第四章 解析幾何的產(chǎn)生與數(shù)形結(jié)合思想

第四章解析幾何的產(chǎn)生與數(shù)形結(jié)合思想在17世紀(jì)以前，代數(shù)和幾何基本是分離的。代數(shù)主要研究“數(shù)”，而幾何主要研究“形”。第一個(gè)在代數(shù)和幾何上架起一座橋梁的人是法國(guó)的笛卡爾。

第一節(jié)笛卡爾與解析幾何的產(chǎn)生一、笛卡爾生平笛卡爾（1596-1605）生活在資產(chǎn)階級(jí)與封建領(lǐng)主、科學(xué)與神學(xué)進(jìn)行激烈斗爭(zhēng)的時(shí)代。從讀書始便對(duì)僵化的說教有強(qiáng)烈的懷疑批判精神，堅(jiān)定不移地尋找真理。

笛卡爾在獲得法學(xué)博士學(xué)位后，為了“讀世界這本大書”，曾到荷蘭服役，一邊到各地旅行，一邊和朋友討論數(shù)學(xué)和科學(xué)問題。他探求正確的思想方法，認(rèn)為創(chuàng)立為實(shí)踐服務(wù)的哲學(xué)“才能成為自然的主人”。退伍以后，主要居住在荷蘭，也曾回到法國(guó)，從事學(xué)術(shù)研究。1649年應(yīng)邀去瑞典擔(dān)任女王的教師，最后因肺炎病逝在異國(guó)。笛卡兒的主要著作都是在荷蘭完成的，其中1637年出版的《方法論》一書成為哲學(xué)經(jīng)典。這本書中的3個(gè)著名附錄《幾何》《折光》和《氣象》更奠定了笛卡兒在數(shù)學(xué)、物理和天文學(xué)中的地位。在《幾何》中，笛卡兒分析了幾何學(xué)與代數(shù)學(xué)的優(yōu)缺點(diǎn)，并由此創(chuàng)立了解析幾何。所以說笛卡爾是解析幾何的創(chuàng)始人。恩格斯對(duì)笛卡爾的這一貢獻(xiàn)給予高度評(píng)價(jià)，他在《自然辯證法》中說：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就成為必要的了。二、解析幾何的產(chǎn)生15、16世紀(jì)，歐洲由封建社會(huì)向資本主義社會(huì)過渡，進(jìn)入文藝復(fù)興時(shí)期。特別是從17世紀(jì)起，從封建社會(huì)內(nèi)部產(chǎn)生出來(lái)的資本主義生產(chǎn)關(guān)系，處于它的上升時(shí)期，曾促進(jìn)了社會(huì)生產(chǎn)的迅速發(fā)展。遠(yuǎn)洋航行、礦山開采、機(jī)械制造以及資本的對(duì)外擴(kuò)張，向自然科學(xué)提出了大量的問題。比如，德國(guó)天文學(xué)家開普勒發(fā)現(xiàn)行星是繞著太陽(yáng)沿著橢圓軌道運(yùn)行的，太陽(yáng)處在這個(gè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上；意大利科學(xué)家伽利略發(fā)現(xiàn)投擲物體是沿著拋物線運(yùn)動(dòng)的。這些發(fā)現(xiàn)都涉及到圓錐曲線，要研究這些比較復(fù)雜的曲線，原先的一套方法顯然已經(jīng)不適應(yīng)了，相應(yīng)地要求數(shù)學(xué)提出新的概念與方法，于是產(chǎn)生解析幾何的條件便成熟了，導(dǎo)致了解析幾何的出現(xiàn)。笛卡兒（Descartes,1596年~1650年）由于親自參加社會(huì)實(shí)踐，重視對(duì)機(jī)械曲線的探討，終于突破了用綜合法研究靜止圖形的局限性，在他所著的《方法論》一書的附錄《幾何學(xué)》中引進(jìn)了變數(shù)，開始應(yīng)用代數(shù)思想解決幾何作圖問題；后來(lái)逐漸出現(xiàn)用方程來(lái)表示曲線的思想。他的基本思想是借助坐標(biāo)法，把反映同一運(yùn)動(dòng)規(guī)律的空間圖形（點(diǎn)、線、面）同數(shù)量關(guān)系（坐標(biāo)和它們所滿足的方程）統(tǒng)一起來(lái)。從此，由曲線或曲面求它的方程，以及由方程的討論研究它所表示的曲線或曲面的性質(zhì)，就成了解析幾何學(xué)的兩大基本問題。第二節(jié)解析幾何的基本思想一、解析幾何的方法論基礎(chǔ)《幾何學(xué)》作為笛卡兒哲學(xué)著作《方法論》的附錄，意味著他的幾何發(fā)現(xiàn)乃至其他方面的發(fā)現(xiàn)都是在其方法論原理指導(dǎo)下獲得的。笛卡兒方法論原理的本旨是尋求發(fā)現(xiàn)真理的一般方法，他稱自己設(shè)想的一般方法為“通用數(shù)學(xué)”（mathesisuniversalis），即：

任何問題→數(shù)學(xué)問題→代數(shù)問題→方程求解。

為了實(shí)施這一計(jì)劃，笛卡兒首先通過“廣延”（extension）的比較，將一切度量問題化為代數(shù)方程問題，為此需要確定比較的基礎(chǔ)，即定義“廣延”單位，以及建立“廣延”符號(hào)系統(tǒng)及其算術(shù)運(yùn)算，特別是要給出算術(shù)運(yùn)算與幾何圖形的對(duì)應(yīng)，這就是笛卡兒幾何學(xué)的方法論背景。二、解析幾何的基本思想笛卡