機(jī)械控制工程2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型

第一節(jié)時(shí)域數(shù)學(xué)模型

—微分方程第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型整理ppt第一節(jié)控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型項(xiàng)目?jī)?nèi)容教學(xué)目的

如何從實(shí)際的物理系統(tǒng)過渡到數(shù)學(xué)系統(tǒng)，理解物理系統(tǒng)、控制系統(tǒng)、數(shù)學(xué)系統(tǒng)三者的統(tǒng)一；如何建立控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型。教學(xué)重點(diǎn)

如何建立控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型。教學(xué)難點(diǎn)及其處理

關(guān)于數(shù)學(xué)模型的一些基本概念。從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，逐步分層次講解。整理ppt數(shù)學(xué)模型的基本概念數(shù)學(xué)、工程、控制三者的統(tǒng)一中學(xué)時(shí)的函數(shù)概念：在電路的學(xué)習(xí)中對(duì)函數(shù)概念的理解：自動(dòng)控制系統(tǒng)對(duì)函數(shù)概念的理解：研究對(duì)象的復(fù)雜程度加深一引言整理ppt同樣的x和y，在不同的課程學(xué)習(xí)中，思維方式發(fā)生了變化：中學(xué)時(shí)的函數(shù)是一個(gè)純數(shù)學(xué)的概念；在電路和控制系統(tǒng)中增加了人的因素?？梢杂脭?shù)學(xué)的方法來解決工程中遇到的實(shí)際問題，可以通過機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課程把數(shù)學(xué)、機(jī)械工程、控制三者聯(lián)系統(tǒng)一起來。學(xué)習(xí)機(jī)械工程控制基礎(chǔ)的思維方式：數(shù)學(xué)的方法，機(jī)械工程的意識(shí)，控制的語(yǔ)言。整理ppt數(shù)學(xué)模型的定義：能夠描述控制系統(tǒng)輸出量和輸入量數(shù)量關(guān)系的表達(dá)形式。實(shí)際物理系統(tǒng)理想化物理模型數(shù)學(xué)化數(shù)學(xué)模型線性化線性數(shù)學(xué)模型無(wú)量綱化可用數(shù)學(xué)模型標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)模型整理ppt按輸入輸出的表達(dá)形式數(shù)學(xué)模型的分類微分方程（時(shí)間域）傳遞函數(shù)（復(fù)數(shù)域）動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖（各元件傳函的連接關(guān)系）響應(yīng)曲線（step、pulse）頻率特性（bode圖、nyquist圖、nichols圖）狀態(tài)變量形式

整理ppt分析法:是根據(jù)組成系統(tǒng)各元件工作過程中所遵循的物理定理來進(jìn)行。例如：電路中的基爾霍夫電路定理，力學(xué)中的牛頓定理，熱力學(xué)中的熱力學(xué)定理等。對(duì)于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)已知的常用此法。試驗(yàn)法:對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)，需要通過實(shí)驗(yàn)，并根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，擬合出比較接近實(shí)際系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型建立（建模）的方法整理ppt

無(wú)論是用分析法還是用實(shí)驗(yàn)法建立模型，都存在模型精度和復(fù)雜性之間的矛盾。即描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性的數(shù)學(xué)模型越精確，則方程的階次越高，對(duì)系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)越困難。所以，在控制工程上總是在滿足分析精度要求的前提下，盡量使數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單，為此在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)常做許多假設(shè)和簡(jiǎn)化，最后得到的是有一定精度的近似模型。這點(diǎn)與其他課程不同。整理ppt單輸入單輸出線性定常集中參數(shù)連續(xù)系統(tǒng)微分方程的一般形式為：式中，c(t)是輸出量；r(t)是輸入量。為了所表示系統(tǒng)的可實(shí)現(xiàn)性，一般限定。

微分方程的一般形式二時(shí)域數(shù)學(xué)模型-微分方程整理ppt建立系統(tǒng)(或元件)的微分方程的一般步驟1、根據(jù)系統(tǒng)(或元件)的工作原理，確定其輸入量和輸出量；2、按照系統(tǒng)中元件所遵循的科學(xué)規(guī)律(物理或化學(xué)定律等)，圍繞輸入量、輸出量及有關(guān)中間量，列寫原始方程式，構(gòu)成微分方程組；3、消去中間變量，得到只含有輸出量和輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)的微分方程；4、標(biāo)準(zhǔn)化。整理ppt

