專題平面向量壓軸小題解析版

專項4平面對量壓軸小題一、單選題1．（·重慶九龍坡·高三期中）已知，，，，則的取值范疇（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題設易知四邊形為矩形，構(gòu)建覺得原點直角坐標系，將問題轉(zhuǎn)化為平面上滿足的狀況下，結(jié)合兩點距離公式求兩點距離的范疇.【詳解】由題設，四邊形為矩形，構(gòu)建覺得原點的直角坐標系，以下圖，若，則，設，∴，且，又，∴，即.故選：B【點睛】核心點點睛：構(gòu)建直角坐標系，將平面對量的模長問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點的距離問題，應用解析法求范疇.2．（·浙江麗水·高三期中）已知平面對量，，，，若，，則（）A．的最小值是 B．的最大值是C．的最小值是 D．的最大值是【答案】A【分析】令，可得，且，設，，，根據(jù)已知條件及三角函數(shù)的有界性即可求解.【詳解】令，則，故，且，假設，，，因此根據(jù)已知條件有，因此，即，當且僅當時等號成立，因此的最小值是，故選：A.3．（·安徽·淮南第一中學高三月考（理））已知點是所在平面內(nèi)一點，若，則與的面積之比為（）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】作出圖形，結(jié)合三點共線性質(zhì)可得，，同時設，聯(lián)立解出，進而擬定關系，同時滿足，進而求出關系，即可求解兩三角形面積之比.【詳解】如圖，延長交于，則，由于，，三點共線，因此，即，因此，則，故且，又，故，因此，，因此，因此．故答案為：C4．（·浙江·模擬預測）在正三棱柱中，，點滿足，則（）A．存在點使得B．存在點使得C．存在點使得D．存在點使得【答案】A【分析】通過題干條件可得：P點一定在線段上運動，即一定在平面上，因此找到選項中的目的線段的特點，只有A選項中A1C中含有的A1點能夠使得A1D（D為B1C1的中點）垂直平面BCC1B1.【詳解】由于，由平面對量基本定理可得：P點一定在線段上，因此取的中點D，連接，過B作交CD于點H，交于點P，由于⊥，⊥，，因此⊥平面，由于平面，因此⊥，由于，因此⊥平面，由于平面，因此，其它均不可能．故選：A5．（·廣東肇慶·模擬預測）如圖，在平行四邊形中，，，與交于點.設，，若，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)和三點共線，可得和，運用平面對量線性運算可用表達出，由此可得方程組求得，進而得到的值.【詳解】連接，，三點共線，可設，則，；三點共線，可設，則，；，解得：，，即.故選：B.【點睛】思路點睛：本題考察平面對量基本定理的應用，基本思路是根據(jù)為兩線段交點，運用兩次三點共線，結(jié)合平面對量基本定理構(gòu)造出方程組求得成果.6．（·云南師大附中高三月考（文））已知，，是平面對量，與是單位向量，且，向量滿足，則的最大值與最小值之和是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】將變形為，從而可得，設，由向量減法及數(shù)量積可知的終點在覺得圓心，覺得半徑的圓周上，結(jié)合圓的性質(zhì)可得答案.【詳解】由得，．不妨設，則的終點在覺得圓心，覺得半徑的圓周上．由于與是單位向量，因此的最大值是與圓心距離加，即，最小值是與圓心距離減，即，故和為.故選：A．7．（·云南·峨山彝族自治縣第一中學高三月考（文））已知是矩形，且滿足.其所在平面內(nèi)點滿足：，則的取值范疇是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立平面直角坐標系，根據(jù)題意得到點M,N的軌跡方程，然后作出圖形，進而結(jié)合數(shù)量積的定義和坐標運算得到答案.【詳解】如圖所示，建立平面直角坐標系，則設，由，因此，化簡得：，記為圓，設，由，因此，化簡得：，記為圓,即為，兩圓圓心距為：，半徑和為：，因此，則兩圓相離，如圖所示，對圓，令y=0，得：，令圓，令y=0，得：，因此，，又，結(jié)合平面對量數(shù)量積的定義可知，的最小值為，的最大值為.