暑假特訓：有理數(shù)的運算

有理數(shù)的運算（3）有理數(shù)的混合運算一有理數(shù)的混合運算——簡便運算技巧（1）“算對與算巧”求的和，從左到右逐次相加似乎很安穩(wěn)的事，其實這樣算下來不僅工作量很大，而且運算的次數(shù)太多，出錯的可能性也大，聰明的高斯沒有這樣做，他把這個算式頭尾倒過來寫成然后將兩個式子的對應(yīng)項相加得到100個101，101乘100再除以2便得到所求的和。這樣不但算得對，而且算得快，這是一個膾炙人口的故事，它告訴我們數(shù)學運算不僅要算對更要算巧。二.重點、難點：有理數(shù)運算是代數(shù)中最基本的運算，若能根據(jù)題目特點靈活掌握運用一些技巧，不僅可提高運算速度和準確率，還可培養(yǎng)學生善于思考的好習慣，有利于思維能力的培養(yǎng)，現(xiàn)介紹幾種有理數(shù)運算中的解題技巧。三.基礎(chǔ)回顧：（1）有理數(shù)的運算法則：①加法法則：同號相加一邊倒，異號相加大減小，符號跟著大的跑。②減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。③乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。0乘任何數(shù)都得0。④除法法則：除以一個數(shù)等于乘上這個數(shù)的倒數(shù)。0不能作除數(shù)。⑤有理數(shù)的乘方運算：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)。（2）運算律：①加法交換律：a＋b＝b＋a。②加法結(jié)合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。③乘法交換律：ab＝ba。④乘法結(jié)合律：（ab）c＝a（bc）。⑤乘法對加法的分配律：a（b＋c）＝ab＋ac。（3）運算順序及注意事項：①有理數(shù)的加、減、乘、除四則混合運算，一定要先把減法改成加法，除法改成乘法。這樣可以防止出錯。②對含有三級運算的情況，按先乘方、開方，再乘除，最后加減的運算順序。同級運算從左到右依次運算。有括號時按小、中、大括號順序進行，有時也可靈活去括號。③應(yīng)注意靈活運用運算律，使計算簡便化，對互為相反數(shù)其和為零的要優(yōu)先解決。【典型例題】一.符號與括號有理數(shù)運算是代數(shù)入門的重點，又是難點，怎樣突破這一難點，除了要正確理解概念和掌握運算法則外，還必須熟練有理數(shù)運算的一些技巧和方法，由于負數(shù)的引入，符號“＋”與“－”具有了雙重涵義，它既是表示加法與減法的運算符號，也是表示正數(shù)與負數(shù)的性質(zhì)符號，因此進行有理數(shù)運算時，一定要正確運用有理數(shù)的運算法則和運算律，去掉或者添上括號，以此來改變運算的次序，從而使復雜問題變得較簡單，在此應(yīng)特別注意去添括號時符號的變化。例1.計算分析：不難看出這個算式的規(guī)律是任何相鄰兩項之和或為1或為－1，如果按照將第一與第二項，第三與第四項，……，分別配對的方式計算，就能得到一系列的－1。解：下面需對n的奇偶性進行討論：當n為偶數(shù)時，上式是個（－1）的和，即；當n為奇數(shù)時，上式是個（－1）的和，再加上最后一項，所以有說明：兩種情況可以合并為：二.巧添輔助數(shù)例2.計算：解：原式三.巧用整體例3．購買5種物品，，，，的件數(shù)和用錢總數(shù)列成下表：那么，購買每種物品各一件共需多少元？解：由已知表格：購買1件，3件，4件，5件，6件共需1995元；所以購買2件，6件，8件，10件，12件共需2×1995元；又因為購買1件，5件，7件，9件，11件共需2984元；所以購買每種物品各一件共需2×1995－2984＝1006（元）說明：設(shè)購買物品i＝1，2，3，4，5則，①②由2×①－②得需要指出的是：我們無法計算每個，但我們能巧算出這個整體，整體思維常常會幫助我們算對，算快和算得巧妙。