分段函數(shù)及映射

細(xì)說分段函數(shù)(1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù),其定義域是各段“定義域”的并集,其值域是各段“值域”的并集.寫定義域時(shí),區(qū)間的端點(diǎn)需不重不漏.(2)求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí),自變量的取值屬于哪一段,就用哪一段的解析式.分段函數(shù)及應(yīng)用(3)研究分段函數(shù)的性質(zhì)時(shí),應(yīng)根據(jù)“先分后合”的原則,尤其是作分段函數(shù)的圖象時(shí),可先將各段的圖象分別畫出來,從而得到整個(gè)函數(shù)的圖象.【例1】(2011·鄭州高一檢測)已知f(x)=則f(f(2))=()(A)0

(B)1

(C)2

(D)3【審題指導(dǎo)】對于分段函數(shù)求值問題,應(yīng)先看清自變量的值所在的區(qū)間,再代入相應(yīng)的解析式求解.【規(guī)范解答】選C.∵2>1,∴f(2)=-2+3=1≤1,∴f(f(2))=f(1)=1+1=2.【互動(dòng)探究】題設(shè)條件不變,若f(a)=1,求a的值.【解析】∵f(a)=1,∴當(dāng)a≤1時(shí),由a+1=1,得a=0≤1,符合要求;當(dāng)a>1時(shí),由-a+3=1,得a=2>1,符合要求.綜上所述,a=0或2.【誤區(qū)警示】本題易出現(xiàn)不討論而導(dǎo)致漏解的錯(cuò)誤.【例】已知函數(shù)f(x)=

(-2<x≤2).(1)用分段函數(shù)的形式表示該函數(shù)；(2)畫出該函數(shù)的圖象；(3)寫出該函數(shù)的值域.【審題指導(dǎo)】此類含有絕對值的函數(shù)實(shí)際上是分段函數(shù),解題時(shí),首先將函數(shù)式化簡,得出分段函數(shù),再根據(jù)要求求解.【規(guī)范解答】(1)當(dāng)0≤x≤2時(shí),f(x)=

當(dāng)-2<x<0時(shí),f(x)=

∴f(x)=(2)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示(3)由(2)知，f(x)在(-2,2］上的值域?yàn)椋?，3).【變式備選】求函數(shù)y=|x-1|,x∈［-1,4］的值域.【解析】y=當(dāng)1≤x≤4時(shí),0≤x-1≤3,即0≤y≤3;當(dāng)-1≤x<1時(shí),0<1-x≤2,即0<y≤2.綜上所述,y∈［0,3］1.映射與函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系(1)相同點(diǎn)：①映射包括三要素：集合A，集合B，集合A、B之間的對應(yīng)關(guān)系，函數(shù)也包括三要素：定義域，值域及二者之間的對應(yīng)關(guān)系.映射的概念及運(yùn)用②集合A到集合B的映射中，對于集合A中的任意一個(gè)元素a在集合B中都有唯一確定的元素b與之對應(yīng)；在函數(shù)中，對于定義域中自變量x的每一個(gè)確定的值，在值域中都有唯一確定的函數(shù)值y和它對應(yīng).(2)不同點(diǎn)：①集合A到集合B的映射中，對于集合B中的任意一個(gè)元素b，在集合A中不一定有元素與之對應(yīng)；在函數(shù)中，對于值域中每一個(gè)確定的函數(shù)值，在定義域中都有確定的值和它對應(yīng)；②映射中A、B可為任何非空集合，函數(shù)中A、B為非空數(shù)集.2.判斷對應(yīng)關(guān)系f:A→B是否為集合A到集合B的映射的方法(1)明確集合A、B中的元素.(2)判斷A的每一個(gè)元素是否在集合B中有唯一的元素與之相對應(yīng).若進(jìn)一步判斷是否為一一映射，還需注意B中的每一個(gè)元素在A中都有原像，集合A中的不同元素對應(yīng)的像不相同.