故選：B.8．（·全國·高三專項練習）已知動直線與圓相交于，兩點，且滿足，點為直線上一點，且滿足，若為線段的中點，為坐標原點，則的值為（）A．3 B． C．2 D．【答案】A【分析】先運用圓的方程和弦長鑒定為等邊三角形，設出符合條件的一條直線，再運用平面對量共線得到點的坐標，再運用數(shù)量積的坐標運算進行求解.【詳解】動直線與圓：相交于，兩點，且滿足，則為等邊三角形，因此不妨設動直線為，根據(jù)題意可得，，∵是線段的中點，∴，設，∵，∴，∴，解得，∴，∴.故選：A．9．（·湖南·高三月考）在中，D為三角形所在平面內(nèi)一點，且，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設AD交BC于E，然后根據(jù)條件得到點E的位置，進而根據(jù)向量關系得到線段間的比例，最后得出面積比.【詳解】如圖，設AD交BC于E，且，由B,E,C三點共線可得：，∴，∴.設，則，∴.又，∴，∴.故選：B.10．（·重慶一中高三月考）設G為△ABC的重心，若，則的取值范疇為（）A．（－80，160） B．（－80，40）C．（－40，80） D．（－160，80）【答案】A【分析】由題設知、為的中點且，結(jié)合已知求出，運用向量數(shù)量積的運算律有求得，再由目的式中向量線性關系的幾何意義及三角形三邊關系，即可求范疇.【詳解】∵，∴，連接并延長交于，則為的中點，且，在中，，則，∵，∴，，∵，即，∴.故選：A【點睛】核心點點睛：連接并延長交于，根據(jù)重心的性質(zhì)可知為的中點且，再由向量數(shù)量積的運算律求，結(jié)合有關向量線性關系的幾何意義及三角形三邊關系求目的式范疇.11．（·山東·煙臺二中三模）在等腰梯形中，，，是腰上的動點，則的最小值為（）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】過D作，垂足為E，過C作，垂足為F，以E為原點，分別以EB，ED所在的直線為x軸，y軸，建立平面直角坐標系，運用坐標表達出，再由向量的數(shù)量積運算求得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得最值得選項.【詳解】過D作，垂足為E，過C作，垂足為F，以E為原點，分別以EB，ED所在的直線為x軸，y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示：由已知可得：，，因此，，，由于P是腰AD上的點，因此設點P的橫坐標為，由于直線AD的方程為，即，，因此，，，因此，當，存在最小值為，故選：C.【點睛】核心點睛：本題考察求向量的模的最值，核心在于建立平面直角坐標系，運用向量的坐標運算求得向量的模，再運用函數(shù)的性質(zhì)求得最值.12．（·遼寧葫蘆島·二模）在中，點滿足，過點的直線與，所在的直線分別交于點，，若，，則的最小值為（）A．3 B． C．1 D．【答案】A【分析】由向量加減的幾何意義可得，結(jié)合已知有，根據(jù)三點共線知，應用基本不等式“1”的代換即可求最值，注意等號成立的條件.【詳解】由題設，以下圖示：，又，，∴，由三點共線，有，∴，當且僅當時等號成立.故選：A【點睛】核心點點睛：運用向量線性運算的幾何表達，得到、、的線性關系，根據(jù)三點共線有，再結(jié)合基本不等式求最值.13．（·浙江省寧海中學模擬預測）已知平面非零向量滿足，則對于任意的使得（）A．恒有解 B．恒有解C．恒無解 D．恒無解【答案】B【分析】設，其中，記則有，即，然后分，，三種狀況討論，再根據(jù)直線是過點的直線與圓錐曲線的兩個不同的交點和點在覺得直徑的圓上，分析圓與對應準線的位置關系，即可求解.【詳解】解：設，其中，記則有，即若，則點的軌跡是拋物線，方程為E：，點恰為拋物線的焦點，則是過點的直線與拋物線的兩個不同的交點，點在覺得直徑的圓上，此時.若，則點的軌跡是橢圓，方程為E：，點為橢圓E的左焦點，軸是橢圓的左準線，是過點的直線與橢圓的兩個不同的交點，點在覺得直徑的圓上，此時圓與準線相離，故若，則點的軌跡是雙曲線，方程為E：，點為雙曲線的右焦點，軸是雙曲線的右準線，是過點的直線與雙曲線的兩個不同的交點，點在覺得直徑的圓上，此時圓與準線相交，故可正，可負，可零.