全等三角形專題：構(gòu)造全等三角形方法總結(jié)中學(xué)課件

+∠4=2∠B〔三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和〕∴∠C=2+∠4=2∠B〔三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和〕∴∠C=2∠B〔等量代換〕法二：延長(zhǎng)ACC到F，連接EF交BC于M，且EM＝FM試說明線段BE與CF相等的理由．A簡(jiǎn)析由于BE與CF的位置較D與AC+CD的大?。瓵簡(jiǎn)析由于AD⊥BC，所以可在BD上截取DE＝DC，于是可得△ADE≌△ADCD和△BCD中BF=BC〔已知〕∠1=∠2〔已證〕BD=BD〔公共邊〕∴△BFD≌△BCD〔〕∴∠AAEFCDGB.利用三角形的中線來(lái)構(gòu)造全等三角形〔倍長(zhǎng)中線法〕利用三角形的中線來(lái)構(gòu)造全等三角形〔倍長(zhǎng)中線法〕試說明線段AC與BF相等的理由．簡(jiǎn)析由于AD是中線，于是可延長(zhǎng)AD到G，使DG＝AD，連結(jié)BG，則說明要說明線段或角相等，通常的思路是說明它們所在的兩個(gè)三角形全等，而遇到中線時(shí)又通常通過延長(zhǎng)中線來(lái)構(gòu)造全等三角形．利用三角形的角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形利用三角形的角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形法一：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC。在AB上截取AE=AC，連結(jié)DE?！部梢岳媒瞧椒志€所在直線作對(duì)稱軸，翻折三角形來(lái)構(gòu)造全等三角形?！撤ǘ喝鐖D，在△ABC中，AD平分∠BAC。延長(zhǎng)AC到F，使AF=AB，連結(jié)DF。法三：在△ABC中，AD平分∠BAC。作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。(可以利用角平分線所在直線作對(duì)稱軸，翻折三角形來(lái)構(gòu)造全等三角形)一：證明：在AB上截取AE一：證明：在AB上截取AE，使AE=AC，連結(jié)DE?！逜D是∠BAC的角平分線〔已知〕∴∠1=∠2〔CD是Rt△在Rt△NAD和Rt△MCD中∵ND=MD〔已證〕AD=CD〔已知〕∴Rt△NAD≌Rt明：延長(zhǎng)AE，交直線PQ于點(diǎn)F。法二：延長(zhǎng)BA到點(diǎn)G，使得AG=AD，連結(jié)EG。法三：延長(zhǎng)BA到點(diǎn)G．AP′PC圖4...利用利用平行線構(gòu)造全等三角形△ABC中，AB＝AC，E是AB上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)A.〔還可以用“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等”來(lái)證DM=DN〕2、已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD是∠ABC的角平分線，AD=CD，求證：∠A+∠C=180°法一：證明：在BC上截取BE，使BE=AB，連結(jié)DE。∵BD是∠ABC的角平分線〔已知〕在△ABD和△EBD中BD=BD〔公共邊〕∴△ABD≌△EBD〔〕法二：延長(zhǎng)BA到F，使BF=BC，連結(jié)DF?！連D是∠ABC的角平分線〔已知〕在△BFD和△BCD中BF=BC〔已知〕BD=BD〔公共邊〕∴△BFD≌△BCD〔〕法三：作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于N。∵BD是∠ABC的角平分線〔已知〕∵DN⊥BA，DM⊥BC〔已知〕∴∠N=∠DMB=90°〔垂直的定義〕在△NBD和△MBD中∵∠N=∠DMB〔已證〕BD=BD〔公共邊〕∴△NBD≌△MBD〔〕∴ND=MD〔全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等〕∵DN⊥BA，DM⊥BC〔已知〕∴△NAD和△MCD是Rt△∵ND=MD〔已證〕個(gè)角的兩邊距離相等〕∵DN⊥BA，個(gè)角的兩邊距離相等〕∵DN⊥BA，DM⊥BC〔已知〕∴△NAD和△MCD是Rt△在Rt△NAD和RtF=DC〔已證〕∴∠4=∠F〔等邊對(duì)等角〕∵∠F＝∠C〔已證〕∴∠4=∠C〔等量代換〕∵∠3+∠4＝ED說明利用三角形高的性質(zhì)，在幾何解題時(shí)，可以高線為對(duì)稱軸構(gòu)造全等三角形求解．利用特殊圖形可通過旋轉(zhuǎn)一：證明：在AB上截取AE，使AE=AC，連結(jié)DE。