北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) （三角形內(nèi)角和定理）平行線的證明教學(xué)課件(第1課時(shí))

7.5三角形內(nèi)角和定理第1課時(shí)

情景導(dǎo)入三角形家族的問(wèn)題不對(duì)！是我們鈍角三角形的內(nèi)角和最大！我們銳角三角形的內(nèi)角和度數(shù)最大！你們別吵了！還是我們直角三角形的內(nèi)角和最大！問(wèn)題1：你覺(jué)得他們誰(shuí)說(shuō)的對(duì)問(wèn)題2：你還記得嗎？小學(xué)我們是怎樣探索三角形內(nèi)角和的？你能給大家說(shuō)說(shuō)或者展示一下嗎？獲取新知測(cè)量法銳角三角形480720600600＋480＋720＝1800折拼法剪拼法（撕拼法）ABC21ACBACBE旋轉(zhuǎn)平移問(wèn)題1：如圖，當(dāng)∠A移到∠1的位置時(shí)，殘邊CD和邊AB有何位置關(guān)系？為什么？問(wèn)題2：在剪拼法中，通過(guò)移動(dòng)角拼成了一個(gè)平角；如果不實(shí)際移動(dòng)角,那么你還有其它方法可以達(dá)到同樣的效果嗎?ACBEDACB123E規(guī)范作圖輔助線輔助線通常畫(huà)虛線輔助線思路總結(jié)添加輔助線三角形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化平角/同旁內(nèi)角已知：如圖，△ABC.求證：∠A+∠B+∠ACB=180°證明：延長(zhǎng)BC到D，過(guò)點(diǎn)C作射線CE//BA，則

∠1=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

∠2=∠B（兩直線平行，同位角相等）.∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定義）∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）.你還能用其他的推理方法證明三角形內(nèi)角和定理嗎？ACBACBDEDEACB123旋轉(zhuǎn)平移規(guī)范作圖求證：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.證明：過(guò)點(diǎn)A作l∥BC，∴∠B=∠1(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)∠C=∠2(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.12例題講解例如圖，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù).解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形內(nèi)角和定理）∵∠B=38°，∠C=62°（已知）∴∠BAC=180°-38°-62°=80°（等式的性質(zhì)）∵AD平分∠BAC（已知）∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×80°=40°（角平分線的定義）在△ADB中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°（三角形內(nèi)角和定理）∵∠B=38°（已知），∠BAD=40°（已證）∴∠ADB=180°-38°-40°=102°（等式的性質(zhì)）隨堂演練1．在△ABC中，∠A＝∠B＋∠C，則下列對(duì)△ABC形狀的判斷正確的是()A．銳角三角形

B．直角三角形C．鈍角三角形

D．等邊三角形2．若一直角三角形的兩個(gè)銳角的差是20°，則較大銳角的度數(shù)是________．55°B3．已知：如圖，AB∥CD，∠BEF，∠EFD的平分線相交于點(diǎn)G.求證：EG⊥FG.證明：∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠EFD＝180°.

∵EG，F(xiàn)G分別平分∠BEF，∠EFD，

∴∠GEF＝∠BEF，∠EFG＝∠EFD.

∴∠GEF＋∠EFG＝

(∠BEF＋∠EFD)＝90°.

∴∠G＝180°－(∠GEF＋∠EFG)＝180°－90°＝90°，

即EG⊥FG.4.在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分線，求∠DCE的度數(shù)．解：∵∠A＝∠B＝∠ACB，設(shè)∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°，∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°.∵CE是∠ACB的平分線，∴∠ACE＝×90°＝45°，∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.課堂小結(jié)1.三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180°.2.三角形內(nèi)角和定理的證明思路：思路一：利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角及同位角相等”，將三角形的三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角.如圖1①②.思路二：利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”將三角形的三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化為兩平行線間的一組同旁內(nèi)角.

