數(shù)值計算實驗報告簡要

PAGEPAGE1數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院實驗報告實驗項目名稱方程求根所屬課程名稱數(shù)值方法B實驗類型驗證實驗日期2013-12-4班級數(shù)學(xué)1102班學(xué)號201164100207姓名呂立婷成績實驗三方程求根一、實驗概述：【實驗?zāi)康摹空莆誐ATLAB基本知識，能夠編寫簡單程序；熟練掌握用迭代法和牛頓法求非線性方程問題?！緦嶒炘怼糠匠糖蟾卸喾N方法，分別為根的搜索法，迭代法，Newton法，弦截法，拋物法，代數(shù)方程求根法。其中，最重要的要屬迭代法和Newton法，這兩種方法為我們提供了行之有效的為我們提供了求解一般方程的方法。迭代法考慮方程（1）這種方程是隱式的，因而不能直接求解。但如果給出根的某個猜測值，將它代入（1）式的右端，即可求得。然后作為新的猜測值，進一步得到。如此反復(fù)迭代。上訴迭代法時一種逐次逼近法，其基本思想是想將上訴隱式方程（1）歸結(jié)為一組顯示的計算公式（2）即，迭代過程實質(zhì)上是一個逐步顯化的過程。如果按公式（2）確定的數(shù)列有極限，則稱迭代過程(2)收斂。這時極限值顯然就是方程（1）的根。設(shè)是根的某個預(yù)測值，用迭代公校正一次得，而由微分中值定理有，其中介于與之間。假定改變不大，近似地取某個近似值，則由得?？梢云谕?，按上式右端求得的是比更好的近似值。將每得到一次改進算作一步，并用和分別表示第步的校正值和改進值，則加速迭代計算方案刻表述如下：校正，改進。（3）Newton法運用前述加速技巧，對迭代過程（4）其加速公式（3）具有以下形式：記，上面兩個式子可以合寫成這種迭代公式通常稱為簡化的Newton公式，其相應(yīng)的迭代函數(shù)是。（5）如果用代替（5）式的，則得到如下形式的迭代函數(shù)：，其相應(yīng)的迭代公式就是著名的Newton公式。對于迭代過程（2），如果在所求根的鄰近連續(xù)，并且則該迭代過程在點鄰近是階收斂的?！緦嶒灜h(huán)境】硬件環(huán)境:Intel(R)Core(TM)i5-2400CPU@3.10GHz3.09GHz,3.16GB的內(nèi)存軟件環(huán)境:MATLAB7.0Microsoftword2007二、實驗內(nèi)容：【實驗方案】方案一：1、驗證迭代法求解教材p141例題6.3求方程x3-x-1=0在x0=1.5附近的根；2、牛頓法求解教材P150例題6.7求方程xex-1=0在取初值x0=0.5的根。方案二：1、用迭代法求方程2x3-x-1=0的在初值x0=0根；分別選取迭代函數(shù)為x=和x=求解。分析比較迭代函數(shù)選取的不同對收斂性的影響；2、用牛頓法求x3-x-1=0在x0=1.5和x0=0附近的根，迭代10次。分析比較初值的選取對迭代法的影響?！緦嶒炦^程】（實驗步驟、記錄、數(shù)據(jù)、分析）（1）用迭代法求方程在初值根；分別選取迭代函數(shù)為和求解。得到迭代方程組和迭代方程組分析比較迭代函數(shù)選取的不同對收斂性的影響：迭代次數(shù)精確解000110.7937-120.9644-330.9940-5540.9990-.3328e650.9998-.7369e1761.0000-.8002e51由上表可知不同的迭代函數(shù)會對求解近似根的結(jié)果產(chǎn)生不同的影響，對于迭代函數(shù)，當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到6時，所求解的近似根達(dá)到要求，而對于迭代函數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)無論迭代多少次都不可能得到我們所希望的結(jié)果，迭代一次時近似解就明顯的偏離了精確解，迭代次數(shù)越多，所求解就越偏離精確解。由此可見，對于迭代法迭代函數(shù)的選取對于最終的求解結(jié)果有著至關(guān)重要的作用，適當(dāng)選取迭代函數(shù)是十分有必要的。用牛頓法求在和附近的根，迭代10次。