2023-2024學(xué)年北師大版必修第二冊(cè) 向量的加法 課件（54張）

§2從位移的合成到向量的加減法2.1向量的加法必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.什么是向量的加法?向量的加法遵循怎樣的法則?2.向量加法滿足哪些運(yùn)算律?1.向量的加法:求兩個(gè)向量和的運(yùn)算,叫作向量的加法.向量加法遵循的法則如下:1.三角形法則已知兩個(gè)不共線的向量a,b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A,作=a,=b,再作向量,則向量叫作向量a與b的和,記作a+b,即a+b=+=.

2.平行四邊形法則已知兩個(gè)不共線的向量a,b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A,作=a,=b,再作平行于的=b,連接DC,則四邊形ABCD為平行四邊形.向量叫作向量a與b的和,表示為

=a+b.

向量加法的三角形法則和平行四邊形法則實(shí)際上就是向量加法的幾何意義.

【思考】共線的兩向量相加,其結(jié)果怎樣?提示:(1)向量a與b同向(如圖①所示),即向量a+b與a(或b)方向相同,且|a+b|=|a|+|b|.(2)向量a與b反向(如圖②所示),且|a|<|b|時(shí),a+b與b方向相同(與a方向相反),且|a+b|=|b|-|a|.2.向量加法的運(yùn)算律交換律a+b=b+a結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)【思考】怎樣求作多個(gè)向量的和?提示:(1)由于向量的加法既滿足交換律,又滿足結(jié)合律,因此多個(gè)向量的加法運(yùn)算即可按任意的次序與組合來求作.(2)向量的多邊形法則:①在平面內(nèi)任取一點(diǎn),以此點(diǎn)為起點(diǎn)作第一個(gè)向量;②以第一個(gè)向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)作第二個(gè)向量;③依次類推,最后以第n-1個(gè)向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)作第n個(gè)向量;④則以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn),以第n個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量,就是這n個(gè)向量的和.【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)兩向量的和,可能是一個(gè)數(shù)量. (

)(2)兩向量相加,就是兩向量的模相加. (

)(3). (

)(4)在矩形ABCD中,. (

)提示:(1)×.向量的和一定是向量.(2)×.向量相加遵循平行四邊形法則或三角形法則,模相加是數(shù)量的運(yùn)算,二者不能等同.(3)√.兩向量首尾相接,和從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn).(4)√.在矩形中,,所以.2.在四邊形ABCD中,,則 (

)A.ABCD一定是矩形B.ABCD一定是菱形C.ABCD一定是正方形D.ABCD一定是平行四邊形【解析】選D.,由平行四邊形法則可得,必有四邊形ABCD是平行四邊形,但不能確定是更特殊的四邊形.3.下列等式不成立的是 (

)A.0+a=a

B.a+b=b+aC.=2 D.【解析】選C.與是相反向量,其和為0,C錯(cuò)誤,ABD顯然正確.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一已知向量作和向量(直觀想象)【典例】已知向量a,b,c如圖,求作a+b+c.【思路導(dǎo)引】在平面上任取一點(diǎn),從此點(diǎn)開始用三角形法則或平行四邊形法則逐次相加.【解析】在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作=a,=b,=c,如圖,則由向量加法的三角形法則,得=a+b,=a+b+c.

【解題策略】

1.用三角形法則作兩向量的和時(shí),要注意兩向量“首尾相接”;用平行四邊形法則作兩向量的和時(shí),要注意保證兩向量有公共起點(diǎn).2.求作共線向量或多個(gè)向量的和向量時(shí),應(yīng)首選三角形法則,注意和向量的方向是從起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn).【跟蹤訓(xùn)練】1.根據(jù)圖示填空,其中a=,b=,c=,d=.(1)a+b+c=________;

(2)b+d+c=________.

【解析】(1)a+b+c=++=;(2)b+d+c=++=.答案:(1)

(2)

2.已知向量a,b,c如圖,求作向量a+b+c.

【解析】在平面內(nèi)任意取一點(diǎn)O,作=a,=b,=c,則=a+b+c.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖所示,在正六邊形ABCDEF中,若AB=1,則|++|等于 (

)A.1

B.2

C.3

D.2【解析】選B.|++|=|++|=||=2.類型二向量加法運(yùn)算律的應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】化簡(jiǎn)下列各式:(1);(2);(3).【思路導(dǎo)引】所給各式均為向量和的形式,因此可利用三角形法則和向量加法的運(yùn)算律求解.【解析】(1)(2)(3)

【解題策略】向量加法運(yùn)算律的應(yīng)用原則利用代數(shù)方法通過向量加法的交換律,使各向量“首尾相接”,通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序;注意利用相等向量轉(zhuǎn)化,達(dá)到“首尾相連”的目的.【跟蹤訓(xùn)練】已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)等于1,則|+++|=________.