如圖2①②.圖1圖27.5三角形內(nèi)角和定理第2課時(shí)

知識(shí)回顧三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.獲取新知外角的定義：△ABC內(nèi)角的一條邊與另一條邊的反向延長(zhǎng)線組成的角，稱為△ABC的外角.D（1）頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上.如：∠ACD的頂點(diǎn)C是△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)；（2）一條邊是三角形的一邊.如：∠ACD的一條邊AC是△ABC的一條邊；（3）另一條邊是三角形某條邊的延長(zhǎng)線.如：∠ACD的邊CD是△ABC的BC的延長(zhǎng)線.D你能畫(huà)出△ABC的其他外角嗎？每一個(gè)三角形都有6個(gè)外角．每一個(gè)頂點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的外角都有2個(gè)，且這2個(gè)角為對(duì)頂角.三角形的外角應(yīng)具備的條件：①角的頂點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)；②角的一邊是三角形的一邊；③另一邊是三角形中一邊的延長(zhǎng)線.∠ACD是△ABC的一個(gè)外角CBAD

每一個(gè)三角形都有6個(gè)外角．例題講解例1

如圖,∠BEC是哪個(gè)三角形的外角？∠AEC是哪個(gè)三角形的外角？∠EFD是哪個(gè)三角形的外角？FABCDE∠BEC是△AEC的外角;∠AEC是△BEC的外角;∠EFD是△BEF和△DCF的外角.獲取新知三角形的外角ACBD相鄰的內(nèi)角不相鄰的內(nèi)角問(wèn)題1如圖，△ABC的外角∠BCD與其相鄰的內(nèi)角∠ACB有什么關(guān)系？∠BCD與∠ACB互補(bǔ).三角形的外角ACBD相鄰的內(nèi)角不相鄰的內(nèi)角問(wèn)題2如圖，△ABC的外角∠BCD與其不相鄰的兩內(nèi)角(∠A，∠B)有什么關(guān)系？∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，∴∠A+∠B=∠BCD.三角形的外角的性質(zhì)1：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.你能用作平行線的方法證明此結(jié)論嗎？D證明：過(guò)C作CE平行于AB，ABC12∴∠1=∠B，（兩直線平行，同位角相等）∠2=∠A，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.E已知：如圖，△ABC求證：∠ACD=∠A+∠B.三角形的外角的性質(zhì)2：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.作用：用來(lái)證明角的不等關(guān)系例題講解例2已知:如圖，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC.求證:AD//BC.ACDBE分析：要證明兩直線平行，就是要從“同位角相等”、“內(nèi)錯(cuò)角相等”或“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”中選擇最合適的方法證明:∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和),∴AD∥BC(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).∠B=∠C(已知),∴∠DAC=∠C(等量代換).∵AD平分∠EAC(已知)，∴∠C=∠EAC(等式的性質(zhì)).∴∠DAC=∠EAC(角平分線的定義).ACDBE其他兩個(gè)方法可行嗎？例3

已知:如圖，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PB，PC.求證:∠BPC>∠A.D∵∠BPC是△PDC的一個(gè)外角(外角定義),∴∠BPC>∠PDC(三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角).∵∠PDC是△ABD的一個(gè)外角(外角定義),∴∠PDC>∠A

(三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角).∴∠BPC>∠A.證明:如圖，延長(zhǎng)BP,交AC于點(diǎn)D.隨堂演練1、如圖，射線AD，BE，CF構(gòu)成∠1，∠2，∠3，則∠1＋∠2＋∠3等于(

)A．180°B．360°C．540°D．無(wú)法確定B2、如果三角形的一個(gè)外角等于和它相鄰的內(nèi)角，那么這個(gè)三角形是()A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．等邊三角形A3.如圖，已知點(diǎn)B，E，D，A在同一條直線上，則∠A，∠1，∠2的大小關(guān)系是（）A.∠A>∠1>∠2B.∠2>∠1>∠AC.∠A>∠2>∠1D.∠2>∠A>∠1B4、如圖，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度數(shù).ABCD((20°30°解法一：連接AD并延長(zhǎng)于點(diǎn)E.在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.因?yàn)椤螧DC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD

=51°+20°+30°=101°.E

))12)3)4ABCD(((51°20°30°E

)1解法二：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E.在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD

=51°+20°+30°=101°.解法三:連接延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)F（解題過(guò)程同解法二）.)2F

5．一個(gè)零件的形狀如圖所示，按規(guī)定∠A應(yīng)等于90°，∠B，∠C應(yīng)分別是21°和32°，現(xiàn)測(cè)量得∠BDC＝148°，你認(rèn)為這個(gè)零件合格嗎？為什么？解：不合格