多面體的外接球問題 論文

多面體的外接球問題摘要：與多面體的外接球有關(guān)的問題是近幾年的熱點(diǎn)問題，也是難點(diǎn)問題。本文首先介紹不同類型多面體外接球半徑的求法，最后探討多面體存在外接球的充分條件。關(guān)鍵詞：多面體，外接球，解法，存在條件一、外接球半徑的求法1.單截面法有些多面體比較簡單，只需要一個截面就可以解決問題，稱之為單截面法。C（1）側(cè)棱垂直于截面的棱錐（棱柱） SC例遼寧）S、A、B、C在球O的表面上，SA^平面A BABC，AB^BC，SA=AB=1，BC=

2。則球O的表面積為＿＿。課標(biāo)）三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長都為a，頂點(diǎn)都在一個球面上，則該球的表面積是＿＿。SA^平面ABCABCABC的 SM外接圓圓心為。QAB^BC，\為AC的中點(diǎn),，\= OBAB1AC=2

32QSA^平面ABC，^平面ABC\

∥SACSA的中點(diǎn)M,設(shè)球O的半徑為ROS=R得OM^SA，\是矩形，\1 12 2=MA=2SA=2\

R2=

+

=1,\S球=4pR2=。1（2）根據(jù)側(cè)棱垂直于底面，以底面ABC為截面截球，設(shè)三棱柱 A11B1OA CBABC-的外接球球心為O，半徑為R，△ABC的外接圓圓心為，半徑為 a =r

3a 1 12sin60o 1 3

^ ABC2

a 2 22 \R272a

得= 7pa2

平面 得= = ， =

+=12 ,\S球=4pR2=3 。有一條側(cè)棱l垂直于底面aaO就可以了。若球O的半徑為Rl的長記為la的外接1 1l22圓半徑為，則的長一定為2l，有如下恒等式：R2=4

1。該解法適合有外（2）側(cè)棱相等的棱錐例大綱）正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一個球面上，若該四棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為＿＿。2020S-

ABC中，SB=SA=AB=BC=AC,SC=26,則三棱錐S-

ABC外接球的表面積是（ ）A3B3C9D9POD1解：（1）如圖，以底面ABCD為截面截球，設(shè)球心為O，半徑為R，截面ABCD的外心為POD1C212，則為對角線AC、BD=2

AC= ，A BQ=4，PO=R，\=4-R,\

R2=OO2

+r2=112 2 911

2 R)

2),\R= ,\S球=4pR= . AO144AB的中點(diǎn)DSABO144△ABCSD^AB，CD^AB，則2B S2SD=CD=

4′3=23。則2

SD2=6)=CSC2DSDC=90o。設(shè)球心為O,△ABC和△SAB的中心分別為E,F.由球的性質(zhì)可知：OE^平面ABC，OF^平面SAB，又DE=CDF=OE=OF=4′3′1=23OD=

OE22=26。2 3 3 3所以外接球半徑為R==S=4pR2 .=

OD2+BD2=

60.所以外接球的表面積為33另解：如圖，根據(jù)三棱錐三條側(cè)棱AB、AC、AS相等，以△BCS為截面截球。在△BCS中，cosDCBS=1,sinDCBS=15。作^

平面BCS于O1，4 4由AB=AC=AS得O1為△BCS點(diǎn)外心,設(shè)△BCS的外接圓410415410415半徑為,球的半徑為R=

sinDCBS

得=252

o=

AB-= .52又球心O在上，R2=2為S=4pR2 .=2

(

R)2

,解得R=

。所以外接球的表面積22153不過球心到截面的距離不能直接求出，而等于棱錐的高減去球的半徑的絕對值。若球O的半徑為R，棱錐的高為h，底面的外接圓圓心為，半徑為，2 2則的長為h-R，有如下恒等式：R2=-R)

。當(dāng)然，對于三棱錐，截面的選取要恰當(dāng)，否則計(jì)算會復(fù)雜，例如第（2）題，若以ABC為底面截球，則三條側(cè)棱不相等一般情況下不好做參考答案其實(shí)是利用兩個截面處理的。但若隨便改動一個數(shù)字，比如取SA5就沒有面面垂直了，則不能照搬答案的解法。湖北預(yù)賽8）已知四面體的一條棱長為6，其余棱長均為5，則這個四面體的外接球的半徑為 2039）392.雙截面法有些多面體由一個截面無法求出外接球的半徑，需要借助兩個截面才可以，稱之為雙截面法。例3（1）四棱錐P-

ABCD的外接球球心為O，底面 PABCD是矩形，平面PAD^底面ABCD，且PA=PD=AD=2，AB=4，則球O的表面積為＿＿。 D CA BPC（2）三棱錐PPC

ABC中，

AB=AC=BC=PB=PC=

3,二面角P-BC-A的大小為60o，求P-

ABC的外接球半徑。（3）三棱錐P-

ABC中，BC=

23,∠BAC=60o,cosDBPC=21,二面角P-BC-7

A的大小為60o，求 B AP-ABC的外接球半徑。 PO，設(shè)半徑為R，以底面 OABCD截球，設(shè)截面圓圓心為，半徑為，則

D CE O11為對角線AC、BD=2

A B5AC= 5223面PAD截球，設(shè)截面圓圓心為O2

o得= sin60 3面交AD于E,則為二面角P-

AD-BPAD^底面ABCD得∠=

90o，又OO^截面ABCD，OO^截面PAD，因此1 2O1E2是矩形1 2=O2E= ，\333

R2=OO2

+r2

=16，3112S球=4pR112

=。PP2ECO1（2）如圖，設(shè)球心為O，半徑為R，以底面ABC截球，設(shè)截面圓圓心為，半徑為PBC截球，B A設(shè)截面圓圓心為O2交BC于E,則∠是二面角P-BC-