四.巧用湊整運算例4.計算：解：原式五.巧用公式例5.計算：解：原式說明：平方差公式：例6.計算：解：原式說明：立方差公式：立方和公式：完全平方公式：，六.巧用拆項法例7.（第六屆“祖沖之杯”數(shù)學競賽題）計算＝________分析：直接計算難上加難。應(yīng)考慮運用拆項法消去部分項，從而使運算簡單易行。利用上面介紹的反序相加法，不難求得最后兩項為，，而，同理，，那么本題就不難解決了。解：原式＝＝說明：形如的分數(shù)，可以拆成的形式。例8.解：應(yīng)用關(guān)系式來進行“拆項”。原式有理數(shù)混合運算二有理數(shù)的混合運算——簡便運算技巧（2）二.重點、難點：有理數(shù)運算是中學數(shù)學中一切運算的基礎(chǔ)，準確地理解有理數(shù)相關(guān)的概念，以及它的運算法則、公式，并且善于根據(jù)所給題目要求，將推理與計算相結(jié)合，靈活巧妙地選擇簡捷的算法，可以很好地提高思維的敏捷性。將現(xiàn)實中的問題與學習中的知識相結(jié)合，并合理的解決它，你會發(fā)現(xiàn)數(shù)學的很多樂趣。三.我們的目標：當我們認識了零、負整數(shù)和負分數(shù)后，就引出了有理數(shù)的概念。整數(shù)（正整數(shù)、零、負整數(shù)）和分數(shù)（正分數(shù)、負分數(shù)）統(tǒng)稱有理數(shù)，任何一個有理數(shù)都可以表示為一個既約分數(shù)均為整數(shù)且互素）。并且，有理數(shù)可以比較大小，有理數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）仍為有理數(shù)，任意兩個有理數(shù)之間都有無窮個有理數(shù)，有理數(shù)運算是中學數(shù)學中一切運算的基礎(chǔ)，它要求同學們在理解有理數(shù)的有關(guān)概念、法則的基礎(chǔ)上，能根據(jù)法則，公式等正確、迅速地進行運算，同時還要善于根據(jù)題目條件，將推理與計算相結(jié)合，靈活巧妙地選擇合理的簡捷的算法解決問題，從而提高運算能力，發(fā)展思維的敏捷性與靈活性?！镜湫屠}】一.巧用錯位相減例1.；解：∴原式或者用下面的“錯位相減法”求和。令，則將這兩式錯位相減得即再將這兩式錯位后式減去前式得二.巧用分析法例2.解：考察第n項n（n+1）如何分析，仔細觀察后會發(fā)現(xiàn)：∴原式說明：分析和錯位相減是有理數(shù)運算中常用的技巧，在解題中應(yīng)注意總結(jié)歸納規(guī)律，力求靈活應(yīng)用。三.巧換元例3.計算：解：設(shè)，則原式例4.；解：直接計算較繁，仔細觀察分母中涉及到三個連續(xù)整數(shù)：12345，12346，12347，可設(shè)字母n=12346，那么12345=n-1，12347=n+1，于是分母變?yōu)椋丛椒帜傅闹凳??！嘣?24690。四.巧相約例5.計算：解：原式五.巧用倒序配對例6.計算：解：設(shè)原式，對括號內(nèi)各項倒序排列后，再設(shè)，則：所以所以原式六.巧用倒數(shù)法例7.計算分析：因為與互為倒數(shù)，而比較容易計算，故此題只需先計算出后部分的結(jié)果即可。解：因為∴原式有理數(shù)的運算（4）準確數(shù)和近似數(shù)及計算器的使用重點、難點：1.了解近似數(shù)與有效數(shù)字的概念，會根據(jù)預(yù)定精確度取近似數(shù)值。2.會用計算器進行混合運算。3.利用計算器探索規(guī)律，以及解決簡單的實際問題。掌握要點：（一）知識要點1.