因此，當時，恒有，故A錯誤；當時，，與都有解，故錯誤；故選：B.【點睛】核心點點睛：運用坐標法，設，其中，記則有，即，然后分，，三種狀況討論，將原問題轉(zhuǎn)化為判斷圓與準線的位置關系，從而解決問題.14．（·全國全國·模擬預測）設，，且，若向量滿足，則的最大值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】設，，，，根據(jù)條件，借助平面圖形得到點的軌跡，即可得到成果．【詳解】如圖，設，，，，連接，，則由可知四邊形為矩形，則.由，可得，連接，則，因此點在以點為圓心，4為半徑的圓上，因此的最大值為.故選：B.【點睛】對于向量模的最值或者范疇的問題，我們往往采用數(shù)形結(jié)合的方式進行解決.首先我們要根據(jù)題目的條件將幾個向量的起點平移到同一點，作出圖形，最后根據(jù)所求向量的條件得出終點的軌跡.15．（·上海市建平中學高三開學考試）已知的外接圓圓心為，，若，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點O作，，運用圓的性質(zhì)知為,中點，設，，運用向量的數(shù)量積結(jié)合已知條件得到，求出，運用基本不等式求最值即可.【詳解】如圖，過點O作，，，和是等腰三角形，為中點，為中點，設，，則，，即，即聯(lián)立解得：，當且僅當，即時，等號成立.因此的最大值為故選：B【點睛】核心點點睛：本題考察圓的性質(zhì)，平面對量的數(shù)量積以及基本不等式求最值，運用圓的性質(zhì)結(jié)合平面對量的數(shù)量積得到有關x，y的方程，進而求出是解題的核心，考察學生的邏輯推理與運算能力，屬于難題.16．（·浙江浙江·模擬預測）已知非零平面對量，，滿足，，若與的夾角為，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】解法一運用絕對值三角不等式得到，然后求的最小值即可；解法二設，，，易得，則的軌跡是覺得圓心，半徑為1的圓，連接，然后又，，三點共線且在，中間時，獲得最小值求解.【詳解】解法一由題可得，，因此規(guī)定的最小值，需求的最小值.由于，與的夾角為，因此的最小值為，因此，即的最小值為，解法二如圖，設，，，則，.由，知，點的軌跡是覺得圓心，半徑為1的圓，連接，結(jié)合圖形可知，當，，三點共線且在，中間時，獲得最小值.由正弦定理得：，因此，故的最小值為.故選：A【點睛】核心點點睛：本題核心是根據(jù)與的夾角為，由的最小值為而得解.17．（·山東·模擬預測）在中，，若，則的取值范疇是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】建立平面直角坐標系，由得到的軌跡，最后結(jié)合圖形及向量的數(shù)量積運算可得成果.【詳解】以的中點為坐標原點，所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則，.設點，由，可得，化簡得，故點的軌跡為圓（不包含與軸的交點），記圓與軸的交點分別為，（在的左側(cè)）則，，因此，.故選:C.【點睛】核心點睛：解決本題的核心一是建立坐標后根據(jù)幾何關系建立等式然后得到點的軌跡方程，二是求最值.18．（·寧夏中衛(wèi)·模擬預測（理））已知，且，的夾角為，若向量，則的取值范疇是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，，．由得，設，，得可得答案．【詳解】不妨設，，，且，由于，因此，設，，，，因此，由于，故．故選：D．【點睛】本題考察了用向量的坐標運算求取值范疇的問題，解題的核心點是設，，轉(zhuǎn)化為坐標運算，考察了學生分析問題、解決問題的能力.19．（·全國·高三專項練習（理））半徑為的圓上有三點、、滿足，點是圓內(nèi)一點，則的取值范疇為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設與交于點，由得四邊形是菱形，是對角線中點，用和其它向量表達并計算數(shù)量積后可得＝，由點與的位置關系可得的取值范疇，得結(jié)論．