大學(xué)計(jì)算方法復(fù)習(xí)資料

計(jì)算方法復(fù)習(xí)資料數(shù)值計(jì)算中的誤差主要內(nèi)容：絕對(duì)誤差，相對(duì)誤差，誤差限，有效數(shù)字，四舍五入，減少誤差的原則。1.利用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式在處的值 1-20-34-16-1 2200-6-4–10-8 100-3-2-5-4-92.設(shè)下面各數(shù)都是經(jīng)過(guò)四舍五入得到的近似數(shù)，即誤差不超過(guò)最后一位的半個(gè)單位，試指出他們各有幾位有效數(shù)字。（1）；（2）；（3）。解：有效數(shù)字位數(shù)分別為：3，4，53.下面計(jì)算的公式哪個(gè)算得準(zhǔn)確些？為什么？（1）已知，（A），（B）；（2）已知，（A），（B）；（3）已知，（A），（B）；（4）（A），（B）解：當(dāng)兩個(gè)同（異）號(hào)相近數(shù)相減（加）時(shí)，相對(duì)誤差可能很大，會(huì)嚴(yán)重喪失有效數(shù)字；當(dāng)兩個(gè)數(shù)相乘（除）時(shí)，大因子（小除數(shù)）可能使積（商）的絕對(duì)值誤差增大許多。故在設(shè)計(jì)算法時(shí)應(yīng)盡量避免上述情況發(fā)生。（1）（A）中兩個(gè)相近數(shù)相減，而（B）中避免了這種情況。故（B）算得準(zhǔn)確些。（2）（B）中兩個(gè)相近數(shù)相減，而（A）中避免了這種情況。故（A）算得準(zhǔn)確些。（3）（A）中使得誤差增大，而（B）中避免了這種情況發(fā)生。故（B）算得準(zhǔn)確些。（4）（A）中兩個(gè)相近數(shù)相減，而（B）中避免了這種情況。故（B）算得準(zhǔn)確些。4.求3.141與22/7作為π的近似值時(shí)有效數(shù)字的個(gè)數(shù).解：3個(gè)。3個(gè)。5.表中各都是對(duì)準(zhǔn)確值進(jìn)行四舍五入得到的近似值。試分別指出其絕對(duì)誤差限、相對(duì)誤差限及有效數(shù)字位數(shù)。絕對(duì)誤差限相對(duì)誤差限有效數(shù)字位數(shù)0.3012

