用空間向量研究距離、夾角問題（第2課時）課件-2023-2024學年高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

1第一章《空間向量與立體幾何》用向量求平面與平面的夾角1.能用向量法解決平面與平面的夾角問題，并能描述解決這類問題的程序。2.體會向量法在研究空間角的問題中的作用。一、學習目標數(shù)據(jù)分析：通過研究圖形特征，整理、分析數(shù)據(jù)，理解解決此類問題的方法。數(shù)學抽象：能夠把握研究對象的數(shù)學特征，并用準確的數(shù)學語言進行表達，

能夠感悟通性通法的數(shù)學原理。數(shù)學建模：通過幾何模型，體會其蘊含的數(shù)學思想。數(shù)學運算：在平面與平面夾角的求解過程中需要一定的計算能力和計算技巧。邏輯推理：發(fā)現(xiàn)圖形的關系，選擇合適的論證方法予以證明。直觀想象：通過圖形直觀認識數(shù)學問題；能夠用圖形描述和表達熟悉的數(shù)學

問題，啟迪解決這些問題的思路，體現(xiàn)數(shù)形結合。二、核心素養(yǎng)平面與平面的夾角問題在高考中占有重要地位，在全國新高考卷、全國卷和各省市高考試題中年年考，是高考的高頻考點，2023年新高考Ⅰ卷18題，2023年新高考Ⅱ卷20題；2022年新高考Ⅰ卷19題，2023年新高考Ⅱ卷20題；2021年新高考Ⅰ卷20題，2021年新高考Ⅱ卷19題都有考查。三、近幾年高考試題考查情況四、基礎知識回顧1.二面角的定義從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。四、基礎知識回顧2.二面角的平面角在二面角的棱上任取一點O，以點O為垂足，分別在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱的射線OA和OB，則射線OA和OB所成的角稱為二面角的平面角.二面角的平面角的取值范圍是四、基礎知識回顧3.平面與平面的夾角

如圖，平面

與平面

相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于

的二面角稱為平面

與平面

的夾角。

類似于兩條異面直線所形成的夾角，若平面

與平面

的法向量分別為

，則平面

與平面

的夾角即為

的夾角或其補角。

設平面

與平面

的夾角為

則：

（課本39頁例10）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱E是PC的中

點，作

交PB于點E。(1)、求證PA//平面EDB；(2)、求證

；(3)、求平面CPB與平面PBD的夾角的大小.分析：本題設計的問題包括：直線與平面平行和垂直的判定，計算兩個平面的夾角，這些問題都可以利用向量方法解決.由于四棱錐的底面是正方形，而且一條側棱垂直于底面，可以利用這些條件建立適當?shù)目臻g直角坐標系，用向量及坐標表示問題中的幾何元素，進而解決問題.DPBCAFE五、回歸教材、能力提升

解：以D為原點，DA，DC，DP所在直線分別為

，建立如圖所示的空間直角坐標系，設DC=1.(1)證明：連接AC，交BD于點G，連接EG.依題意得

因為底面ABCD是正方形，所以點G是它的中心，故點G的坐標為

且

所以.而五、回歸教材、能力提升DPBCAFExzy五、回歸教材、能力提升（2）證明：依題意可得

又,故

所以,由已知

DPBCAFExzy五、回歸教材、能力提升DPBCAFExzy（3）解：已知

，由（2）可知

是平面CPB與平面PBD的夾角.

由(2)可知點F的坐標為

，因為

設

所以

五、回歸教材、能力提升所以

即平面CPB與平面PBD的夾角大小為

DPBCAFExzy例、（石家莊市2023屆高三質(zhì)量檢測（二））

如圖(1).在平行四邊形ABCD中，,,將

沿BD折起，使得點A到達點P處，如圖（2）所示。

(1).若

，求證：(2).若

，求平面PDC與平面PBC夾角的余弦值.(1)證明：

因為平行四邊形ABCD中，

，可得

又

又

六、構建模型、解決問題(2).解：方法一：由

，建立如圖所示的空間直角坐標系

，設

（其中

）

解得

設平面

的法向量為

，平面

的法向量為

令

，則

六、構建模型、解決問題所以平面

的一個法向量為同理

，令

，則所以平面

的一個法向量為設平面

與平面

的夾角為所以平面

與平面

夾角的余弦值為

六、構建模型、解決問題(2).解：方法二：如圖,過點D做

由題意可知，

又

取DF中點O，連接PO,由PF=PD得

過O點作OM垂直于DF，建立如圖所示的空間直角坐標系，

由題可得

六、構建模型、解決問題設平面PBC的法向量為

，平面PDC的法向量為

故平面PBC的一個法向量為

同理

故平面PBC的一個法向量為

設平面PDC與平面PBC的夾角為

，所以平面PDC與平面PBC夾角的余弦值為

六、構建模型、解決問題方法三：如圖所示，過點

作

交

于點

，過點

作

交

于點

，則

的夾角或其補角即為兩個平面的夾角

中，由

可得同理，在

中，

，可得而即所以所以平面

與平面

夾角的余弦值為

六、構建模型、解決問題ABCD解所以平面

與平面

的夾角為七、鞏固提升（課本41頁練習1）如圖，二面角

的棱上有兩個點A，B線段BD與AC分別在這

個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱

若