【詳解】如圖，與交于點，由得：，因此四邊形是菱形，且，則，，由圖知，，而，∴，同理，，而，∴，∴，∵點是圓內(nèi)一點，則，∴，故選：A.【點睛】核心點點睛：本題考察平面對量數(shù)量積的運算，解題核心是是運用線段的中點的性質(zhì)，把用和其它向量相加，然后求數(shù)量積可化化簡．二、多選題20．（·全國·高三專項練習）如圖，正方形，，為覺得圓心、為半徑的四分之一圓弧上的任意一點，設向量，的最小值為，則可取（）A． B． C．3 D．【答案】BD【分析】設，根據(jù)向量運算得，進而得，，，求函數(shù)導數(shù)，得函數(shù)最小值，解方程求解即可.【詳解】設，則，由，可得又，因此，解得，因此，令，則，，，記，此時，易得，此時由，可得，，因此，解得或.故選：BD.【點睛】核心點點睛：在解決的最小值時，運用函數(shù)求導是本題的核心點，也是難點，借助輔助角公式得函數(shù)的極值點即為最值點，從而得解，本題的運算量較大，屬于難題.21．（·湖北黃石·高三開學考試）在平面直角坐標系中，O是坐標原點，是圓上兩個不同的動點，是的中點，且滿足．設到直線的距離之和的最大值為，則下列說法中對的的是（）A．向量與向量所成角為B．C．D．若，則數(shù)列的前n項和為【答案】ACD【分析】對于A，用與表達，結(jié)合給定向量等式計算判斷；對于B，求出的值即可判斷；對于C，轉(zhuǎn)化為點到直線距離最大值并計算判斷；對于D，求出數(shù)列的通項，代入并運用裂項相消法計算判斷作答.【詳解】依題意，，而點是弦的中點，則，，而，于是得，，即，A對的；顯然是頂角的等腰三角形，則，B不對的；依題意，點到直線的距離之和等于點到直線距離的2倍，由知，點在以原點O為圓心，為半徑的圓上，則點到直線距離的最大值是點O到直線的距離加上半徑，而點O到直線距離，則點到直線距離的最大值是，因此，，C對的；由得，，則，因此，數(shù)列的前n項和，D對的.故選：ACD22．（·廣東深圳·高三月考）在中，角所對的邊分別為，，，為的外接圓，，給出下列四個結(jié)論對的的是（）A．若，則；B．若P在上，則的最大值為2；C．若P在上，則；D．若，則點P的軌跡所對應圖形的面積為.【答案】ACD【分析】根據(jù)向量的線性運算以及向量的求模公式可判斷A，根據(jù)向量的線性運算，結(jié)合點與圓的位置關系及基本不等式可判斷BC，根據(jù)向量的線性運算，結(jié)合點的軌跡及三角形的面積公式可判斷D.【詳解】，，為的外接圓對于A：若，則,故A對的對于BC：由若P在上，則（當且僅當時取等號）故B錯誤，C對的；對于D：若，則點P的軌跡：當時,,此時點在線段;當時,,此時點在線段;當時，，構(gòu)造平行四邊形,此時點在線段上；當時，，構(gòu)造平行四邊形,此時點在線段上；當時，，此時點在菱形內(nèi)部，綜上點的軌跡為菱形構(gòu)成的圖形區(qū)域，則，故D對的.故選：ACD.【點睛】本題考察了向量的線性運算以及向量的求模公式，點與圓的位置關系，基本不等式，點的軌跡及三角形的面積公式，熟悉以上內(nèi)容綜合運用是解題的核心.23．（·廣東天河·高三月考）對于△，其外心為，重心為，垂心為，則下列結(jié)論對的的是（）A．B．C．向量與共線D．過點的直線分別與、交于、兩點，若，，則【答案】BCD【分析】A：由外心的性質(zhì)，結(jié)合向量數(shù)量積的幾何意義判斷；B：根據(jù)的幾何意義即可判斷正誤；C：應用向量數(shù)量積的運算律及定義化簡，再根據(jù)判斷正誤；D：根據(jù)平面對量基本定理可得，再由三點共線即可證.【詳解】A：為外心，則，僅當時才有，錯誤；B：由，又，故，對的；C：，即與垂直，又，因此與共線，對的；D：，又三點共線，則，故，對的.故選：BCD【點睛】核心點點睛：綜合應用外心、垂心、重心的性質(zhì)，結(jié)合平面對量數(shù)量積的運算律、幾何含義以及平面對量基本定理判斷各選項正誤.24．（·廣東華僑中學高三月考）已知向量，，則下列命題對的的是（）A．