30.12

30.120

解：

絕對(duì)誤差限相對(duì)誤差限有效數(shù)字位數(shù)0.3012位有效數(shù)字30.12位有效數(shù)字30.120位有效數(shù)字參考過(guò)程：（1）作為數(shù)的近似值時(shí)，不一定為的有效數(shù)字。但是用四舍五入取準(zhǔn)確值的前位作為近似值，則必有個(gè)有效數(shù)字。因?yàn)楦?.3012,30.12=0.3012都是對(duì)準(zhǔn)確值進(jìn)行四舍五入得到的近似值，所以0.3012,30.12都有位有效數(shù)字3012而30.120=0.30120有位有效數(shù)字30120。（2）根據(jù)有效數(shù)字的定義：設(shè)數(shù)的近似值，其中（）是到之間的任一個(gè)正整數(shù)，且，是正整數(shù)，是整數(shù)，如果絕對(duì)誤差的則稱為的具有位有效數(shù)字的近似值，準(zhǔn)確到第位，為的有效數(shù)字。所以，具有四位有效數(shù)字的數(shù)0.3012,30.12=0.3012的絕對(duì)誤差限分別為，。具有五位有效數(shù)字的數(shù)30.120=0.30120的絕對(duì)誤差限分別為。（3）根據(jù)定理：設(shè)數(shù)的近似值具有位有效數(shù)字，則的相對(duì)誤差滿足下列不等式所以，具有四位有效數(shù)字的數(shù)0.3012,30.12=0.3012的相對(duì)誤差限都為。而具有五位有效數(shù)字的數(shù)30.120=0.30120的相對(duì)誤差限都為6．近似值關(guān)于真值有(2)位有效數(shù)字；7.為了使計(jì)算的乘除法次數(shù)盡量地少，應(yīng)將該表達(dá)式改寫(xiě)為，為了減少舍入誤差，應(yīng)將表達(dá)式改寫(xiě)為。8.改變函數(shù)()的形式，使計(jì)算結(jié)果較精確。9.用1+x近似表示ex所產(chǎn)生的誤差是(C)誤差。A．模型B．觀測(cè)C．截?cái)郉．舍入10.取計(jì)算，下列方法中哪種最好？（C）(A)；(B)；(C)；(D)。第二章插值法主要內(nèi)容：拉格朗日插值，牛頓插值。 1.，則過(guò)這三點(diǎn)的二次插值多項(xiàng)式中的系數(shù)為，拉格朗日插值多項(xiàng)式為。答案：-1，2.已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝5.9，則二次Newton插值多項(xiàng)式中x2系數(shù)為(0.15)；3.設(shè),則，的二次牛頓插值多項(xiàng)式為。4.設(shè)f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,則拋物插值多項(xiàng)式中x2的系數(shù)為(A)。A．–0．5B．0．5C．2D．-25.由下列數(shù)據(jù)012341243-5確定的唯一插值多項(xiàng)式的次數(shù)為(A)(A)4；(B)2；(C)1；(D)3。6.已知13452654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求的三次插值多項(xiàng)式，并求的近似值（保留四位小數(shù)）。答案：差商表為一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-107.取節(jié)點(diǎn),求函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的二次插值多項(xiàng)式,并估計(jì)誤差。解：又故截?cái)嗾`差。8.已知f(-1)=2，f(1)=3，f(2)=-4，求拉格朗日插值多項(xiàng)式及f(1，5)的近似值，取五位小數(shù)。解：9.已知函數(shù)表-10121117試構(gòu)造插商表，寫(xiě)出的三次牛頓插值多項(xiàng)式，并由此求的近似值。（1）已知，，，構(gòu)造插商表一階差商二階差商三階差商

，，因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)的一階差商為，所以，，，，，，，，，因?yàn)樵邳c(diǎn)的二階差商為，所以一階差商二階差商三階差商