函數(shù)與映射的概念的差異在于：“非空數(shù)集”和“非空集合”.【例2】(2011·吉安高一檢測)設(shè)A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},在圖中能表示從集合A到集合B的映射的是()【審題指導(dǎo)】本題給出從集合A到集合B的幾種對應(yīng)關(guān)系圖,需判斷是否是映射，應(yīng)緊扣映射的定義，要通過特殊元素舉反例排除.【規(guī)范解答】選D.【變式訓(xùn)練】判斷下列對應(yīng)哪些是集合A到集合B的映射.(1)A=B=N*,對應(yīng)關(guān)系f:x→y=|x-3|;(2)A={x|0≤x≤6},B={y|0≤y≤2},f:x→y=x;(3)A=B=R,對應(yīng)關(guān)系f:x→y=±. 【解題提示】依據(jù)映射的定義來判斷.【解析】(1)當(dāng)x=3時(shí),y=0

N*,因此不是從A到B的映射.(2)當(dāng)x=6時(shí),y=3

B,因此不是從A到B的映射.(3)不滿足“唯一性”,因此不是從A到B的映射.【典例】(12分)某市乘出租車計(jì)費(fèi)規(guī)定:2公里以內(nèi)5元,超過2公里不超過8公里的部分按每公里1.6元計(jì)費(fèi),超過8公里以后按每公里2.4元計(jì)費(fèi).若甲、乙兩地相距10公里,則乘出租車從甲地到乙地共需要支付乘車費(fèi)為多少元?【審題指導(dǎo)】此類實(shí)際問題應(yīng)首先讀懂題意,抽象出數(shù)學(xué)模型,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題求解.【規(guī)范解答】設(shè)乘出租車走x公里,車費(fèi)為y元,………2分由題意得y=……7分即y=………………9分因?yàn)榧?、乙兩地相?0公里,即x=10>8,所以車費(fèi)y=2.4×10-4.6=19.4(元).……………11分所以乘出租車從甲地到乙地共需要支付乘車費(fèi)為19.4元.……………12分【誤區(qū)警示】對解答本題時(shí)易犯的錯(cuò)誤具體分析如下：【即時(shí)訓(xùn)練】某工廠生產(chǎn)某種零件,每個(gè)零件的成本為40元,出廠價(jià)是60元.該廠為鼓勵(lì)銷售商訂購,決定當(dāng)一次訂購量超過100個(gè)時(shí),每多訂購1個(gè),訂購的全部零件的出廠單價(jià)就降低0.02元,但實(shí)際出廠單價(jià)不能低于51元.(1)當(dāng)一次訂購量為多少個(gè)時(shí),零件的實(shí)際出廠單價(jià)降為51元?(2)設(shè)一次訂購量為x個(gè),零件的實(shí)際出廠單價(jià)為p元,寫出函數(shù)p=f(x)的表達(dá)式.【解析】(1)設(shè)每個(gè)零件的實(shí)際出廠單價(jià)降為51元時(shí),一次訂購量為x0個(gè),則因此,當(dāng)一次訂購量為550個(gè)時(shí),零件的實(shí)際出廠單價(jià)降為51元.(2)當(dāng)0<x≤100時(shí),p=60;當(dāng)100<x<550時(shí),p=60-0.02(x-100)=62-;當(dāng)x≥550時(shí),p=51.所以1.設(shè)f:A→B,則下列命題中,正確的是()(A)A中每一個(gè)元素在B中必有元素與之對應(yīng)(B)B中每一個(gè)元素在A中必有元素與之對應(yīng)(C)B中每一個(gè)元素在A中的對應(yīng)元素唯一(D)A中不同的元素在B中對應(yīng)的元素必不同【解析】選A.根據(jù)映射的定義可知,A中元素在B中必有元素與之對應(yīng),B中元素在A中可以無元素與之對應(yīng),若有元素與之對應(yīng),可不唯一.2.若A={2，4，6，8}，B={-1，-3，-5，-7}，下列對應(yīng)關(guān)系①f：x→9-2x②f：x→1-x③f：x→7-x④f：x→x-9中，能確定A到B的映射的是()(A)①②