存在，使得 B．當時，與垂直C．對任意，都有 D．當時，在方向上的投影為【答案】BD【分析】A選項考察向量平行坐標之間的關系；B選項考察向量垂直時坐標之間的關系；C選項分別求出，能夠得到與否存在，使得；D選項中根據(jù)數(shù)量積求出角的三角函數(shù)值，能夠求出在方向上的投影【詳解】選項A中，若，則，，因此不存在這樣的，因此A錯誤選項B中，若，則，，得：，因此選項B對的選項C中，，，當時，，因此C錯誤選項D中，，兩邊同時平方得：，化簡得：，同除得：，，因此，即，解得：，設與的夾角為，因此在方向上的投影，D選項對的故選：BD.25．（·全國·高三專項練習）飛馳定理：已知是內(nèi)的一點，，，的面積分別為，，，則.“飛馳定理”是平面對量中一種非常優(yōu)美的結(jié)論，由于這個定理對應的圖形與“飛馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“飛馳定理”.若、是銳角內(nèi)的點，、、是的三個內(nèi)角，且滿足，，則（）A．B．C．D．【答案】ABCD【分析】變形后表達為，再由飛馳定理得出向量的關系，運用平面對量基本定理判斷A，運用數(shù)量積的運算，變形后證明是的重心，由平面幾何知識判斷B，運用數(shù)量積的定義表達已知數(shù)量積的等式，結(jié)合選項B的結(jié)論可證明C，求出的面積，運用選項B的結(jié)論轉(zhuǎn)化，再運用選項C的結(jié)論可得面積比，然后結(jié)合飛馳定理可判斷D．【詳解】由于，因此，即，因此，又由飛馳定理得，由于不共線，因此，因此，A對的；延長分別與對邊交于點，如圖，由得，因此，同理，因此是的垂心，因此四邊形中，，因此，B對的；由得，因此，由選項B得，，，因此，C對的；由上討論知，，，因此，又由選項C：，得，由飛馳定理：得，D對的．故選：ABCD．【點睛】本題考察平面對量基本定理的應用，考察學生的創(chuàng)新能力，理解新知識、應用新知識的能力．解題核心一是運用平面對量基本定理知用基底表達平面上任一向量的辦法是唯一的，由此可得等量關系，二是運用數(shù)量積的運算得出是三角形的垂心，由此運用平面幾何知識得出角的關系，再運用三角函數(shù)知識進行推導得出對應結(jié)論．26．（·全國·高三專項練習（理））設，，，是兩兩不同的四個點，若，，且，則稱，調(diào)和分割，．現(xiàn)已知平面上兩點C，D調(diào)和分割A，B，則下列說法對的的是（）A．點C可能是線段的中點B．點D不可能是線段的中點C．點C，D可能同時在線段上D．點C，D不可能同時在線段的延長線上【答案】BD【分析】由題意設，，，，結(jié)合已知條件得，根據(jù)選項考察的解，用排除法選擇答案即可.【詳解】由已知不妨設，，，，由C，D調(diào)和分割A，B可知，，，代入得(?)對于AB，若C是線段AB的中點，則，代入(?)得，d不存在，故C不可能是線段AB的中點，同理D不可能是線段的中點，故A錯誤，B對的；對于C，若C，D同時在線段AB上，則，代入(?)得，，此時C和D點重疊，與已知矛盾，故C錯誤；對于D，若C，D同時在線段AB的延長線上時，則，，則，這與矛盾，因此C，D不可能同時在線段AB的延長線上，故D對的；故選：BD.【點睛】核心點點睛：本題考察新定義的應用問題，對的理解新定義的含義是解題的核心，考察學生的邏輯推理與特殊與普通思想，屬于較難題.27．（·山東濟寧·高三月考）如圖，已知點是上三個不同定點，Q為弦的中點，是劣弧上異于的一系列動點，連接交于，點滿足，其中數(shù)列是首項為1的正項數(shù)列，是數(shù)列的前n項和，則下列結(jié)論對的的是（）A．數(shù)列是等比數(shù)列 B．C． D．【答案】AB【分析】由平面對量線性運算和向量共線可得到，由此可擬定遞推關系式，得到，進而得數(shù)列是等比數(shù)列可判斷A選項；運用等比數(shù)列通項公式求得，可擬定BC正誤；運用分組求和法，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可求得，知D錯誤.