得到迭代方程組其中分析比較初值的選取對迭代法的影響：迭代次數(shù)初值x0=1.5初值x0=0精確解01.501.3247211.35721121.330861.2599231.325881.3122941.324941.3223551.324761.3242761.324731.3246371.324721.3247081.324721.3247191.324721.32472101.324721.32472由上表可知，對于牛頓法初值的選取的不同會對實驗結(jié)果產(chǎn)生不同的影響。當(dāng)選取x0=1.5為初值時，迭代到第7次就可以達(dá)到要求，而對于初值為x0=0的情況，當(dāng)?shù)降?次時才達(dá)到實驗要求，又從可以看出初值的選取的不同會對牛頓法產(chǎn)生一定的影響。牛頓法具有局部收斂的的性質(zhì)，它的收斂性依賴于初值的選取x0，若x0離精確解比較遠(yuǎn)，則牛頓法可能發(fā)散?！緦嶒灲Y(jié)論】（結(jié)果）1.1T=1.32472ans=[1.35721,1.33086,1.32588,1.32494,1.32476,1.32473,1.32472,1.32472]1.2T=0.56714ans=[.57102,.56716,.56714,.56714,.56714]2.1T=1.00000ans=[0.793701,0.964362,0.994025,0.999003,0.999834,0.999972]ans=[-1.00000,-3.00000,-55.0000,-332751,-0.736865e17,-0.800192e51]2.2T=1.32472ans=[1.35721,1.33086,1.32588,1.32494,1.32476,1.32473,1.32472,1.32472,1.32472,1.32472]ans=[1.00000,1.25992,1.31229,1.32235,1.32427,1.32463,1.32470,1.32471,1.32472,1.32472]【實驗小結(jié)】（收獲體會）方程求根有多種方法，重點是迭代法和Newton法。Newton是一種行之有效的迭代法，在單根附近有較高的收斂速度。應(yīng)用Newton法的關(guān)鍵在于選取足夠精確地初值。如果初值選取不當(dāng)，則Newton法可能發(fā)散。Newton法的另一個局限性是要求計算導(dǎo)數(shù)值。如果函數(shù)的形式復(fù)雜而不便于求導(dǎo)，則可用導(dǎo)數(shù)的估值或差商代替導(dǎo)數(shù)，而得出簡化的Newton法或近似地Newton法。而且不同的迭代函數(shù)會對求解近似根的結(jié)果產(chǎn)生不同的影響。迭代次數(shù)越高，誤差越小。附錄1：源程序（填寫源程序）1、functionf=f1(x)f=x-(x-exp(-x))/(1+x);end2、functionf=f2(x)f=((x+1)/2)^(1/3);end3、functionf=f3(x)f=2*x^3-1;end4、clearallclct=fzero('x^3-x-1',1.5);T=vpa(t,6)%迭代格式x0=1.5;n=8;x=zeros(1,n);x(1)=(x0+1)^(1/3);fork=1:n-1x(k+1)=(x(k)+1)^(1/3);endvpa(x,6)5、clearallclct=fzero('x*exp(x)-1',0.5);T=vpa(t,5)%迭代格式x0=0.5;n=5;x=zeros(1,n);x(1)=f1(x0);fork=1:n-1x(k+1)=f1(x(k));endvpa(x,5)6、clearallclct=fzero('2*x^3-x-1',0);m=6;T=vpa(t,m)%迭代格式x0=0;n=6;x1=zeros(1,n);x1(1)=f2(x0);fork=1:n-1x1(k+1)=f2(x1(k));endx2=zeros(1,n);x2(1)=f3(x0);fork=1:n-1x2(k+1)=f3(x2(k));endvpa(x1,m)vpa(x2,m)7、clearallclct=fzero('x^3-x-1'