《經(jīng)濟應用數(shù)學》(謝金云 )教案 第12課-不定積分與定積分（二）

12第12第課不定積分與定積分（二）PAGE4不定積分與定積分（二）第不定積分與定積分（二）第課12PAGE5

課題不定積分與定積分（二）——認識定積分課時2課時（90min）教學目標知識技能目標：1、理解定積分的概念，同時掌握定積分的性質(zhì)。2、掌握定積分的換元積分法并學會用積分換元法計算定積分。3、掌握定積分的分部積分法并學會用分部換元法計算定積分。思政育人目標：通過利用定積分解決實際問題，使學生體會到數(shù)學是源于生活的，是對實際問題的抽象產(chǎn)生的，不是脫離實際生活的；培養(yǎng)學生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；引導學生運用所學知識揭示生活中的奧秘，在實踐中深化認識，達到學以致用的目的教學重難點教學重點：1、定積分的性質(zhì)3、定積分的換元積分法與分部積分法教學難點：定積分的換元積分法與分部積分法教學方法講授法、問答法、討論法、演示法、實踐法教學用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學設計第1節(jié)課：課堂測驗（15min）第2節(jié)課：課堂測驗（10min）課堂小結（5min）教學過程主要教學內(nèi)容及步驟教學過程第一節(jié)課考勤

（2min）【教師】清點上課人數(shù)，記錄好考勤【學生】班干部報請假人員及原因培養(yǎng)學生的組織紀律性，掌握學生的出勤情況知識講解

（28min）【教師】講解曲邊梯形的面積，引出定積分的概念定義1如圖4-4所示，設函數(shù)在上連續(xù)，則曲線、直線、直線及軸所圍成的平面圖形稱為曲邊梯形，其中軸上的區(qū)間稱為底邊，曲線弧邊稱為曲邊．非均勻累積法．該方法的具體步驟如下．（1）圖4-5（2）取近似在每個小區(qū)間上任取一點，則小曲邊梯形的面積近似于以為高的小矩形面積，即．（3）作和將上述個小矩形面積加起來，得曲邊梯形面積的近似值，即．（4）求極限設所有小區(qū)間的最大長度為，即，則當分點無限增加時，即當時，和式的極限就是曲邊梯形的面積，即可見，曲邊梯形的面積是一個“和的極限”．【學生】掌握曲邊梯形的面積，并通過例題學習曲邊梯形面積的用法【教師】講解定積分的概念1．定積分的定義定義2設函數(shù)在上有界，任取分點在每個小區(qū)間

上任取一點，得相應的函數(shù)值，作乘積，并作和．令，當時，若的極限存在，則稱函數(shù)在上可積，且稱此極限為函數(shù)在上的定積分，記作，其中稱為被積函數(shù)，稱為被積表達式，稱為積分變量，稱為積分區(qū)間，和分別稱為積分下限和積分上限，讀作“從到的定積分”．2．定積分的幾何意義（1）如圖4-6所示，當時，定積分表示曲線、直線、直線及軸所圍成曲邊梯形的面積，即．（2）如圖4-7所示，當時，曲邊梯形位于軸下方，定積分表示曲邊梯形面積的相反數(shù)，即．（3）如圖4-8所示，若在區(qū)間上有正有負，則定積分表示曲線在軸上方與軸下方的曲邊梯形各部分面積的代數(shù)和，即．圖4-8綜上所述，可知．【學生】掌握定積分的概念【教師】講解定積分的性質(zhì)，并通過例題講解介紹其應用性質(zhì)1（逐項積分性）函數(shù)和（差）的定積分等于它們定積分的和（差），即．以上性質(zhì)可推廣到多個函數(shù)的情形．性質(zhì)2（常數(shù)提取性）被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號前面，即．性質(zhì)3（分段可加性）如果將區(qū)間分成兩個子區(qū)間和，那么．在以上性質(zhì)中，無論，，的相對位置如何，等式均成立．性質(zhì)4（積分單調(diào)性）在區(qū)間上，若恒有，則；若恒有，則．性質(zhì)5（換限變號性）互換積分上下限，積分變號；上下限相同，積分為零，即，．根據(jù)定積分的幾何意義及以上性質(zhì)，可得到下述定理．定理1（奇偶函數(shù)的定積分）設在區(qū)間上連續(xù)，（1）如圖4-9所示，若為奇函數(shù)，則；（2）如圖4-10所示，若為偶函數(shù)，則．【學生】掌握定積分的性質(zhì)，并通過例題學習不定積分公式的用法學習定積分的概念與性質(zhì)。邊做邊講，及時鞏固練習，實現(xiàn)教學做一體化課堂測驗

（15min）【教師】出幾道題目，測試一下大家對所學知識的掌握情況【學生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，每組指定一名答題準確率最高的同學，輔導本組的未答對同學掌握答題知識，實現(xiàn)組內(nèi)互助【學生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學生對知識點的掌握情況，加深學生對本節(jié)課知識的印象第二節(jié)課知識講解

（30min）【教師】講解牛頓-萊布尼茨公式，并用實際案例加深學生的理解定理1上的一個原函數(shù)，即，則．上式稱為牛頓-萊布尼茨公式，也稱為微積分基本公式．從微積分基本公式中可以看出，要計算定積分，只要求出被積函數(shù)在區(qū)間上的一個原函數(shù)，然后計算上限、下限的函數(shù)值之差即可，這就是定積分的直接積分法．【學生】掌握牛頓-萊布尼茨公式【教師】講解定積分的換元積分法，并用實際案例加深學生的理解定理2設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且函數(shù)滿足以下條件，（1）在區(qū)間上單調(diào)且有連續(xù)導數(shù)；（2）當在上變化時，在上變化，且，，則有．上式稱為定積分的換元積分公式，用該式求定積分的方法稱為換元積分法．它屬于非線性換元積分法．【學生】掌握定積分的換元積分法，并通過例題學習分部積分法的用法【教師】講解定積分的分部積分法，并用實際案例加深學生的理解定理3設，在區(qū)間上都有連續(xù)導數(shù)，則．上式稱為定積分的分部積分公式，用該式求定積分的方法稱為定積分的分部積分法．例8計算．解．【學生】掌握定積分的分部積分法，并通過例題學習分部積分法的用法學習牛頓-萊布尼茨公式、定積分的換元積分法與分部積分法。邊做邊講，及時鞏固練習，實現(xiàn)教學做一體化課堂測驗

（10min）【教師】出幾道題目，測試一下大家對所學知識的掌握情況【學生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過程【學生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學生對知識點的掌握情況，加深學生對本節(jié)課知識的印象課堂小結

（5min）【教師】簡要總結本節(jié)課的要點本節(jié)課上大家掌握了曲邊梯形的面積、定積分的概念與性質(zhì)，同時也學習了牛頓-萊布尼茨公式、定積分的換元積分法與分部積分法。課后要多加練習，鞏固認知。【學生】總結回顧知識點【教師】布置作業(yè)：習題4.3、4.4總結知識點，鞏固印象教學反思通過復習發(fā)現(xiàn)學生有很多知識已經(jīng)淡忘，教師還要多與學生進行深入的溝通