概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件 第五章 二維隨機(jī)變量及其分布

第五章二維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)第二節(jié)二維離散型隨機(jī)變量第三節(jié)二維連續(xù)型隨機(jī)變量第四節(jié)邊緣分布第五節(jié)隨機(jī)變量的獨(dú)立性第一節(jié)二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)一、二維隨機(jī)變量如果由兩個(gè)變量所組成的有序數(shù)組（ξη），它的取值是隨著試驗(yàn)結(jié)果而確定的，則稱（ξη）為二維隨機(jī)變量，稱（ξη）的取值規(guī)律為二維分布。二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)二、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)設(shè)(ξη)是二維隨機(jī)變量，(ξη)

R2,則稱F(x,y)=P{ξ

x,η

y}為(ξη)的分布函數(shù)，或ξ與η的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)的性質(zhì)三、分布函數(shù)的性質(zhì)（1）對(duì)于任意x,y

R，有0≤F(x,y)≤1。（2）F(x,y)關(guān)于x（或y）單調(diào)不減。（3）F(x,y)關(guān)于x（或y）右連續(xù)。（4）F(-∞,-∞)＝0，F(xiàn)(+∞,+∞)＝1F(-∞,y)＝0，F(xiàn)(x,-∞)＝0（5）對(duì)于任意x1<x2，y1<y2有P(x1<ξ≤x2,y1<η≤y2)=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)例題1例題1設(shè)(ξη)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)=A(B+arctanx)(C+arctany)，其中x,yR。求常數(shù)A，B，C。解：back第二節(jié)二維離散型隨機(jī)變量二維離散型隨機(jī)變量如果二維隨機(jī)變量(ξη)所有可能取的數(shù)組是有限或可列的，并且以確定的概率取各個(gè)不同的數(shù)組，則稱(ξη)為二元離散型隨機(jī)變量。(ξη)分布律(ξη)的聯(lián)合分布律ξηy1…yj…x1p11p1j…xipi1pij…設(shè)(ξη)的所有可能取值為(xi,yj)，其中i,j=1,2,…稱為(ξη)的聯(lián)合概率分布，也簡(jiǎn)稱概率分布。（1）0≤Pij≤1（2）∑i∑jPij=1例題2例題2一口袋中有三個(gè)球，它們依次標(biāo)有數(shù)字1,2,2。從這袋中任取一球后，不放回袋中，再?gòu)拇腥稳∫磺颉ＴO(shè)每次取球時(shí)，袋中各球被取到的可能性相同。以ξ,η分別記第一次和第二次取得的球上標(biāo)有的數(shù)字。求（1）(ξ,η)的分布律（2）P(ξ≥η)解:(1)back1/31/321/30121ξηP(ξ=1,η=1)=P(ξ=1,η=2)=P(ξ=1)P(η=1|ξ=1)=0P(ξ=1)P(η=2|ξ=1)=1/3。。。。。。例題2一口袋中有三個(gè)球，它們依次標(biāo)有數(shù)字1,2,2。從這袋中任取一球后，不放回袋中，再?gòu)拇腥稳∫磺?。設(shè)每次取球時(shí)，袋中各球被取到的可能性相同。以ξ,η分別記第一次和第二次取得的球上標(biāo)有的數(shù)字。求（1）(ξ,η)的分布律（2）P(ξ≥η)解:(2)back1/31/321/30121ξηP(ξ≥η)=P(ξ=1,η=1)+P(ξ=2,η=1)+P(ξ=2,η=2)=2/3第三節(jié)二維連續(xù)型隨機(jī)變量一、二維連續(xù)型隨機(jī)變量

設(shè)(ξη)的分布函數(shù)為F(x,y),若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x,y)，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)

x,y

有

則稱(ξη)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x,y)為(ξη)的聯(lián)合概率密度函數(shù)（聯(lián)合密度函數(shù))

。聯(lián)合密度函數(shù)性質(zhì)二、聯(lián)合密度函數(shù)性質(zhì)例題3例題31.設(shè)(ξη)的聯(lián)合概率密度為求（1）常數(shù)C（2）P(ξ≥η)解：（1）例題3續(xù)C=8例題31.設(shè)(ξη)的聯(lián)合概率密度為求（1）常數(shù)C（2）P(ξ≥η)解：（2）例題3續(xù)例題3續(xù)2.設(shè)(ξ，η)的聯(lián)合概率密度為求（1）常數(shù)k解（1）y=x10xy(2)x+y=1y=x10xy0.5x+y=1y=x10xyy=x10xy0.5（3）F(x,y)=P(ξ≤x,η≤y)F(x,y)=0,x<0或y<0y4,0

x<1,0

y<

x

，或x

1,0

y<1，2x2y2–y4,

0

x<1,

x

y<1，2x2–x4,0

x<1,

y

1，1,x

1,y

1，三、常見二維連續(xù)型隨機(jī)變量分布1.二維均勻分布如果(ξη)的聯(lián)合概率密度為其中G是平面上某個(gè)區(qū)域，則稱(ξη)～U(G)。

二維正態(tài)分布2.二維正態(tài)分布如果(ξη)的聯(lián)合概率密度為則稱(ξη)～

N(

1,

12;

2,

22;

)，其中

1,

2>0，-1<<1。例題4例題4(ξη)～U(G)，G={0≤y≤x，0≤x≤1}求（1）f(x,y)（2）P(η>ξ2)（3）(ξη)在平面上的落點(diǎn)到y(tǒng)

軸距離小于0.3的概率。解：（1）back例題4(ξη)～U(G)，G={0≤y≤x，0≤x≤1}求（1）f(x,y)（2）P(η>ξ2)（3）(ξη)在平面上的落點(diǎn)到y(tǒng)

軸距離小于0.3的概率。解：（2）backy=x10xy1Gy=x2例題4(ξη)～U(G)，G={0≤y≤x，0≤x≤1}求（1）f(x,y)（2）P(η>ξ2)（3）(ξη)在平面上的落點(diǎn)到y(tǒng)

軸距離小于0.3的概率。解：（3）backy=x10xy10.3第四節(jié)邊緣分布一、邊緣分布函數(shù)設(shè)F(x,y)為(ξη)的聯(lián)合分布函數(shù)，關(guān)于ξ的邊緣分布函數(shù)P(ξ≤x)=P(ξ≤x,η<+∞)=Fξ(x),其中x∈R關(guān)于η的邊緣分布函數(shù)P(η≤y)=P(ξ<+∞,η≤y)=Fη(y),其中y∈R例題5例題5設(shè)(ξη)的聯(lián)合分布函數(shù)為求Fξ(x)和Fη(y)。解：邊緣分布律二、（離散型）邊緣分布律設(shè)(ξη)的聯(lián)合分布律為P(ξ=xi,η=yj)=Pij（i,j=1,2,…）關(guān)于ξ的邊緣分布律P(ξ=xi)=P(ξ=xi,η<+∞)=∑jPij=Pi.關(guān)于η的邊緣分布律P(η=yj)=P(ξ<+∞,η=yj)=∑iPij=P.j例題6例題6箱子裝有10件產(chǎn)品，其中2件為次品。每次從中任取一件產(chǎn)品（不放回），共取2次。求（1）(ξη)的聯(lián)合分布律（2）關(guān)于ξ的邊緣分布律解：（1）1P.j10Pi.10ξη例題6箱子裝有10件產(chǎn)品，其中2件為次品。每次從中任取一件產(chǎn)品（不放回），共取2次。求（1）(ξη)的聯(lián)合分布律（2）關(guān)于ξ的邊緣分布律解:(2)邊緣密度函數(shù)ξ