醫(yī)學(xué)高等數(shù)學(xué)課件-一元函數(shù)微分學(xué)

第二章微積分學(xué)的創(chuàng)始人:德國數(shù)學(xué)家Leibniz微分學(xué)導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢微分描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具(從微觀上研究函數(shù))一元函數(shù)微分學(xué)英國數(shù)學(xué)家Newton2.1導(dǎo)數(shù)的概念2.1.1引例2.1.2導(dǎo)數(shù)的定義2.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義2.1.4函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性的關(guān)系2.1.1引例1.變速直線運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為則到的平均速度為而在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為自由落體運(yùn)動(dòng)以自由落體運(yùn)動(dòng)為例，則物體在時(shí)刻t0

的瞬時(shí)速度為速度反映了路程對時(shí)間變化的快慢程度2.切線問題曲線在M

點(diǎn)處的切線割線MN

的極限位置MT(當(dāng)時(shí))割線MN

的斜率切線MT的斜率兩個(gè)問題的共性:瞬時(shí)速度切線斜率所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.2.1.2導(dǎo)數(shù)的定義定義1.

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在,并稱此極限為記作:則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義,在點(diǎn)處可導(dǎo),在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).(2-1)若上述極限不存在,在點(diǎn)不可導(dǎo).若也稱在注意:就說函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為無窮大.(2-1)(2-1)在上式中，令，則可得導(dǎo)數(shù)定義的等價(jià)形式：設(shè)函數(shù)f(x)在[x0,x0+

)內(nèi)有定義，若即極限存在，則稱a為f(x)在點(diǎn)x0處的右導(dǎo)數(shù).記為單側(cè)導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在(x0–

,

x0]內(nèi)有定義，若即極限存在，則稱a為f(x)在點(diǎn)x0處的左導(dǎo)數(shù).記為定理.函數(shù)在點(diǎn)且可導(dǎo)的充分必要條件是應(yīng)用情境：主要用于分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性判斷。導(dǎo)函數(shù)若

x(a,b),函數(shù)f(x)皆可導(dǎo)，則說f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).這時(shí)f(x)是關(guān)于x的一個(gè)新函數(shù)，稱之為f(x)在(a,b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，通常我們?nèi)苑Q之為f(x)在(a,b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)：記作:若f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且存在，則稱f(x)在[a,b]上可導(dǎo)，f

(x)稱為f(x)在[a,b]上的導(dǎo)函數(shù)。由定義求導(dǎo)數(shù)（三步法）步驟:例1：求函數(shù)y=x2的導(dǎo)函數(shù)y'，并計(jì)算x=2處的導(dǎo)數(shù)值。解：因此，例2：血藥濃度減少的問題：藥物一次靜脈注射后，時(shí)刻t的血藥濃度有以下規(guī)律：其中C0為靜脈注射后藥物達(dá)到擴(kuò)散平衡時(shí)的血藥濃度。k為參數(shù)，依賴于個(gè)體和藥物的特性，可有實(shí)驗(yàn)測定。求血藥濃度減少的瞬時(shí)速度。解：2.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義切線方程:法線方程:函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)f

(x0)就是對應(yīng)的平面曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,y0)處的切線的斜率k:曲線y=f(x)在點(diǎn)x0處的切線可能垂直于x軸、平行于x軸、或不存在，這些反映出的導(dǎo)數(shù)值是：切線平行于x軸：即k=tg

=0切線垂直于x軸：即k=tg

=，曲線為連續(xù)曲線;在點(diǎn)x0處無切線：f

(x0)不存在.

y

O

xx0

y=cf

(x0)=0

yO

xf

(x0)=

x0

O

xyx0

y

O

xx0例4.問曲線哪一點(diǎn)有垂直切線?哪一點(diǎn)處的切線與直線平行?寫出其切線方程.解:令得對應(yīng)則在點(diǎn)(1,1),(–1,–1)處與直線平行的切線方程分別為即故在原點(diǎn)(0,0)有垂直切線2.1.4函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理.證:設(shè)在點(diǎn)x

處可導(dǎo),存在,因此必有其中故所以函數(shù)在點(diǎn)x

連續(xù).注意:

函數(shù)在點(diǎn)x連續(xù)未必可導(dǎo).即例5解例6.已知y=a+bx,x≤0在x=0可導(dǎo)，求a,b之值.e-x,x>0解：

f(x)在x=0可導(dǎo)，

f(x)在x=0連續(xù)，f(0)=a又從而f(x)=1+bx,x≤0e-x,x>0故a=1.由可導(dǎo)性：故b=–1內(nèi)容小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:4.可導(dǎo)必連續(xù),但連續(xù)不一定可導(dǎo);5.