人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊 （勾股定理的逆定理）勾股定理教育課件

勾股定理的逆定理

1、理解勾股定理的逆定理。2、了解逆命題的概念，知道原命題為真命題，它的逆命題不一定為真命題。3、應(yīng)用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問題。學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解勾股定理的逆定理及證明過程。2.能簡單的運(yùn)用勾股定理的逆定理判定直角三角形。3.利用勾股定理逆定理解決實(shí)際問題重點(diǎn)運(yùn)用勾股定理的逆定理判定直角三角形。難點(diǎn)勾股定理逆定理的證明。探索與思考已知：如圖，△ABC的三邊長a，b，c，滿足a2+b2=c2．求證：△ABC是直角三角形．bacABC分析：1.要證明△ABC是直角三角形，即要證明∠B=______°2.構(gòu)造△A’B’C’，使其滿足___________________________。3.如果△ABC____△A’B’C’，則△ABC是直角三角形。90≌bacA’B’C’AB=A’B’,BC=B’C’,∠B’=90°下面有三組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊長a,b,c:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.問題2這三組數(shù)在數(shù)量關(guān)系上有什么相同點(diǎn)？①5,12,13滿足52+122=132,②7,24,25滿足72+242=252,③8,15,17滿足82+152=172.問題3古埃及人用來畫直角的三邊滿足這個(gè)等式嗎？∵32+42=52，∴滿足.a2+b2=c2新知講解命題2：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。猜想：這個(gè)命題和前面學(xué)的命題1（勾股定理）之間有什么關(guān)系嗎？1.題設(shè)和結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題，叫做互逆命題。

2.如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)命題叫做它的逆命題。命題2是正確的嗎？你能試著證明嗎？利用勾股定理逆定理判斷直角三角形下面以a,b,c為邊長的三角形是不是直角三角形？1）a=15，b=8，c=172）a=13，b=14，c=15解：∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，根據(jù)勾股定理的逆定理，這個(gè)三角形是直角三角形。∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴這個(gè)三角形不是直角三角形.△ABC≌△A′B′C′

？∠C是直角△ABC是直角三角形A

B

C

abc已知：如圖，△ABC的三邊長a，b，c，滿足a2+b2=c2．求證：△ABC是直角三角形．構(gòu)造兩直角邊分別為a,b的Rt△A′B′C′證一證:新知講解證明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)，∴∠C=∠C′=90°

，

即△ABC是直角三角形.則ACaBbc新知講解定理與逆定理一個(gè)命題是真命題，它的逆命題卻不一定是真命題。如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理稱為互逆定理，其中一個(gè)定理是另一個(gè)定理的逆定理。判斷勾股數(shù)下列各組數(shù)中是勾股數(shù)的為（

）A．1、2、3 B．4、5、6 C．3、4、5 D．7、8、9【詳解】解：A．∵12+22=5≠32=9，∴不是勾股數(shù)，故A錯(cuò)誤；B．∵42+52=41≠62=36，∴不是勾股數(shù)，故B錯(cuò)誤；C．∵32+42=25=52=25，∴是勾股數(shù)，故C正確；D．∵72+82=113≠92=81，∴不是勾股數(shù)，故D錯(cuò)誤．新知講解根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長的平方和是否等于最大邊長的平方.

例2：某港口P位于東西方向的海岸線上?！斑h(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16nmile，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12nmile。它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后分別位于點(diǎn)Q，R處，且相距30nmile。如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？RSQPEN解：根據(jù)題意畫圖，如圖所示：PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，QR=30?！?42+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR=90°。由“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行可知，∠QPS=45°。

∴∠RPS=45°，即“海天”號(hào)沿西北方向航行。RSQPEN利用勾股定理逆定理判斷直角三角形

例2如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且CE＝CB，試判斷AF與EF的位置關(guān)系，并說明理由．

解：AF⊥EF.理由如下：設(shè)正方形的邊長為4a,則EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF為直角三角形，且AE為斜邊．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.新知講解利用勾股定理逆定理解決實(shí)際問題如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上，“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12海里.它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后分別位于Q、R處，且相距30海里，如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎?