根據(jù)，得得階牛頓插值多項(xiàng)式將，，，，，，，代入上式，得因此，=2.8750

10.已知下列函數(shù)表：012313927(1)寫(xiě)出相應(yīng)的三次Lagrange插值多項(xiàng)式；(2)作均差表，寫(xiě)出相應(yīng)的三次Newton插值多項(xiàng)式，并計(jì)算的近似值。解：（1）均差表：11.是以整數(shù)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，則(1)，()，當(dāng)時(shí)()。第三章曲線擬合的最小二乘法1.用最小二乘法求形如的經(jīng)驗(yàn)公式擬合以下數(shù)據(jù)：1925303819.032.349.073.3解：解方程組其中解得：所以，2.教材169頁(yè)例5－1.第四章數(shù)值積分主要內(nèi)容：代數(shù)精度，梯形公式，辛普森公式以及復(fù)化公式。1.計(jì)算積分,取4位有效數(shù)字。用梯形公式計(jì)算求得的近似值為0.4268，用辛卜生公式計(jì)算求得的近似值為0.4309，梯形公式的代數(shù)精度為1，辛卜生公式的代數(shù)精度為3。2.已知f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求積公式求≈(12)。3.數(shù)值積分公式的代數(shù)精度為2。4.求A、B使求積公式的代數(shù)精度盡量高,并求其代數(shù)精度；利用此公式求(保留四位小數(shù))。答案：是精確成立，即得求積公式為當(dāng)時(shí)，公式顯然精確成立；當(dāng)時(shí)，左=，右=。所以代數(shù)精度為3。5.n=3,用復(fù)合梯形公式求的近似值（取四位小數(shù)）,并求誤差估計(jì)。解：，時(shí)，至少有兩位有效數(shù)字。6.用的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化Simpson公式）計(jì)算時(shí)，試用余項(xiàng)估計(jì)其誤差。用的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化Simpson公式）計(jì)算出該積分的近似值。解：7.數(shù)值求積公式是否為插值型求積公式？為什么？其代數(shù)精度是多少？解：是。因?yàn)樵诨c(diǎn)1、2處的插值多項(xiàng)式為。其代數(shù)精度為1。8.10.4667510.466758.030146.042414.425693.12014f(x)(x)2.62.42.22.01.8x（1）用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分的近似值；解：用復(fù)化梯形公式計(jì)算?。?）用復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分的近似值。(要求計(jì)算結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后六位).解：用復(fù)化辛甫生公式計(jì)算取9.分別用復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普生公式計(jì)算積分的近似值（保留4位小數(shù)）。解：5個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值xi00.511.52f(xi)10.0.0.0.(1)復(fù)化梯形公式（n=4,h=2/4=0.5）：復(fù)化梯形公式（n=2,h=2/2=1）：第五章非線性方程的數(shù)值解主要內(nèi)容：區(qū)間二分法，迭代發(fā)，牛頓迭代法。1.用二分法求方程在內(nèi)的根的近似值并分析誤差。解：令，則有，，，所以函數(shù)在上嚴(yán)格單調(diào)增且有唯一實(shí)根。本題中求根使得誤差不超過(guò)，則由誤差估計(jì)式，所需迭代次數(shù)滿足，即取便可，因此取。用二分法計(jì)算結(jié)果列表如下：0021-0.15851121.50.4962211.51.250.1862311.251.1250.411.1251.0625-0.071851.06251.1251.09375-0.0283561.093751.1251.-0.0066471.1.1251.0.81.1.1.-0.91.1.1.0.101.1.1.0.111.1.1.-0.121.1.1.5-0.131.51.1.75-0.141.751.1.3750.由上表可知原方程的根該問(wèn)題得精確解為，故實(shí)際誤差為2.判斷用等價(jià)方程建立的求解的非線性方程在1.5附近的根的簡(jiǎn)單迭代法的收斂性，其中（A）；（B）；（C）解：取1.5附近區(qū)間來(lái)考察。（A），顯然當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而， ，因此，當(dāng)時(shí)，。又當(dāng)時(shí)，，由迭代法收斂定理，對(duì)任意初值，迭代格式，收斂。（B），則， ， ，所以當(dāng)時(shí)， 。又當(dāng)時(shí)，，由迭代法收斂定理，對(duì)任意初值，迭代格式，收斂。（C），由于當(dāng)時(shí)，有，所以對(duì)任意初值（原方程的根除外），迭代格式發(fā)散。3.建立利用方程求的Newton迭代格式，并討論算法的收斂性。解：牛頓迭代格式為：令，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，故對(duì)于任何滿足，即的初值，上述Newton迭代產(chǎn)生的迭代序列收斂于。4.建立利用方程求的Newton迭代格式，并討論算法的收斂性。解：牛頓迭代格式為：令，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故對(duì)于任何滿足，即的初值，上述Newton迭代產(chǎn)生的迭代序列收斂于。5.教材39頁(yè)，例2－15和例2－16.6.用二分法求非線性方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)的根時(shí)，二分n次后的誤差限為()；7.用二分法求方程在區(qū)間[0,1]內(nèi)的根,進(jìn)行一步后根的所在區(qū)間為0.5，1,進(jìn)行兩步后根的所在區(qū)間為0.5，0.75。8.如果用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對(duì)分（10）次。9.用簡(jiǎn)單迭代法求方程f(x)=0的實(shí)根，把方程f(x)=0表示成x=j(x)，則f(x)=0的根是(B)。 (A)y=j(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(B)y=x與y=j(x)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(C)y=x與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(D)y=x與y=j(x)的交點(diǎn)10.已知方程在附近有根，下列迭代格式中在不收斂的是(C)(A)；(B)；(C)；(D)。11.構(gòu)造求解方程的根的迭代格式，討論其收斂性，并將根求出來(lái)，。答案：解：令.且，故在(0,1)內(nèi)有唯一實(shí)根.將方程變形為則當(dāng)時(shí)，故迭代格式收斂。取，計(jì)算結(jié)果列表如下：n01230.50.0351278720.0964247850.089877325n45670.0905959930.0905173400.0905259500.090525008且滿足.所以.12．用Newton迭代法求解方程在2.0附近的實(shí)根（計(jì)算結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后第四位）。解：，，故，方程的近似根為1.8974第六章方程組的數(shù)值解法主要內(nèi)容：高斯消去法，三角分解法，雅可比迭代，高斯－賽德?tīng)柕?.設(shè)有線性方程組（1）寫(xiě)出用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解該方程組的迭代公式；（2）用Gauss消去法解該方程組。

