【研究生應用數學基礎】第一章集合上的數學結構

應用數學基礎（一）習題第一章集合上的數學結構1.判斷下列命題的真假:2.設A,B,C為集合,AB且BC,證明:AC.3.化簡:((A∪B∪C)∩(A∪B))-((A∪(B-C))∩A.4.證明:(1)C-(A∪B)=(C-A)∩(C-B);(2)C-(A∩B)=(C-A)∪(C-B).1整理ppt5.證明:(1)A=A;(2)AB=BA;(3)A(BC)=(AB)C;(4)AA=;(5)若AC=BC,則A=B6.設f:R×R→R,f((x,y))=x+y,證明：f是滿射，但不是單射。7.設f是A到A的滿射，且ff=f,證明：f=IA.8.證明:N×N是可數集.9.判斷下列集合對于指定的運算是否構成實線性空間:2整理ppt(1)次數等于n(n≥1)的實系數多項式全體，對于多項式的加法及數與多項式的乘法；（2）n階實對稱（反對稱）多項式矩陣全體，對矩陣的加法及數與矩陣的乘法。(3)平面上不平行于某一向量的全體向量，對于向量的加法和數與向量的乘法。（4）主對角線上各元素之和為零的全體n階實矩陣的要合，對于矩陣的加法和數與矩陣的乘法。3整理ppt10.設向量組x1,x2,…,xm∈V(F)線性相關。證明：向量組x1,x2,…,xm，xm+1,…,xn(n>m)∈V(F)也線性相關。11.設向量組x1,x2,…,xn∈V(F)線性無關。向量組x1,x2,…,xn，x∈V(F)線性相關。證明：x可由x1,x2,…,xn線性表示。12.在向量空間Rn中，下列向量集合是否構成Rn子空間？為什么？如果是子空間，它的維數是多少？（1）前兩個分量之和為零的全體向量V。4整理ppt(2)前兩個分量之和不為零的全體向量V.(3)奇數分量之和等于偶數分量之和的全體向量。(4)所有分量之和等于1的全體向量。13.設x1,x2,…,xn是線性空間Vn(F)的一組基，y1,y2,…,yn是Vn(F)的n個向量，有試證：y1,y2,…,yn線性無關|A|≠0，A=(aij)n5整理ppt14.設Eij表示R2×2中第(i,j)元素為1，其余元素均為零的矩陣；Gij表示第(i,j)元素為0，其余元素均為1的矩陣。試證：E11，E12，E21，E22與G11，G12，G21，G22分別為R2×2的基；并求由E11，E12E21，E22到G11，G12，G21，G22的過渡矩陣及矩陣分別在這兩組基下的坐標。15.設證明:W1,W2是R2×2的子空間,并求W1,W2,W1+W2,W1∩W2的維數.6整理ppt16.設W1，W2分別是齊次線性方程（組）x1+x2+…+xn=0與x1=x2=…=xn的解空間,證明:Rn=W1W2.17.設AR,證明:A′是閉集.18.設ｆ(ｘ)∈Ｃ[ａ,ｂ],Ｋ是常數。證明：Ｂ＝｛ｘ∈[ａ,ｂ]|ｆ(ｘ)≥Ｋ｝是閉集；Ｃ＝｛ｘ∈(ａ,ｂ)｜ｆ(ｘ)＜Ｋ}是開集19.證明：若（Ｘ,ｄ）是度量空間,則（Ｘ,σ）也是度量空間，其中

(ｘ,ｙ)＝ｍｉｎ（１,ｄ(ｘ,ｙ))（ｘ,ｙ∈Ｘ）。7整理ppt20.設（Ｘ，ｄ）是度量空間,則（ｘ，ρ）也是度量空間，其中21.設（Ｘ,ｄ）,（Ｙ,ρ）和（Ｚ,σ）都是度量空間，F(xiàn)：Ｘ→Ｙ，Ｇ：Ｙ→Ｚ都是連續(xù)映射。證明：H＝Ｇ

Ｆ：Ｘ→Ｚ是連續(xù)映射。22.證明：設（Ｘ,ｄ）是一個完備度量空間，A是X的子集.則A是閉子集

A是X的完備子空間。8整理ppt23.設是度量空間(X,d)中的Cauchy列{ｘn}的子序列,證明:若收斂于ｘ，則｛ｘn｝也收斂于ｘ。24.設有線性方程組應用壓縮映射原理證明：這個方程組有唯一的解。25.證明：賦范線性空間V上的范數是連續(xù)的。證：｜‖ｘ‖－‖ｙ‖｜≤‖ｘ－ｙ‖。9整理ppt26.設V是賦范線性空間。M

Ｖ稱為凸集，如果

ｕ,ｖ∈Ｍ,θ∈［０,１］，總有ｗ＝θｕ＋（１－θ）ｖ∈Ｍ。證明：開球Ｂ1(０)＝｛ｕ∈Ｖ／‖ｕ‖＜１}是凸集。27.設是Banach空間V中無窮級數。證明：如果‖ｕn‖≤Ｍn（ｎ＝１,２,…)則收斂.10整理ppt28.設A=(aij)n∈Rn×n,trA=a11+a22+…+ann,A=(aij)n,B=(bij)nRn×n,定義:則有(A,B)=tr(ABT),證明：(A,B)是Rn×n的內積.29.設x1,x2,…,xn為歐氏空間Vn(R)的一組向量,而證明:|G|≠0

x1,x2,…,xn線性無關。11整理ppt30.證明：任一R上n維內積空間Vn(R)與Rn同構。31.證明：在內積空間V（R）中，x,yV(R),恒有32.設x1=(1,1,0)T,x2=(2,0,1)T,x3=(2,2,1)T∈R3,求一組與x1,x2,x3等價的標準正交基。12整理ppt33.設M和N是Hilbert空間H中的閉子空間，且M⊥Ｎ，證明：M

N是H中的閉子空間。34.設H是內積空間，證明：若wH,有(u,w)=(v,w)(u,v∈H),則u=v。35.設H是［