【解析】|+++|=|+++|=|+|=2||=2.答案:2

類型三向量加法的實(shí)際應(yīng)用(數(shù)學(xué)建模)【典例】在靜水中船的速度為20m/min,水流的速度為10m/min,如果船從岸邊出發(fā)沿垂直于水流的航線到達(dá)對(duì)岸,求船行進(jìn)的方向.【思路導(dǎo)引】畫圖表示問題情境,運(yùn)用平行四邊形法則,標(biāo)注圖形中線段的長(zhǎng)度,在三角形中計(jì)算角度.【解析】作出圖形,如圖所示.船速v船與岸的方向成α角,由圖可知v水+v船=v實(shí)際,結(jié)合已知條件,四邊形ABCD為平行四邊形,在Rt△ACD中,||=||=|v水|=10m/min,||=|v船|=20m/min,所以cosα===,所以α=60°,從而船與水流方向成120°的角.所以船是沿與水流的方向成120°的角的方向行進(jìn)的.【變式探究】1.若本例中條件不變,則經(jīng)過1h,該船的實(shí)際航程是________km.

【解析】由例題知|v船|=20m/min,|v實(shí)際|=20×sin60°=10(m/min),故該船1h行駛的航程為10×60=600(m)=(km).答案:

2.若本例中其他條件不變,改為若船沿垂直水流的方向航行,則船實(shí)際行進(jìn)的方向與岸方向的夾角的正切值為________.

【解析】如圖,作平行四邊形ABDC,則=v實(shí)際,設(shè)船實(shí)際航向與岸方向的夾角為α,則tanα===2.即船實(shí)際行進(jìn)的方向與岸方向的夾角的正切值為2.答案:2【解題策略】向量解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的方法向量既有大小又有方向的特性在實(shí)際生活中有很多應(yīng)用,用向量解決實(shí)際應(yīng)用問題,關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為向量模型,就是準(zhǔn)確作出圖象,其基本步驟有:(1)表示:用向量表示相關(guān)的量,將所要解決的問題轉(zhuǎn)化為向量的加法問題.(2)運(yùn)算:應(yīng)用向量加法的平行四邊形法則或三角形法則,進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算.(3)還原:根據(jù)向量運(yùn)算的結(jié)果,結(jié)合向量共線、相等概念回答原問題.【跟蹤訓(xùn)練】1.小船以10km/h的靜水速度沿垂直于對(duì)岸的方向行駛,同時(shí)河水的流速為10km/h,則小船的實(shí)際航行速度的大小為________km/h.

【解析】如圖,設(shè)船在靜水中的速度為|v1|=10km/h,河水的流速為|v2|=10km/h,小船的實(shí)際航行速度為v0,則由|v1|2+|v2|2=|v0|2,得(10)2+102=|v0|2,所以|v0|=20km/h,即小船實(shí)際航行速度的大小為20km/h.答案:202.如圖,用兩根繩子把重10N的物體W吊在水平桿子AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°,則A處所受力的大小為________N,B處所受力的大小為________N.(繩子的重量忽略不計(jì))

【解析】如圖所示,設(shè),分別表示A,B所受的力,10N的重力用表示,則+=.易得∠ECG=180°-150°=30°,∠FCG=180°-120°=60°.所以||=||cos30°=10×=5(N),||=||cos60°=10×=5(N).所以A處所受力的大小為5N,B處所受力的大小為5N.答案:5

5【補(bǔ)償訓(xùn)練】一條小船要渡過一條兩岸平行的小河,河的寬度d=100m,船的航行速度為|v1|=4m/s,水流的速度為|v2|=2m/s,試問當(dāng)船頭與水流方向的夾角θ為多大時(shí),小船行駛到對(duì)岸所用的時(shí)間最少?此時(shí)小船的實(shí)際航行方向與水流方向的夾角的正切值是多大?【解析】設(shè)小船行駛到對(duì)岸所用的時(shí)間為t(s),如圖,設(shè)表示水流的速度,表示船的航行速度,以AD,AB為鄰邊作平行四邊形ABCD,則就是船實(shí)際航行的速度.設(shè)∠BAC=α,∠BAD=θ,則相對(duì)于垂直對(duì)岸的速度為v=sinθ,小船行駛到對(duì)岸所用的時(shí)間為故當(dāng)sinθ=1,即θ=90°時(shí),小船行駛到對(duì)岸所用的時(shí)間最少,最少值為25s.在Rt△ABC中,=2,==4,tanα=2.故當(dāng)船頭與水流方向的夾角為90°時(shí),小船行駛到對(duì)岸所用的時(shí)間最少為25s,此時(shí)小船的實(shí)際航行方向與水流方向的夾角的正切值為2.典例備選向量模的三角不等式(直觀想象、邏輯推理)【典例】證明:對(duì)任意向量a,b有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.【思路導(dǎo)引】首先討論向量a,b不共線的一般情況,其次討論a,b同向與反向的情況,以及有零向量的情況.【證明】對(duì)于任意向量a,b,當(dāng)向量a,b不共線時(shí),在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,以O(shè)為起點(diǎn),分別作向量=a,=b,以O(shè)A,OB為鄰邊作平行四邊形OACB,如圖所示,則