1 2OAOEO=601 2O22O222 ? 12

2 ? 1中，=-? ÷= ，O2E=-? ÷= 。è2? 2

è2? 2 E O11 2 1 2連接OO得OO=11 2 1 2

=∠OOO=30o易得OO=

\R2

3=OO3

2+r2=13，S12 球

2 12 21=4pR2=。3

1 6 1 1（3）如圖，設(shè)球心為O，半徑為R，以底面ABC截球，設(shè)截面圓圓心為，23半徑為23

sin60o得=2，=2r2-?2

=1；再以側(cè)面PBC截球，設(shè)截面圓圓心為O

，半徑為1 ?2÷

2 Oè ?21

27

23

E O1。由cosDBPC= ,得sinDBPC= ，由得r=7 7 sinDBPC 221，OE=

r2-?

=3。設(shè)平面OOO

交BC于E,則∠OEO

是二面角22 2 22

?2÷

2 12 1 2è ?27P-BC27

AOEO=OOEOOO1 1 2 1 2 1 2O2= ，727

cosE=7 ，

sin= 。 由227

=

得OO=23，\

R2=OO2+r2=16，S

=4pR2=。sin

sin120o 1 3

1 1 3 球 3雙截面法求外接球的半徑是一個難點(diǎn)，為此例4特地從易到難選編了3個題目，它們之間是特殊到一般的關(guān)系。存在外接球的多面體，若需要雙截面法P-

ABCOP2ECO1RABC的外心為PBC的外心為P2ECO1角P-BC-

A的大小為a。只要知道或能求出、、a、BC、R中，結(jié)合公式R223 B1 1 A3.補(bǔ)體法例4（1）同例1（1）題略；（2）同例3（1）題略；A-BCD中，AB=CD=6,AC=BD=7,AD=BC錐外接球的表面積為＿＿。解：（1）如下圖左，將三棱錐S-

ABC補(bǔ)成長方體，長方體的外接球半徑2為1=2R，\R=1,S球=4pR2

=。（2）如下圖中，把四棱錐P-

ABCD補(bǔ)成三棱柱ADP-BCQ，同例1（2）球的解法易得外接球的半徑為43，S球3=4pR2= 。3PQDSPQDSACBCB A B

nA lm C(1) (2) (3)l，m，nR長方體中嵌入三棱錐A-BCD，由l2，l2，m2得l2m2n255l2=55，\2Rl2m2n2552 球

=4pR2=。練習(xí)：三棱錐A-BCD的三組對棱分別相等，AB=5，BC=

41,外接球的半徑為52，則A-BCD的體積為＿＿。(略解：把三棱錐嵌入長方體中，則長2方體的三條棱長分別為3、4、5，三棱錐的體積為20）長方體的外接球半徑容易求，如果能把一些多面體補(bǔ)成長方體，使它們的錐，一般不易直接求外接球的半徑，需要構(gòu)造長方體，如例4.向量法例5同例3（1）DM解：如圖，以AD的中點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直 DMC角坐標(biāo)系，則0),B4,0),C4,0)，CA BD0),P3).設(shè)球心O(x,y,zOA=OBA ByOA=OD得x，由OA=OP得z=

3。\

? 3?點(diǎn)O2, R=OA=3 è 3?16,此時(shí)OC=16，\

點(diǎn)O是四棱錐的球心，球O的半徑R=16，S

=4pR2球3 3 3球= .3一個有外接球的多面體只要能建系就可以用代數(shù)方法求它的外接球半徑。二、存在外接球的充分條件2OD2ODE1BCD、△ACD的外心分別為、，E為CD的中點(diǎn)，則^DC，E^DC，\DC^平面E。在平面E內(nèi)過作直線垂C直作直線垂直EB為OO到三棱錐四個頂點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)O為三棱錐A-BCD外接球的球心。2.底面四邊形對角互補(bǔ)的四棱錐有且只有一個外接球證明類似三棱錐，略。DED 例6平行四邊形ABCD中，DBADAB, C AD,E為邊CD上一點(diǎn)（不與C、D重合將△A BBCE沿BE折起，使點(diǎn)A、B、C、D、E均在一個球面上，當(dāng)四棱錐C-

ABED體積最大時(shí)，求球的表面積。DE解：Q點(diǎn)A、B、C、D、E均在一個球面上，DE

A、B、E、D四點(diǎn)共圓，\

四邊形ABED的對角互補(bǔ)，即DBED-60o= C120o，四邊形ABED為等腰梯形。易知△ABD為直角三角形，外心為AB的中點(diǎn)，同理△ABE的外心也為ABA BABED的外心為為AB的中點(diǎn)，四邊形ABED的外接圓半徑。由DBED得DCEB=60o，△CEB為等邊三角形，23設(shè)△BCE的外心為= OR,則^截面233OO2^截面BCEI

BE=F為二面角A-BE-C的平面角。顯然當(dāng)平面BCE垂直于平面ABED時(shí)，體積最大，此時(shí)=90o，3 2 2 4

1 13則四邊形為矩形，=F=S=4pR2。3

oR23=