(B)②③

(C)③④

(D)②④【解析】選D.結(jié)合映射定義，對①和③x=2在f作用下B中無元素與之對應(yīng)，故①③不能確定從A到B的映射.3.已知函數(shù)則f(2)+f(-2)=______.【解析】f(2)+f(-2)=0+(-2)2=4.答案:44.已知M={正整數(shù)},N={正奇數(shù)},映射f:a→b=2a-1,(a∈M,b∈N),則在映射f下M中的元素11對應(yīng)N中的元素是______.【解析】∵2×11-1=21,∴M中的元素11對應(yīng)N中的元素21.答案:215.化簡f(x)=并作圖求值域.【解析】f(x)=其圖象如圖所示由圖象可知,f(x)的值域?yàn)?-∞,-1)∪(1,+∞).一、選擇題(每小題4分，共16分)1.函數(shù)f(x)=則f(1)的值為()(A)1(B)2(C)3(D)0【解析】選D.f(1)=f(1-1)=f(0)=0.2.設(shè)集合A={a,b},B={0,1},則從A到B的映射共有()(A)2個(gè)(B)3個(gè)(C)4個(gè)(D)5個(gè)【解析】選C.從A到B的映射有4個(gè),如圖所示:3.已知集合A中元素(x,y)在映射f下對應(yīng)B中元素(x+y,x-y),則B中元素(4，-2)在A中對應(yīng)的元素為()(A)(1,3)(B)(1,6)(C)(2,4)(D)(2,6)【解析】選A.由題意得即(4,-2)在A中對應(yīng)的元素為(1,3).【方法技巧】確定象和原象的技巧(1)對于一個(gè)從集合A到集合B的映射f而言,A中的每個(gè)元素x,在f的作用下,在B中都對應(yīng)著唯一的元素y,則y稱為象,而x叫原象.(2)對于給出原象要求象的問題,只需將原象代入對應(yīng)關(guān)系中,即可求出象;對于給出象,要求原象的問題,可先假設(shè)原象,再代入對應(yīng)關(guān)系中得到象,而它與已知的象是同一個(gè)元素,從而求出原象;也可根據(jù)對應(yīng)關(guān)系,由象逆推出原象.4.(2011·昆明高一檢測)已知函數(shù)使函數(shù)值為5的x的值是()(A)-2(B)2或-(C)2或-2(D)2或-2或-【解析】選A.∵x2+1≥1,∴x2+1=5,x=±2,∵x≤0,∴x=-2.當(dāng)x>0時(shí)，-2x<0,不合題意.二、填空題(每小題4分，共8分)5.如圖,函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC,其中點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為(0,4),(2,0),(4,2),則f(f(f(2)))=_________.【解析】由圖象及已知條件知f(2)=0,即f(f(f(2)))=f(f(0)),又f(0)=4,∴f(f(0))=f(4)=2.答案：26.(2010·陜西高考)已知函數(shù)f(x)=若f(f(0))=4a,則實(shí)數(shù)a=______.【解析】f(0)=2,∴f(f(0))=f(2)=4+2a=4a,∴a=2.答案：2

三、解答題(每小題8分，共16分)7.已知函數(shù)f(x)=求:f(1),f(-3),f(a-1)的值.【解題提示】對于求f(a-1),應(yīng)先對a-1的范圍討論后再代入求值.【解析】f(1)=1×(1+4)=5.f(-3)=-3×(-3-4)=21.當(dāng)a-1≥0,即a≥1時(shí),f(a-1)=(a-1)(a-1+4)=a2+2a-3;當(dāng)a-1<0,即a<1時(shí),f(a-1)=(a-1)(a-1-4)=a2-6a+5.8.(2011·鄭州高一檢測)“水”這個(gè)曾經(jīng)被人認(rèn)為取之不盡，用之不竭的資源,竟然到了嚴(yán)重制約我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展,嚴(yán)重影響人民生活的程度.因?yàn)槿彼?每年給我國工業(yè)造成的損失達(dá)2000億元,給我國農(nóng)業(yè)造成的損失達(dá)1500億元,嚴(yán)重缺水困擾全國三分之二的城市.為了節(jié)約用水,某市打算出臺(tái)一項(xiàng)水費(fèi)政策,規(guī)定每季度每人用水量不超過5噸時(shí),每噸水費(fèi)1.2元,若超過5噸而不超過6噸時(shí),超過的部分的水費(fèi)按原價(jià)的200%收費(fèi)，若超過6噸而不超過7噸時(shí),超過部分的水費(fèi)按原價(jià)的400%收費(fèi)，如果某人本季度實(shí)際用水量為x(x≤7)噸,試計(jì)算本季度他應(yīng)交的水費(fèi)y(單位:元).【解析】由題意知,當(dāng)0<x≤5時(shí),y=1.2x,當(dāng)5<x≤6時(shí),y=1.2×5+(x-5)×1.2×2=2.4x-6.當(dāng)6<x≤7時(shí),y=1.2×5+(6-5)×1.2×2+(x-6)×1.2×4=4.8x-20.4.所以【誤區(qū)警示】本題在5<x≤6和6<x≤7這兩段易列錯(cuò)表達(dá)式而導(dǎo)致錯(cuò)誤.【挑戰(zhàn)能力】(10分)規(guī)定