=a+b.根據(jù)三角形兩邊之和總大于第三邊,而兩邊之差總小于第三邊可得:|a+b|=||<||+||=|a|+|b|,|a+b|=||>|||-|||=||a|-|b||,即||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.當(dāng)a與b同向時(shí),有|a+b|=|a|+|b|;當(dāng)a與b反向時(shí),有||a|-|b||=|a+b|;當(dāng)a與b中至少有一個(gè)為零向量時(shí),有||a|-|b||=|a+b|=|a|+|b|.于是,對(duì)任意向量a,b有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.【解題策略】當(dāng)問題涉及的情況有多個(gè),不同情況下使用的方法、依據(jù)等不相同,這時(shí)通常需要對(duì)問題分類討論,依次探討各種情況,最后總結(jié)下結(jié)論.【跟蹤訓(xùn)練】設(shè)|a|=8,|b|=12,則|a+b|的取值范圍為________.

【解析】把a(bǔ)與b的起點(diǎn)在平面內(nèi)固定在同一個(gè)位置,旋轉(zhuǎn)其中一個(gè)向量,會(huì)發(fā)現(xiàn):當(dāng)a與b同向共線時(shí),|a+b|max=20;當(dāng)a與b反向共線時(shí),|a+b|min=4.答案:[4,20]1.作用在同一物體上的兩個(gè)力F1=60N,F2=60N,當(dāng)它們的夾角為120°時(shí),則這兩個(gè)力的合力大小為______N(

)

A.30

B.60

C.90

D.120【解析】選B.由力F1=60N,F2=60N的夾角為120°,可得以F1與F2為鄰邊的平行四邊形是菱形,合力是其一條對(duì)角線,長(zhǎng)度等于菱形的邊長(zhǎng),所以合力大小為60N.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)2.下列等式錯(cuò)誤的是 (

)A.a+0=0+a=a

B.=0C.=0 D.

【解析】選B.,故B錯(cuò),D中

=0.3.已知a,b為非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,則 (

)A.a∥b且a與b方向相同B.a,b是共線向量且方向相反C.a=bD.a,b無論什么關(guān)系均可【解析】選A.非零向量a,b滿足|a+b|=|a|+|b|,必須向量a,b同向.4.如圖,在平行四邊形ABCD中,O是AC和BD的交點(diǎn).

(1)=________;(2)=________;(3)=________;

(4)=________.

答案:(1)

(2)

(3)

(4)05.已知點(diǎn)G是△ABC的重心,則=________.

【解析】如圖所示,連接AG并延長(zhǎng)交BC于E點(diǎn),點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),延長(zhǎng)AE到D點(diǎn),使GE=ED,則所以=0.答案:0十五向量的加法【基礎(chǔ)通關(guān)—水平一】(15分鐘30分)1.在△ABC中,||=||=|+|,則△ABC是 (

)A.直角三角形 B.等邊三角形C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形【解析】選B.+=,則||=||=||,則△ABC是等邊三角形.課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)2.已知四邊形ABCD為菱形,則下列等式中成立的是 (

)

【解析】選C.對(duì)于A,=≠;對(duì)于B,;對(duì)于C,,又=,所以+=;對(duì)于D,+≠.3.在平行四邊形ABCD中,=

.

【解析】由四邊形ABCD是平行四邊形,可知

與

互為相反向量,和是零向量,同理

與

也互為相反向量,和是零向量,所以

+++=0.答案:04.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,||=1,則|+|=

.

【解析】在菱形ABCD中,連接BD,因?yàn)椤螪AB=60°,所以△BAD為等邊三角形.又因?yàn)閨|=1,所以||=1,|+|=||=1.答案:15.如圖所示,試分別作出向量.

【解析】如圖,以BA,BC為鄰邊作平行四邊形ABCE,根據(jù)平行四邊形法則,可知

就是

+.以CB,CA為鄰邊作平行四邊形ACBF,根據(jù)平行四邊形法則,可知

就是

+.【能力進(jìn)階—水平二】(20分鐘40分)一、單選題(每小題5分,共1