概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-課件-第5章-大數(shù)定律

第五章大數(shù)定律第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科.隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)才會(huì)呈現(xiàn)出來.也就是說，要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應(yīng)該研究大量隨機(jī)現(xiàn)象.

研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導(dǎo)致對(duì)極限定理進(jìn)行研究.極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種:

與大數(shù)定律中心極限定理下面我們先介紹大數(shù)定律例如要估計(jì)某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，要收割某些有代表性的地塊，例如n塊.計(jì)算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)n較大時(shí)，可用它作為整個(gè)地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個(gè)估計(jì).大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性

大數(shù)定律的客觀背景大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率字母使用頻率生產(chǎn)過程中的廢品率……證明大數(shù)定律主要的數(shù)學(xué)工具是切比雪夫不等式.設(shè)隨機(jī)變量X有期望E(X)和方差，則對(duì)于任給>0,等價(jià)地隨機(jī)變量序列稱為是獨(dú)立的,如果對(duì)于任意n,獨(dú)立定理1（獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律）設(shè)X1,X2,…是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E(Xi)=，Var(Xi)=，i=1,2,…,則對(duì)任給

>0,幾個(gè)常見的大數(shù)定律獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律表明，獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列{Xn}，如果其期望與方差存在，則與其數(shù)學(xué)期望μ的偏差很小的概率接近于1.隨機(jī)的了，取值接近于其數(shù)學(xué)期望的概率接近于1.即當(dāng)n充分大時(shí)，差不多不再是大數(shù)定律給出了平均值穩(wěn)定性的科學(xué)描述下面給出的貝努里大數(shù)定律，是定理1的一種特例.貝努里設(shè)Sn是n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，引入i=1,2,…,n則是事件A發(fā)生的頻率于是有下面的定理：設(shè)Sn是n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對(duì)任給的ε>0，定理2（貝努里大數(shù)定律）或貝努里貝努里大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率Sn/n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.貝努里大數(shù)定律提供了通過試驗(yàn)來確定事件概率的方法.任給ε>0，貝努里大數(shù)定律請(qǐng)看演示下面給出的獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機(jī)變量的方差存在.設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2,…獨(dú)立同分布，具有有限的數(shù)學(xué)期E(Xi)=μ,i=1,2,…，則對(duì)任給ε>0，定理3（辛欽大數(shù)定律）辛欽大數(shù)定律辛欽請(qǐng)看演示幾個(gè)常見的大數(shù)定律定理4（切比雪夫大數(shù)定律）設(shè)X1,X2,…是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即Var(Xi)≤K，i=1,2,…，切比雪夫則對(duì)任意的ε>0，這一講我們介紹了大數(shù)定律大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：它是隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的具體表現(xiàn).大數(shù)定律在理論和實(shí)際中都有廣泛的應(yīng)用.平均結(jié)果的穩(wěn)定性休息片刻繼續(xù)下一講第五章第二節(jié)中心極限定理

中心極限定理的客觀背景在實(shí)際問題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生總影響.例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素的影響.

空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，對(duì)我們來說重要的是這些隨機(jī)因素的總影響.如瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.觀察表明，如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的共同影響所造成，而每一個(gè)別因素在總影響中所起的作用不大.則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.自從高斯指出測(cè)量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見.

現(xiàn)在我們就來研究獨(dú)立隨機(jī)變量之和所特有的規(guī)律性問題.當(dāng)n無限增大時(shí)，這個(gè)和的極限分布是什么呢？由于無窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于∞，故我們不研究n個(gè)隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量的分布函數(shù)的極限.在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理.我們只討論幾種簡(jiǎn)單情形.下面給出的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的中心極限定理，也稱列維一林德伯格（Levy－Lindberg）定理.定理1（獨(dú)立同分布下的中心極限定理）它表明，當(dāng)n充分大時(shí)，n個(gè)具有期望和方差的獨(dú)立同分布的r.v.之和近似服從正態(tài)分布.設(shè)X1,X2,…是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E(Xi)=Var(Xi)=，i=1,2,…，則定理(棣莫佛－拉普拉斯定理）設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)n,p(0<p<1)的二項(xiàng)分布，則對(duì)任意x，有定理表明，當(dāng)n很大，0<p<1是一個(gè)定值時(shí)，二項(xiàng)變量的分布近似正態(tài)分布N(np,np(1-p)).請(qǐng)看演示中心極限定理的直觀演示下面我們舉例說明中心極限定理的應(yīng)用從演示不難看到中心極限定理的客觀背景例:20個(gè)0-1分布的和的分布X1~f(x)X1+X2~g(x)X1+X2+X3~h(x)幾個(gè)(0,1)上均勻分布的和的分布0123xfgh

設(shè)一批產(chǎn)品的強(qiáng)度服從期望為14,方差為4的分布.每箱中裝有這種產(chǎn)品100件.求:(1).每箱產(chǎn)品的平均強(qiáng)度超過14.5的概率是多少.(2).每箱產(chǎn)品的平均強(qiáng)度超過期望14的概率是多少.

n=100,設(shè)Xi是第i件產(chǎn)品的強(qiáng)度.E(Xi)=14,Var(Xi)=4i=1,2,,100.每箱產(chǎn)品的平均強(qiáng)度為解:例1根據(jù)定理5.2.1近似～N(0,1)于是

計(jì)算機(jī)在進(jìn)行數(shù)字計(jì)算時(shí)遵從四舍五入原則.為使我們此題簡(jiǎn)單考慮,我們假定對(duì)小數(shù)點(diǎn)后面的第一位進(jìn)行四舍五入運(yùn)算.則誤差X這個(gè)隨機(jī)變量可以認(rèn)為服從[-0.5,0.5]上的均勻分布.現(xiàn)若在一項(xiàng)計(jì)算中一共進(jìn)行了100次數(shù)字計(jì)算.例2≈0.0866求:平均誤差落在區(qū)間上的概率解:

n=100,