ZPBC,NQCB=、NPCB,

22

：.ZQBC+ZQCB=55°,

.?./BQC=180°-55°=125°；

(2)'.,BM//CN,

.?./MBC+/NC2=180°,

?；BM、CN分別是/PBO、/PCE的角平分線(xiàn)，ZBAC=a,

(NDBC+/BCE)=180。，

4

即3(180°+a)=180°,

4

解得a=60°；

(3)Va=120°,

:.NMBCMNCB=3(NDBC+NBCE)=3(180°+a)=225°,

44

：.ZBOC^225°-180°=45°:

(4)Va>60°,

ZSPC=90°-La、

2

ZBQC=135°-%

ZBOC=^-a-45°.

4

ZBPC.NBQC、/BOC三角之間的數(shù)量關(guān)系：NBPC+/BQC+/BOC=(90°-^-a)

+(135°-Aa)+(2a-45°)=180°.

44

故答案為：70,125：60：ZBPC+ZBQC+ZBOC=180°.

31.解：(1)VZA+ZD+ZAOD=ZC+Zfi+ZBOC=180°,NAOD=NBOC,

：.ZA+ZD^ZC+ZB,

故答案為：NA+N￡)=NC+/B；

(2)①線(xiàn)段AB、8相交于點(diǎn)O,形成“8字形”；

②線(xiàn)段AN、CM相交于點(diǎn)O,形成“8字形”；

③線(xiàn)段AB、CP相交于點(diǎn)M形成“8字形”；

④線(xiàn)段AB、CM相交于點(diǎn)O,形成“8字形”；

⑤線(xiàn)段AP、CD相交于點(diǎn)M,形成“8字形”；

⑥線(xiàn)段AN、CO相交于點(diǎn)O,形成“8字形”；

故“8字形”共有6個(gè)，

故答案為：6；

(3)ZDAP+ZD^ZP+ZDCP,①

ZPCB+ZB=ZPAB+ZP,②

和NBCD的平分線(xiàn)4P和CP相交于點(diǎn)P,

：./DAP=ZPAB,4DCP=NPCB,

①+②得：

ZDAP+ZD+ZPCB+ZB=ZP+ZDCP+ZPAB+ZP,

即2NP=ND+NB,

又；ND=50度,NB=40度，

.,.2ZP=50o+40",

；.NP=45°；

(4)關(guān)系：2/P=ND+NB.

ZD+Z1=ZP+Z30

NB+/4=NP+N2②

①+②得：

ZD+Z1+Z4+ZB=ZP+Z3+Z2+ZP,

NDAB和ZDCB的平分線(xiàn)AP和CP相交于點(diǎn)P,

；./1=/2,N3=/4

.*.2NP=NO+NB.

D

B

勘

32.解:(1)34EB的大小不變,

；直線(xiàn)MN與直線(xiàn)PQ垂直相交于0,

，408=90°,

.?.NOAB+N054=90°,

,：AE.8E分別是/54。和/A8。角的平分線(xiàn)，

：.ZBAE^^ZOAB,NABE=2/ABO,

22

/.ZBAE+ZABE=^-(/。48+乙48。)=』*90°=45°,

22

AZAEB=135°；

(2)'：AE,AF分別是/B4O和NOAG的角平分線(xiàn)，

:.NEAO=LNBAO,ZFAO=^ZGAO,

22

，NEAF=2CZBAO+ZGAO)=Axi80°=90°.

22

故答案為：90；

??,NBAO與NB。。的角平分線(xiàn)相交于E,

：.ZEAO=^ZBAO,NEOQ=L/BOQ,

22

ZE^ZEOQ-Z￡AO=A(NBOQ-NBAO)T/ABO,

22

即NA8O=2NE,

在中，..?有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，故分四種情況討論:

(i)ZEAF=3ZE,Z￡=30°,則NABO=60°；

②/EAF=3/F,ZE=60°,N4BO=120°(舍去);

(3)ZF=3ZE,ZE=22.5°,ZAB<9=45°；

(4)ZE=3ZF,ZE=67.5°,ZABO=135°(舍去).

...NAB。為60°或45。.