NEP

QR12

同學(xué)們，再見勾股定理的應(yīng)用

1．學(xué)會(huì)利用勾股定理的數(shù)學(xué)思想解決生活中的實(shí)際問題．2．能熟練將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行計(jì)算．波平如鏡一湖面，半尺高處出紅蓮．婷婷多姿湖中立，突遭狂風(fēng)吹一邊．離開原處兩尺遠(yuǎn)，花貼湖邊似睡蓮．請你動(dòng)動(dòng)腦筋看，湖水在此多深淺．這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)用勾股定理來解決這一實(shí)際問題．印度的數(shù)學(xué)家婆神迦羅在他的著作《麗拉瓦提》中提出這樣一個(gè)問題：上面的問題可以歸結(jié)為：如圖，AC長為0.5尺，BC長為2尺，OA＝OB，求OC長為幾尺．請你解答這個(gè)問題．ACOB解：OA＝OB＝OC＋0.5，在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理，OB2＝OC2＋BC2，即(OC＋0.5)2＝OC2＋22，OC＝3.75．所以O(shè)C長為3.75尺．應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題，關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形模型．如圖，有一個(gè)圓柱，它的高等于12cm，底面圓的周長為18cm，在圓柱下底面的點(diǎn)A處有一只螞蟻，它想吃到上底面上與點(diǎn)A相對的點(diǎn)B處的食物，沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？AB（1）自己做一個(gè)圓柱，嘗試從點(diǎn)A到點(diǎn)B沿圓柱側(cè)面畫幾條路線，你覺得哪條

路線最短？ABABAB

方案①

方案②

方案③（2）如圖，將圓柱側(cè)面剪開展成一個(gè)長方形，點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短路線是什么？

你畫對了嗎？ABABAB∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴方案③的路線最短．（3）螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，想吃到點(diǎn)B上的食物，它沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是

多少？

ABC高12cm，底面周長18cm．求立體圖形中最短路徑問題的一般步驟：（1）展平：將立體圖形表面展開為平面圖形，只需展開包含相關(guān)點(diǎn)的面（可能存在多種展法）．（2）定點(diǎn)：確定相關(guān)點(diǎn)的位置．（3）連線：連接相關(guān)點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形．（4）計(jì)算：利用勾股定理求解．例1如圖，一高層住宅發(fā)生火災(zāi)，消防車立即趕到距住宅樓8m（車尾AE距住宅樓墻面CD）處，升起云梯到火災(zāi)窗口B．已知云梯AB長17m，云梯底部距地面的高AE＝1.5m，問發(fā)生火災(zāi)的住戶窗口距離地面多高？解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°.

根據(jù)勾股定理，得BC2＝172－82＝152（m），

∴BC＝15m．∴BD＝15＋1.5＝16.5（m）.答：發(fā)生火災(zāi)的住戶窗口距離地面16.5m．例2有一個(gè)圓柱形油罐，要從A點(diǎn)環(huán)繞油罐建梯子，正好建到A點(diǎn)的正上方B

點(diǎn)，問梯子最短需多少米？（已知：油罐的底面半徑是2m，高AB是5m，π取3）ABABA′B′解：圓柱形油罐的展開圖如圖，則AB′為梯子的最短距離．AA′＝2πr＝2×3×2＝12（m），A′B′＝5m，由勾股定理，得AB′2＝

AA′2＋

A′B′

2

＝122＋52

＝169．所以AB′＝13．即梯子最短需13m．AB展開利用勾股定理解應(yīng)用題的三步驟123根據(jù)題意，畫出圖形分析題目中的數(shù)量關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，正確標(biāo)圖，將已知條件體現(xiàn)到圖形中在適當(dāng)?shù)闹苯侨切沃袘?yīng)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算或建立等量關(guān)系，列出方程，解決問題勾股定理應(yīng)用的常見類型1．已知直角三角形的任意兩邊求第三邊；2．已知直角三角形的任意一邊確定另兩邊的關(guān)系；3．證明包含有平方（算術(shù)平方根）關(guān)系的幾何問題；4．求解幾何體表面上的最短路徑問題；5．構(gòu)造方程（或方程組）計(jì)算有關(guān)線段長度，解決生產(chǎn)、

生活中的實(shí)際問題．

ABB2．有兩棵樹，一棵高10m，另一棵高4m，兩樹相距8m．一只小鳥從一棵樹

的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行（）A．8mB．10mC．12mD．14m3．小明想知道學(xué)校旗桿有多高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還余1m，當(dāng)

他把繩子下端拉開5m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，則旗桿高度為_____m．B124．如圖，學(xué)校有一塊長方形花園，有極少數(shù)