例1對(duì)下圖RC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)，列寫以u(píng)i(t)為輸入量，uo(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程式。電氣系統(tǒng)整理ppt(1)由KVL，得又因?yàn)?2)消去中間變量i(t)(3)標(biāo)準(zhǔn)化解：整理ppt

例2對(duì)兩級(jí)RC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)，列寫以u(píng)i(t)為輸入量，uo(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程式。整理ppt對(duì)L1，由KVL得對(duì)L2，由KVL得列出各元件的輸入變量和輸出變量的關(guān)系式R1：R2：C1：C2：解：整理ppt或式中：整理ppt提醒注意上題中如果把第一級(jí)電路的輸出看作是第二級(jí)電路的輸入，直接利用例1的結(jié)論，可列方程如下：消去中間變量uc1(t)，得：原因：后級(jí)電路的電流i2影響前級(jí)電路的輸出電壓uc1(t)。負(fù)載效應(yīng)整理ppt機(jī)械系統(tǒng)

彈簧—質(zhì)量—阻尼器系統(tǒng)圖2-1表示一個(gè)彈簧—質(zhì)量—阻尼器系統(tǒng)。當(dāng)外力f(t)作用時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生位移y(t)，要求寫出系統(tǒng)在外力f(t)作用下的運(yùn)動(dòng)方程式。f(t)是系統(tǒng)的輸入，y(t)是系統(tǒng)的輸出。列出的步驟如下：（1）運(yùn)動(dòng)部件質(zhì)量用M表示.（2）列出原始方程式。根據(jù)牛頓第二定律，有：圖2-1彈簧—質(zhì)量—阻尼器系統(tǒng)整理ppt（3）f1(t)和f2(t)為中間變量，找出它們與其它因素的關(guān)系。阻尼器阻力與運(yùn)動(dòng)方向相反，與運(yùn)動(dòng)速度成正比，故有：式中f1(t)——阻尼器阻力；f2(t)——彈簧力。

(2.2)

式中B——阻尼系數(shù)。設(shè)彈簧為線性彈簧，則有：

f2(t)=Ky(t)(2.3)式中K——彈性系數(shù)。(2.1)

整理ppt

（4）將式(2.2)和式(2.3)代入式(2.1)，得系統(tǒng)的微分方程式:

式中M、B、K均為常數(shù)，此機(jī)械位移系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)。式(2.4)還可寫成:

(2.4)(2.4a)則有

(2.4b)令整理ppt機(jī)械力學(xué)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：相似系統(tǒng)便于用一個(gè)簡(jiǎn)單的系統(tǒng)去研究與其相似的復(fù)雜系統(tǒng)，也為控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)仿真提供了基礎(chǔ)。提醒注意兩級(jí)濾波電路網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型：相似系統(tǒng)整理ppt

例圖示為電樞控制式直流電機(jī)原理圖，設(shè)為電樞兩端的控制電壓，為電機(jī)旋轉(zhuǎn)角速度，為折合到電機(jī)軸上的總的負(fù)載力矩。當(dāng)激磁不變時(shí)，用電樞控制的情況下，為給定輸入，為干擾輸入，為輸出。系統(tǒng)中ed為電動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn)時(shí)電樞兩端的反電勢(shì)；為電動(dòng)機(jī)的電樞電流；為電動(dòng)機(jī)的電磁力矩。

機(jī)電系統(tǒng)微分方程：整理ppt(1)輸入變量為電壓；輸出變量為電機(jī)旋轉(zhuǎn)角速度;中間變量;(2)根據(jù)克希荷夫定律，電機(jī)電樞回路的方程為式中，L，R分別為電感與電阻。當(dāng)磁通固定不變時(shí)，與轉(zhuǎn)速成正比，即式中，為反電勢(shì)常數(shù)。這樣（2.1.5）式為根據(jù)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)方程為(2.1.5)(2.1.6)(2.1.7)整理ppt

式中，J為轉(zhuǎn)動(dòng)部分折合到電動(dòng)機(jī)軸上的總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。當(dāng)激磁磁通固定不變時(shí)，電動(dòng)機(jī)的電磁力矩與電樞電流成正比。即式中，km為電動(dòng)機(jī)電磁力矩常數(shù)（3）消除中間變量將（2.1.8）式代入（2.1.7）式得上式略去了與轉(zhuǎn)速成正比的阻尼力矩。應(yīng)用（2.1.6）式和（2.1.9）式消去中間變量ia，可得令，則上式為

