概率與數(shù)理統(tǒng)計第五章

第五章極限定理上傳snr5aliu(劉景波)僅用于學(xué)習(xí)交流前言切比雪夫不等式定理5.1（切比雪夫不等式）設(shè)隨機變量的X的數(shù)學(xué)期望和方差均存在，則對任意的，有或等價地，有證明僅對連續(xù)型隨機變量給出證明．

上述不等式給出了在隨機變量X的分布未知時對事件的概率下界的一個估計.

記,則有

由于切比雪夫不等式對任何分布都成立，因此在很多情況下我們就不能指望得到的概率上界能夠非常接近于真正概率．比如所以§5.1大數(shù)定律記為服從大數(shù)定律即證明因為由切比雪夫不等式得所以從而故有即證明令由于并且由切比雪夫大數(shù)定律，即得定理之結(jié)論.或這一節(jié)我們介紹了大數(shù)定律

大數(shù)定律以嚴格的數(shù)學(xué)形式表達了隨機現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：它是隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的具體表現(xiàn).大數(shù)定律在理論和實際中都有廣泛的應(yīng)用.平均結(jié)果的穩(wěn)定性

觀察表明，如果一個量是由大量相互獨立的隨機因素的影響所造成，而每一個別因素在總影響中所起的作用不大.則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.

自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見.

現(xiàn)在我們就來研究獨立隨機變量之和所特有的規(guī)律性問題.

當n無限增大時，這個和的極限分布是什么呢？在什么條件下極限分布會是正態(tài)的呢？

由于無窮個隨機變量之和可能趨于∞，故我們不研究n個隨機變量之和本身而考慮它的標準化的隨機變量的分布函數(shù)的極限.的分布函數(shù)的極限.

可以證明，滿足一定的條件，上述極限分布是標準正態(tài)分布.考慮中心極限定理這就是下面要介紹的

中心極限定理是確定在什么條件下大量的隨機變量之和的分布可以用正態(tài)分布近似，它不僅提供了計算獨立隨機變量之和的近似概率而且有助于解釋為什么很多隨機現(xiàn)象可以用正態(tài)分布描述這一事實．第二節(jié)中心極限定理定理5.2.1(林德伯格-勒維中心極限定理)例3一盒同型號螺絲釘共有100

個,已知該型號的螺絲釘?shù)闹亓渴且粋€隨機變量,期望值是100g,標準差是10g,求一盒螺絲釘?shù)闹亓砍^10.2kg的概率.解設(shè)為第個螺絲釘?shù)闹亓?且它們之間獨立同分布,于是一盒螺絲釘?shù)闹亓繛榍矣芍?解由中心極限定理有完

例5.2.1

一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機的，假設(shè)每箱的平均重50千克，標準差5千克。若用最大載重量為5噸的汽車承運，試利用中心極限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.977.解

設(shè)Xi(i=1,2,…n)是裝運的第i箱的重量,n是所求的箱數(shù),由條件可知,可以把看作是相互獨立同分布的隨機變量,而總重量是獨立同分布的隨機變量之和.由題意知并且要求n滿足由林德伯格-勒維定理所以n必須滿足即最多可以裝98箱。例6對于一個學(xué)校而言,來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機變量,設(shè)一個學(xué)生無家長,1名家長,2名家長來參加會議的概率分別為若學(xué)校共有400名學(xué)生,設(shè)各學(xué)生參加會議的家長數(shù)相互獨立,且服從同一分布,求參加會議的家長數(shù)超過450

的概率.解以記第個學(xué)生來參加會議的家長數(shù),則的分布律為易知而由定理3,隨機變量近似故由定理3,隨機變量近似故完根據(jù)該定理，若則當n很大時，有二項分布的正態(tài)近似證明令并且由林德伯格-勒維中心極限定理，即得本定理的結(jié)論

例5.2.2

將一枚硬幣連續(xù)的拋擲1000次,分別計算出現(xiàn)正面的次數(shù)大于530,550的概率.解

設(shè)X為出現(xiàn)正面的次數(shù),則有由棣莫弗-拉普拉斯定理,有同理例4某車間有200

臺車床,在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工作等常需停車.設(shè)開工率為0.6,并設(shè)每臺車床的工作是獨立的,且在開工時需電力1

千瓦,問應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會因供電不足