【詳解】解：由于Q為弦的中點，因此，因此，由于三點共線，因此，又由于，因此，因此，消去得，因此，即，因此數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，故A選項對的；因此，故，因此，故B選項對的，C選項錯誤；此時數(shù)列的前n項和，故D選項錯誤.故選：AB【點睛】核心點點睛：本題考察數(shù)列與向量的綜合應用問題，解題核心是能夠根據(jù)平面對量的線性運算和向量共線的性質(zhì)推導得到數(shù)列的遞推關系式，由此構(gòu)造出所需的等比數(shù)列進行求解.28．（·全國·高三專項練習）對于給定的，其外心為，重心為，垂心為，則下列結(jié)論對的的是（）A．B．C．過點的直線交于，若，，則D．與共線【答案】ACD【分析】根據(jù)外心在AB上的射影是AB的中點，運用向量的數(shù)量積的定義能夠證明A對的；運用向量的數(shù)量積的運算法則能夠即，在普通三角形中易知這是不一定對的的，由此可鑒定B錯誤；運用三角形中線的定義，線性運算和平面對量基本定理中的推論能夠證明C對的；運用向量的數(shù)量積運算和向量垂直的條件能夠鑒定與垂直，從而闡明D對的.【詳解】如圖，設AB中點為M,則,,故A對的；等價于等價于,即，對于普通三角形而言，是外心，不一定與垂直，例如直角三角形中，若為直角頂點，則為斜邊的中點，與不垂直.故B錯誤；設的中點為,則，∵E,F,G三點共線，，即,故C對的；,與垂直,又,∴與共線，故D對的.故選：ACD.【點睛】本題考察平面對量線性運算和數(shù)量及運算，向量垂直和共線的鑒定，平面對量分解的基本定理，屬綜合小題，難度較大，核心是純熟使用向量的線性運算和數(shù)量積運算，理解三點共線的充足必要條件，進而逐個作出鑒定.29．（·全國·高三專項練習）如圖，直角的斜邊BC長為2，，且點B，C分別在x軸正半軸和y軸正半軸上滑動，點A在線段BC的右上方則（）A．有最大值也有最小值 B．有最大值無最小值C．有最小值無最大值 D．無最大值也無最小值【答案】BD【分析】設，則，因此，，.由化簡為根據(jù)的范疇可判斷A；由化簡為根據(jù)的范疇可判斷B；由化簡為根據(jù)的范疇可判斷C；由化簡為根據(jù)的范疇可判斷D.【詳解】由題意，，因此，設，則的補角即與x軸正半軸的夾角，因此，，，因此，，由于，因此，當?shù)脮r，取最大值為1，無最小值，有最大值為，無最小值，故有最大值無最小值，即A錯誤；因此，由于，因此，當?shù)脮r，取最大值為1，無最小值，的最大值為，無最小值，故有最大值無最小值，故B對的；，由于，因此，當?shù)脮r，取最大值1，無最小值，此時有最大值，無最小值，即有最大值無最小值，故C錯誤；，由于，因此，因此，既無最大值也無最小值，D對的.故選：BD.【點睛】本題考察了向量的數(shù)量積、模長的坐標表達，解題的核心點是建立坐標系后求出各點的坐標，把數(shù)量積、模長用坐標表達，再根據(jù)的范疇求解，考察了學生分析問題、解決問題的能力以及計算能力.三、雙空題30．（·天津二中高三期中）已知邊長為的正△ABC，內(nèi)切圓的圓心為O，過B點的直線l與圓相交于M，N兩點，（1）若圓心O到直線l的距離為1，則_____________；（2）若，則的取值范疇為_____________．【答案】【分析】（1）運用圓的弦長公式即求；（2）以B為原點建立平面直角坐標系，可得內(nèi)切圓方程為，可設，由條件可得，再運用輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】（1）∵邊長為的正△ABC，內(nèi)切圓的圓心為O，由等邊三角形的性質(zhì)可知，內(nèi)切圓的半徑為2，又圓心O到直線l的距離為1，∴.（2）如圖以B為原點建立平面直角坐標系，則，內(nèi)切圓方程為，由題知點M在圓上，可設，∵，∴，∴，解得，∴，∵，∴.故答案為：；.31．（·黑龍江·哈爾濱三中高三期中（理））已知點為平面內(nèi)一點，，，則的取值范疇是___________；又的面積為1，則的最小值是___________.【答案】【分析】通過平方，結(jié)合向量法來求得的取值范疇.通過三角形的面積求得，然后結(jié)合余弦定理和鑒別式求得的最小值.