解：（1）寫(xiě)出用Jacobi迭代法解該方程組的迭代公式為用Gauss-Seidel迭代法解該方程組的迭代公式。（2）用Gauss消去法解該方程組將方程（1）乘以-2加到方程（2），再將方程（1）乘以-3加到方程（3），得將方程（2）乘以5加到方程（3），得將方程（3）除以-24，得將代入方程（2），得，在將，代入方程（2），得。

2.用雅可比迭代或高斯—塞德?tīng)柕蠼?，取初值，迭代兩次。解將方程組改寫(xiě)為（1）雅可比迭代（2）取初值，代入右端后從左端得到，再將這組值代入右端計(jì)算，可得。高斯—塞德?tīng)柕?）用這兩種方法計(jì)算的結(jié)果為：kxT(雅可比)xT(高斯—塞德?tīng)?0(0,0,0)(0,0,0)1(1.4,0.5,1.4)(1.4,0.78,1.026)2(1.11,1.20,1.11)(0.9234,0.99248,1.1092)3.利用矩陣的LU分解法解方程組。解：令得，得.4.用列主元素消元法求解方程組。解：回代得。5.用Gauss-Seidel迭代法求解線性方程組=，取x(0)=(0,0,0)T,列表計(jì)算三次，保留三位小數(shù)。解：Gauss-Seidel迭代格式為：系數(shù)矩陣嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，故Gauss-Seidel迭代收斂.取x(0)=(0,0,0)T，列表計(jì)算如下:11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.5266.已知方程組，其中，列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。求出Jacobi迭代矩陣的譜半徑。解：Jacobi迭代法：Gauss-Seidel迭代法：，7.已知方程組，其中，，（1）寫(xiě)出該方程組的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；（2）判斷（1）中兩種方法的收斂性，如果均收斂，說(shuō)明哪一種方法收斂更快；解：（1）Jacobi迭代法的分量形式Gauss-Seidel迭代法的分量形式（2）Jacobi迭代法的迭代矩陣為，，，Jacobi迭代法收斂Gauss-Seidel迭代法的迭代矩陣為，，，Gauss-Seidel迭代法發(fā)散8.，則A的LU分解為。答案：9.解線性方程組Ax=b的高斯順序消元法滿足的充要條件為(A的各階順序主子式均不為零)。10.求解方程組的高斯—塞德?tīng)柕袷綖椋摰袷降牡仃嚨淖V半徑=。11.寫(xiě)出求解方程組的Gauss-Seidel迭代公式，迭代矩陣為，此迭代法是否收斂收斂。12.設(shè),則9。13.設(shè)矩陣的，則。14.Jacobi迭代法解方程組的必要條件是（C）。A．A的各階順序主子式不為零B．C．D．15.設(shè)，則為(C)．A．2B．5C．7D．316.求解線性方程組Ax=b的LU分解法中，A須滿足的條件是(D)。A．對(duì)稱陣B．正定矩陣C．任意陣D．各階順序主子式均不為零17.用高斯-塞德?tīng)柗椒ń夥匠探M，取，迭代四次(要求按五位有效數(shù)字計(jì)算)。答案：迭代格式k000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.7019第七章常微分方程的數(shù)值解法主要內(nèi)容：歐拉法。1.解初值問(wèn)題的改進(jìn)歐拉法是2階方法2.已知初值問(wèn)題：，取步長(zhǎng)h=0.1，（1）用（顯式的）Euler方