33.解：(1)NAE8的大小不變，

?.?直線(xiàn)MN與直線(xiàn)PQ垂直相交于O,

：.ZAOB=90°,

：.ZOAB+ZOBA=90°,

,：AE.8E分別是/8A。和NA80角的平分線(xiàn)，

：.ZBAE=^-ZOAB,ZABE=^-ZABO,

22

：.ZBAE+ZABE=—(ZOAB+ZABO')=45°,

2

/.ZAEB=135°；

(2)NCEC的大小不變.

延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)F.

,/直線(xiàn)MN與直線(xiàn)PQ垂直相交于O,

AZAOB=90°,

：.ZOAB+ZOBA=90°,

NHB+NMBA=270°,

：A。、BC分別是NB"和NABM的角平分線(xiàn)，

ZBAD=—ZBAP,ZABC=—ZABM,

22

：.ZBAD+ZABC=^-(ZPAB+ZABM)=135°,

2

：.ZF=45°,

：.ZFDC+ZFCD=135°,

：.ZCDA+ZDCB=2251,,

：￡>E、CE分別是NAOC和N3C￡)的角平分線(xiàn)，

：.ZCDE+ZDCE=\n.5",

.?.ZE=67.5°；

(3)?.?/BAO與/80。的角平分線(xiàn)相交于E,

ZEAO=—ZBAO,ZEOQ=^ZBOQ,

22

：.ZE=ZEOQ-ZEAO=—(ZBOQ-NBAO)=^ZABO,

22

,：AE,AB分別是/BAO和/。4G的角平分線(xiàn)，

AZ￡AF=90°.

在△AEF中，

???有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，故有:

①NEAF=3NE,ZE=30°,N4BO=60°；

②/EAF=3/F,Z￡=60°,/ABO=120°；

@ZF=3ZE,ZE=22.5°,ZABO=45°；

④NE=3NF,ZE=67.5°,NABO=135°.

.?./ABO為60°或45°.

故答案為：60°或45°.

根據(jù)外角的性質(zhì)，可得

NBDF=NBAD+/B,NCDF=NC+/CAD,

又,?ZBDC=ZBDF+ZCDF,ZBAC=ZBAD+ZCAD,

:.NBDC=NA+NB+/C；

(2)①由(1),可得

ZABX+ZACX+ZA=ZBXC,

；/A=40°,N8XC=90°,

AZABX+ZACX=90°-40°=50°,

故答案為：50.

②由(1),可得

NDBE=ZDAE+ZADB+ZAEB,

:.NADB+NAEB=NDBE-NDAE=130°-40°=90°,

：.—(/ADB+/AEB)=90。4-2=45°,

2

：.ZDCE=—CZADB+ZAEB)+ZDAE

2

=45°+40°

=85"；

③NBGiC=卡(ZABD+ZACD)+NA,

：/BGC=70°,

.,.設(shè)為x。，

,：ZABD+ZACD=\330-x°

：.—(133-x)+x=70,

10

A13.3-—x+x=70,

10

解得x=63,

即N4的度數(shù)為63°.

35.解：；BE平分/ABC,

，NABC=2NABE=2X25°=50°,

是BC邊上的高，

：.ZBAD=900-N4BC=90°-50°=40°,

：.ZDAC=ZBAC-ZBAD=60°-40°=20°.

36.解：(1)?.?NBAC+NC3A+NAC8=180°,ZBAC^a

，NCBA+NACB=180°-ZBAC=180°-a

,：ZMBC+ZABC=\S0Q,Z7VCB+ZACfi=18O°

:.NMBC+NNCB=360°-ZABC-ZACB=360°-(1800-a)=180°+a

BP,CP分別平分aABC的外角NC8M和NBCN

：.ZPBC=—ZMBC,ZPCB=—ZNCB

22

:.NPBC+NPCB=LNMBC+L/NCB=L(180°+a)=90°+—a

2222

/BPC+NPBC+NPCB=18?！?/p>

...NBPC=180°-(NPBC+NPCB)=180°-(90°+—a)=90°-—a

22

'：ZBAC=a,NACB=B，：NM8C是△ABC的外角

：.ZMBC=a+^