近似數(shù)與準確數(shù)；與實際接近的數(shù)稱為近似數(shù)；與實際情況完全符合的數(shù)叫做準確數(shù)。2.一個近似數(shù)，由四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位。3.有效數(shù)字：一個近似數(shù)從左邊第一個不是0的數(shù)字起，到末位數(shù)字為止，所有的數(shù)字都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。［重要提示］1.取某數(shù)的近似數(shù)常見的有兩種辦法：（1）精確到某位或精確到小數(shù)點后某位；（2）保留幾個有效數(shù)字。2.注意：近似數(shù)中后面的0不能省略不寫，如3.78與3.780是不同的，它們的精確度不同。對一個數(shù)取不同的近似數(shù)，有效數(shù)字個數(shù)越多，精確度越高。3.確定有效數(shù)字，一般要分兩步：第一步，從左邊第一個不是0的數(shù)字數(shù)起；第二步，一直數(shù)到這個近似數(shù)的末位為止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字：即左邊的0不是有效數(shù)字，中間和右邊的0都是有效數(shù)字，如：0.0010100有5個有效數(shù)字。4.對較大的數(shù)取近似值時，結(jié)果一般要用科學記數(shù)法來表示。［典型例題］例1.已知圓周率π＝3.14159265………（1）求π精確到千分位的近似數(shù)，并指出這個近似數(shù)的有效數(shù)字；（2）早在南北朝時期，我國著名的數(shù)學家祖沖之就得到了圓周率的約率是，密度是，它們分別精確到小數(shù)點后第幾位？有幾個有效數(shù)字？分析：本題是考察對有效數(shù)字的概念的掌握情況，（2）中應(yīng)把和化成小數(shù)，與π值進行比較后才能知道具體精確的位數(shù)。解：（1）π3.142，它有4個有效數(shù)字，是3，1，4，2；（2）＝3.1428……，與π＝3.14159265………相比可知，精確到小數(shù)點后第2位，有3個有效數(shù)字。＝3.14159292……，與π＝3.14159265………相比可知，精確到小數(shù)點后第6位，有7個有效數(shù)字。反思：按四舍五入取近似數(shù)時，要精確到某一位，就是把這一位的后面一位數(shù)字四舍五入，而有效數(shù)字是從左邊第一個不是0的數(shù)字算起，到最后一位數(shù)字為止的所有數(shù)字（包括0）。例2.張華在體檢時，量得身高為1.70米，他在登記時寫得是1.7米，測量結(jié)果與登記數(shù)是否一致？為什么？解：不一致，1.70米表示測量結(jié)果精確到小數(shù)后第2位，0是估計位，有3個有效數(shù)字；而1.7米只精確到小數(shù)點后1位，7是估計位，只有2個有效數(shù)字，精確度是不一樣的。反思：由四舍五入得到的近似數(shù)末位數(shù)字是0時，不能將0隨便去掉，否則精確度將降低。例3.下列由四舍五入得到的近似數(shù)，各精確到哪一位，各有哪幾個有效數(shù)字？（1）6.208（2）0.05070（3）45.3萬（4）91.2010分析：一個數(shù)的最右邊的末位處于哪一位就說它精確到哪一位；從左邊第一個不是0的數(shù)字起，到近似數(shù)最右邊的末位數(shù)字為止，所有的數(shù)字都是有效數(shù)字。解：（1）6.208精確到千分位，有四個有效數(shù)字是6、2、0、8；（2）0.05070精確到十萬分位，有四個有效數(shù)字是5、0、7、0；（3）45.3萬精確到千位，有三個有效數(shù)字是4、5、3；（4）91.2010精確到百位，有四個有效數(shù)字是9、1、2、0。