∵AD是∠BAC的角平分線〔已知〕∴∠1=∠2〔B.法四：作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于N。∵BD是∠ABC的角平分線〔已知〕DN⊥BA，DM⊥BC〔已知〕∴△NAD和△MCD是Rt△∵ND=MD〔已證〕〔全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等〕利用高可以高線為對(duì)稱軸構(gòu)造全等三角形3、在△ABC中，AD⊥BC，若∠C＝2∠B．試比較線段BD與AC+CD的大小．A簡(jiǎn)析由于AD⊥BC，所以可在BD上截取DE＝DC，于是可得△ADE≌△ADC〔SAS〕，所以AE＝AC，∠AED＝∠C，又∠C＝2∠B，所以∠AED＝2∠B，而∠AED＝∠B+∠BAE，即∠B＝∠BAE，所以BE＝AE＝AC，所以BD＝BE+DE＝AE+DE＝AC+BCD．CED說明利用三角形高的性質(zhì)，在幾何解題時(shí)，可以高線為對(duì)稱軸構(gòu)造全等三角形求解．利用特殊圖形可通過旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造全等三角形4、設(shè)點(diǎn)P為等邊三角形ABC內(nèi)任一點(diǎn)，試比較線段PA與PB+PC的大?。?jiǎn)析由于△ABC是等邊三角形，所以可以將△ABP繞點(diǎn)A旋說明由于圖形旋轉(zhuǎn)的前后，只是位置發(fā)生了變化，而形狀和大小都沒有改變，所以對(duì)于等邊三角形、正方形等特殊的圖形我們可以利用旋轉(zhuǎn)的方法構(gòu)造全等三角形來(lái)解題．AP′PC中，因?yàn)镻P′＜PC+P′C中，因?yàn)镻P′＜PC+P′C，所以PA＜PB+PC．說明由于圖形旋轉(zhuǎn)的前后，只是位置發(fā)生了變化，而形)...〔還可以用“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等”來(lái)證DM=DN〕已知：如圖，在四邊形ABCD中D與AC+CD的大?。瓵簡(jiǎn)析由于AD⊥BC，所以可在BD上截取DE＝DC，于是可得△ADE≌△ADCE由于EM＝FM，∠EMD＝∠FMC，所以△EMD≌△FMC〔AAS〕，C所以ED＝CF，又因?yàn)锳B＝AC，所以∠B＝∠ACB，即∠B＝∠EDB，DM所以EB＝ED，所以BE＝CF．F說明這里通過輔助線將較散的結(jié)論相對(duì)集中，使求解的難度.利用利用平行線構(gòu)造全等三角形5、△ABC中，AB＝AC，E是AB上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)AC到F，連接EF交BC于M，且EM＝FM試說明線段BE與CF相等的理由．AED，所以過點(diǎn)E作ED∥CF，則∠EDB＝∠ACB，∠EDM＝∠FCM，B1、如圖，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AB=AC+CD，求證：∠C=2∠B法一：證明：在AB上截取AE，使AE=AC，連結(jié)DE。∵AD是∠BAC的角平分線〔已知〕在△AED和△ACD中∵AE=AC〔已知〕AD=AD〔公共邊〕∴△AED≌△ACD〔〕ED=CD〔全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等〕又∵AB=AC+CD=AE+EB〔已知〕∴EB=DC=ED〔等量代換〕∵∠3=∠B+∠4=2∠B〔三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和〕∴∠C=2∠B〔等量代換〕法二：延長(zhǎng)AC到F，使CF=CD，連結(jié)DF?！逜D是∠BAC的角平分線〔已知〕∵AB=AC+CD，CF=CD〔已知〕∴AB=AC+CF=AF〔等量代換〕在△ABD和△AFD中∵AB=AF〔已證〕∠1=∠2〔已證〕AD=AD〔公共邊〕〔SAS〕，所以AE〔SAS〕，所以AE＝AC，∠AED＝∠C，又∠C＝2∠B，所以∠AED＝2∠B，而∠AED＝∠B+狀和大小都沒有改變，所以對(duì)于等邊三角形、正方形等特殊的圖形我們可以利用旋轉(zhuǎn)的方法構(gòu)造全等三角形來(lái)解題散，故可考慮將線段CF平移到ED，所以過點(diǎn)E作ED∥CF，則∠EDB＝∠ACB，∠EDM＝∠FCM，AC+CD，CF=CD〔已知〕∴AB=AC+CF=AF〔等量代換〕在△ABD和△AFD中∵AB=AF.∴△ABD≌△AFD〔〕∵CF=CD〔已知〕∵∠ACB=2∠F〔三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和〕∴∠ACB=2∠B〔等量代換〕2、如圖，已知直線MN∥PQ，且AE平分∠BAN、BE平分∠QBA，DC是過E的任意線段，交MN于點(diǎn)D，交PQ