人教版八年級數(shù)學上冊 （最短路徑問題）軸對稱教育教學課件

課題學習最短路徑問題

講授新課牧人飲馬問題一“兩點的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱之為最短路徑問題.

現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑問題，本節(jié)將利用數(shù)學知識探究數(shù)學史的著名的“牧馬人飲馬問題”.AB①②③PlABCD已知：如圖，A，B在直線L的兩側，在L上求一點P，使得PA+PB最小。

連接AB,線段AB與直線L的交點P，就是所求ABlP為什么？問題1

相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？探索新知BAl精通數(shù)學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題．這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”．你能將這個問題抽象為數(shù)學問題嗎？BAl

這是一個實際問題，你打算首先做什么？將A，B兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線．B··Al（1）從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；

（2）在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與A，B連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A地到飲馬地點，再回到B地的路程之和；

追問2

你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學問題嗎？B··Al追問2

你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學問題嗎？（3）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點．設C為直線上的一個動點，上面的問題就轉化為：當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最?。ㄈ鐖D）．

BAlC

你能利用軸對稱的有關知識，找到上問中符合條件的點B′嗎？

如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最??？B·lA·作法：（1）作點B關于直線l的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點C．則點C即為所求．

如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最?。緽·lA·B′C1、如圖,直線l表示一條河,點A、B表示兩個村莊,想在直線l上的某點P處修建一個水泵站向A、B兩個村莊供水.現(xiàn)有如圖所示的四種鋪設管道的方案(圖中實線表示鋪設的管道),則鋪設的管道最短的()課堂練習D2、如圖所示，M、N是△ABC邊AB與AC上兩定點，在BC邊上求作一點P，使△PMN的周長最小。M’P課堂課堂第一步：作點M關于直線BC的對稱點M'；第二步：連接M'N，與直線BC交于點P。第三步：連接MN、MP、NP。3.如圖，∠AOB=30°，∠AOB內(nèi)有一定點P，且OP=10．在OA上有一點Q，OB上有一點R．若△PQR周長最小，則最小周長是（）A．10B．15C．20D．30A變量與函數(shù)第1課時

1．能正確認識變量與常量，會用式子表示變量間的關系.2．用含有一個變量的式子表示另一個變量.人們在認識和描述某一事物時，經(jīng)常會用“量”來具體表達事物的某些特征，如:速度、時間、路程、面積等.請你再寫出三個“量”:_________________________；同時用“數(shù)”來表示“量”的大小.周長、溫度、體積問題1汽車以60km/h的速度勻速行駛，行駛路程為skm，行駛時間為th．填表，并回答問題：t/h12345s/km思考下面幾個問題：601201802403001.在以上這個過程中，變化的量是_____________，不變的量是____________.2.根據(jù)表格可以看出，s的值隨t的值的變化而變化.時間t、路程s速度60km/h問題2電影票的售價為10元/張.第一場售出150張票，第二場售出205張票，第三場售出310張票，三場電影的票房收人各多少元？設一場電影售出x張票，票房收入為y元，y的值隨x的值的變化而變化嗎？根據(jù)題意，可以得出三場電影的票房收入分別為1500元，2050元，3100元.得出結論：票房收入y的值隨售出電影票張數(shù)x

的值的變化而變化.

問題3你見過水中漣漪嗎？在圓形水波慢慢地擴大這一過程中，當圓的半徑r分別為10cm，20cm，30cm時，圓的面積S分別為多少？S的值隨r的值的變化而變化嗎？圓的面積S分別為100πcm2，400πcm2，900πcm2.得出結論：S的值隨r的值的變化而變化.問題4用10m長的繩子圍一個矩形.當矩形的一邊長x分別為3m，3.5m，4m，4.5m時，它的鄰邊長y分別為多少？y的值隨x的值的變化而變化嗎？鄰邊長

y分別為2m，1.5m，1m，0.5m.得出結論：y的值隨x的值的變化而變化.這些問題反映了不同事物的變化過程.其中有些量的數(shù)值是變化的，例如時間t，路程s；售出票數(shù)x，票房收入y……有些量的數(shù)值是始終不變的，例如速度60km/h，票價10元/張……在一個變化過程中，我們稱數(shù)值發(fā)生變化的量為_______，數(shù)值始終不變的量為________.變量常量例1指出下列問題中的常量與變量:(1)某水果店橘子的單價為5元／kg，買a

kg橘子的總價為m元，其中常量是

，變量是

；(2)周長C與圓的半徑r之間的關系式是C＝2πr，其中常量是

，變量是

；(3)三角形的一邊長是5cm，它的面積S(cm2)與這邊上的高h(cm)的關系式中，其中常量是

，變量是

；5a，m2，πC，rS，h怎樣判斷一個量是常量還是變量？看在這個量所在的變化過程中，該量的值是否發(fā)生改變(或者說是否會取不同的數(shù)值)，其中在變化過程中不變的量是常量,可以取不同數(shù)值的量是變量．思考問題1~4中是否各有兩個變量？同一個問題中的變量之間有什么聯(lián)系？在問題1中，觀察填出的表格，可以發(fā)現(xiàn)：t和s是兩個變量，每當t取定一個值時，s就有唯一確定的值與其對應.例如t＝1，則s＝60;t＝2,則s＝120……t＝5，則s＝300.在問題2中，可以發(fā)現(xiàn)：x和y是兩個變量，每當x取定一個值時，y就有唯一確定的值與其對應.例如，若x＝150,則y＝1500;若x＝205,則y＝2050;若x＝310，則y＝3100.在問題3中，可以發(fā)現(xiàn)：r和S是兩個變量，每當r取定一個值時，S

就有唯一確定的值與其對應.它們的關系式為S＝πr2.據(jù)此可以算出r分別為10cm，20cm，30cm時，S

分別為100π

cm2，400π

cm2，900π

cm2.在問題4中，可以發(fā)現(xiàn)：x和y是兩個變量，每當x取定一個值時，y就有唯一確定的值與其對應.它們的關系式為y＝5－x.據(jù)此可以算出x分別為3m，3.5m，4m，4.5m時，y

分別為2m，1.5m，1m，0.5m.上面每個問題中的兩個變量互相聯(lián)系，當其中一個變量取定一個值時，另一個變量就有唯一確定的值與其對應.1.以21m/s的速度向上拋一個小球，小球的高度h(m)與小球運動的時間t(s)之間的關系是h＝21t－4.9t2.下列說法正確的是(

)A．4.9是常量，21，t，h是變量B．21，4.9是常量，t，h是變量C．t，h是常量，21，4.9是變量D．t，h是常量，4.9是變量B2.下列說法不正確的是(

)A．正方形的面積

S＝a2中有兩個變量

S，aB．圓的面積

S＝πR2中π是常量C．在一個關系式中用字母表示的量可能不是變量D．如果

x＝y(tǒng)，則x，y都是常量D3.(1)某報紙每份1.60元，請寫出購買x份該報紙與所需錢數(shù)y