式（2.1.11）即為電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型。由式可見，轉(zhuǎn)速ω既由ua控制，又受ML影響。(2.1.8)(2.1.9)

(2.1.10)

(2.1.11)整理ppt二．微分方程的增量化表示

前面從數(shù)學(xué)角度討論了系統(tǒng)的模型。下面是考慮工程實(shí)際進(jìn)一步討論模型。(1)電動(dòng)機(jī)處于平衡狀態(tài)，變量各階導(dǎo)數(shù)為零，微分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程：此時(shí)，對(duì)應(yīng)輸入輸出量可表示為：

則有這就是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)。

（2.1.12）

（2.1.13）整理ppt

（2）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)并不能長(zhǎng)期穩(wěn)定，閉環(huán)控制系統(tǒng)的任務(wù)就是要系統(tǒng)工作在穩(wěn)態(tài)。當(dāng)輸入量發(fā)生變化時(shí)，輸出量相應(yīng)變化，輸入輸出量可以記為：則式（2.1.11）可記為：考慮到，上式可變?yōu)?.14式的意義是：對(duì)于定值控制系統(tǒng)，總是工作在設(shè)定值即穩(wěn)態(tài)或平衡點(diǎn)附近，將變量的坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在該平衡點(diǎn)，則微分方程轉(zhuǎn)換為增量方程，它同樣描述了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，但它由于不考慮初始條件，求解及分析時(shí)方便了許多。

(2.1.14)整理ppt三．非線性微分方程的線性化某些非線性系統(tǒng)，可以在一定條件下，進(jìn)行線性化。圖2.1.3是一個(gè)液壓伺服系統(tǒng)，下面通過它討論線性化問題。整理ppt

(1)輸入變量為閥心位移x；輸出變量為活塞位移y;中間變量(2)按照液壓原理建立動(dòng)力學(xué)方程負(fù)載動(dòng)力學(xué)方程為流量連續(xù)性方程為q與p一般為非線性關(guān)系

(2.1.15)

(2.1.16)(2.1.17)整理ppt（3）線性化處理將(2.17)在工作點(diǎn)領(lǐng)域做泰勒展開，當(dāng)偏差很小時(shí)，可略去展開式的高階項(xiàng)，保留一次項(xiàng)，并取增量關(guān)系，有：式中則(2.18)可以寫成

當(dāng)系統(tǒng)在預(yù)定工作條件，，下工作即分別為q,x,p,故（2.1.19）可以寫為(2.1.18)

(2.1.19)

(2.1.20)整理ppt

（4）消除中間變量由(2.20)可得

整理后可得線性化后的動(dòng)力學(xué)方程為：(2.1.21)(2.1.22)整理ppt

圖2.1.4q,p,x三者線性關(guān)系整理ppt

小偏差線性化時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：（1）必須明確系統(tǒng)工作點(diǎn)，因?yàn)椴煌墓ぷ鼽c(diǎn)所得線性化方程的系數(shù)不同。本題中參數(shù)在預(yù)定工作點(diǎn)的值均為零

（2）如果變量在較大范圍內(nèi)變化，則用這種線性化方法建立的數(shù)學(xué)模型，在除工作點(diǎn)外的其它工況勢(shì)必有較大的誤差。所以非線性模型線性化是有條件的，即變量偏離預(yù)定工作點(diǎn)很小。（3）如果非線性函數(shù)是不連續(xù)的（即非線性特性是不連續(xù)的），則在不連續(xù)點(diǎn)附近不能得到收斂的泰勒級(jí)數(shù)，這時(shí)就不能線性化。（4）線性化后的微分方程是以增量為基礎(chǔ)的增量方程。整理ppt建立系統(tǒng)(或元件)的微分方程的一般步驟1、根據(jù)系統(tǒng)(或元件)的工作原理，確定其輸入量和輸出量；2、按照系統(tǒng)中元件所遵循的科學(xué)規(guī)律(物理或化學(xué)定律等)，圍繞輸入量、輸出量及有關(guān)中間量，列寫原始方程式，構(gòu)成微分方程組；3、消去中間變量，得到只含有輸出量和輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)的微分方程；4、標(biāo)準(zhǔn)化。小結(jié)