反思：（1）近似數(shù)0.05070與近似數(shù)0.0507意義不同，0.05070是精確到十萬分位，有四個有效數(shù)字，而0.0507精確到萬分位，只有三個有效數(shù)字；同理45.3萬和453000的意義也不同，45.3精確到千位，有三個有效數(shù)字，而453000精確到個位，有六個有效數(shù)字。（2）注意千萬不能把45.3萬說成是精確到十分位，因為3是千位上的數(shù)，就應(yīng)說成是精確到千位，同理91.2010也不能說成是精確到百分位。例4.按括號內(nèi)的要求，求下列各數(shù)的近似數(shù)。（1）0.28999（精確到十分位）；（2）70.395（精確到0.01）；（3）0.130496（保留三個有效數(shù)字）；（4）2004000（保留四個有效數(shù)字）；分析：四舍五入法取近似值是根據(jù)要求精確到哪一位，只看這一位的下一位是否大于或等于5，來決定是“舍”還是“入”的。解：（1）0.289990.3；（2）70.39570.40；（3）0.1304960.130（4）20040002.004106反思：（1）用四舍五入法取近似值，一定要按題目要求精確到哪一位，然后只看這一位的下一位來決定是“舍”還是“入”的，如第（3）小題就看“4”來決定“舍入”，對后面的數(shù)字一概不理。（2）對比較大的數(shù)取近似值時，經(jīng)常用科學記數(shù)法來表示，如第（4）小題。（二）知識要點1.電子計算器的特點：運算速度快，操作簡便，體積小等。2.電子計算器的種類：按功能分為簡單計算器、科學計算器、圖形計算器。3.電子計算器的面板的組成：鍵盤和顯示器。4.計算器鍵盤的每個鍵上都標有這個鍵的功能。［重要提示］1.有些鍵的上邊還注明這個鍵的其他功能（稱為第二功能）。這個功能通常用不同的顏色標明以區(qū)別于這個鍵的第一功能，如按一下＝鍵，計算器直接執(zhí)行第一功能，即完成運算或執(zhí)行指令；如先按Shift鍵，再按＝鍵，執(zhí)行第二功能，即執(zhí)行百分率計算。2.各種類型的計算器在使用時，按鍵的方法不盡相同，但在進行加、減、乘、除四種運算的按鍵方法通常是一樣的。［典型例題］例1.用計算器求：（1）（448＋506－36.5）÷5（2）（4.21－2.89）－2.14分析：（1）應(yīng)按3ab/c4，2.1應(yīng)按2.1y4。（2）在進行混合運算時，輸入時不必考慮運算順序，計算器依照程序會按運算順序進行運算。解：（1）按鍵順序是（448＋506–36.5）÷5＝，這時計算器顯示的結(jié)果為183.5；（2）按鍵順序是3ab/c4（4.21－2.89）–2.1y4＝，這時計算器顯示的結(jié)果為－18.4581。反思：在使用計算器時應(yīng)注意以下幾點：（1）計算開始時，按開啟鍵，停止使用時，要注意按關(guān)閉鍵；（2）按下數(shù)字鍵后，應(yīng)立即看看顯示器上的顯示是否正確；按下運算鍵指令鍵后，要注意顯示的數(shù)是否有一下閃動，若無閃動，說明可能鍵未按到底；（3）每次運算前，需按一下清零鍵。例2.凌志中學舉行慶“五·一”演講比賽，由7位評委為每一名學生的演講分別打分，評分方法是：去掉一個最高分和一個最低分，將其余成績的平均分作為這名學生的最后得分。小紅演講后，評委打分如下：9.65，9.78，9.74，9.70，9.89，9.69，9.75，求小紅的最后得分。分析：可按下列步驟進行：①確定最高分9.89與最低分9.65，并將它們?nèi)サ?；②列出算式；③用計算器進行計算。解：算式為（9.78＋9.74＋9.70＋9.69＋9.75）÷5按法1：按鍵順序是（9.78＋9.74＋9.7＋9.69＋9.75）÷5，此時顯示器上顯示為9.732。按法2：按鍵順序是（·78＋·74＋·70＋