【詳解】依題意，且，因此，因此.設，，由于，因此，因此的取值范疇是；由于的面積為1，則，由余弦定理得.令，則，兩邊平方并化簡得，令，則，該方程有不小于等于1的根，因此，即，因此.因此的最小值是.故答案為：；32．（·福建師大附中高三月考）設為的外心，，，分別為，，的對邊.（1）若，，則___________.（2）若，則的最小值為___________.【答案】10【分析】運用，，得，，，可得；由得，，由余弦定理得和基本不等式可得答案.【詳解】，，因此，，同理可得，因此；由得，因此，，由余弦定理得，當且僅當?shù)忍柍闪?，因此的最小值?故答案為：①10；②.33．（·全國·高三專項練習（文））已知是空間單位向量，，若空間向量滿足：，則_______，對于任意，向量與向量所成角的最小值為_______．【答案】【分析】由題意得：，根據(jù)數(shù)量積公式及題意，代入數(shù)據(jù)，即可求得答案；設向量與向量所成角為，根據(jù)求夾角公式，令,計算可得，令，（），運用導數(shù)判斷其單調(diào)性，求得最值，即可求得的最大值，即可得答案.【詳解】由題意得：=.由于設向量與向量所成角為，因此，當時，夾角才可能最小，令（），則，令，（），則，因此當時，，為增函數(shù)，當時，，為減函數(shù)，因此，因此，即.因此向量與向量所成角的最小值為.故答案為：；.【點睛】解題的核心是純熟掌握求模，求夾角的辦法，并靈活應用，難點在于，需結(jié)合導數(shù)，判斷的單調(diào)性，求得最值，當最大時，角度最小，考察分析理解，計算化簡的能力，屬中檔題.34．（·廣東佛山·二模）在中，點M，N是線段上的兩點，，，則_______________，的取值范疇是______________.【答案】；.【分析】由題意，先算出的值，再根據(jù)，即可得的值；然后由向量數(shù)量積的定義及，可得，對點運用極端分析，算出，的值，即可得到的取值范疇．【詳解】解：由題意，，，，又，，，，由題意，，則為外接圓的圓心，則.由于點在線段上，因此①假設點與點重疊，則，與矛盾，因此②假設點與點重疊，則，，，，，，即，，假設點與點重疊，則，，，此時，，綜上，，，，，，即，故答案為：；．【點睛】核心點點睛：根據(jù)點在線段上，因此分點與三個特殊點、、重疊進行極端分析，從而求解.35．（·天津·二模）已知平面四邊形，，，，點在線段上，，且，，則實數(shù)為___________，則的取值范疇為___________.【答案】【分析】計算得出，運用平面對量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得的值，以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標系，求出點的軌跡方程，設，平移直線，數(shù)形結(jié)合可得出的取值范疇，即為所求.【詳解】由于，則，，，因此，，解得.以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立以下圖所示的平面直角坐標系，則、、、，設點，則，，，，由已知可得，整頓可得，因此，點的軌跡為圓在第一象限的部分，令，直線的斜率為，直線的斜率為，因此直線與直線垂直，平移直線，當直線通過點時，，當直線通過點時，，當點D在直線AC上時，點，此時由圖可知，且.故答案為：；.【點睛】辦法點睛：求兩個向量的數(shù)量積有三種辦法：（1）運用定義：（2）運用向量的坐標運算；（3）運用數(shù)量積的幾何意義．具體應用時可根據(jù)已知條件的特性來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應用．36．（·江蘇省前黃高級中學模擬預測）在邊長為2的正三角形中，D是的中點，，交于F．①若，則___________；②___________．【答案】【分析】作輔助線，運用平行線的性質(zhì)，擬定出F點是AD的幾等分點，運用平面對量的線性運算即可用表達，求得x,y進而得解；再用來表達，用平面對量的數(shù)量積即可，即可得解.【詳解】如圖，過E作交于M，由，得，，又D是的中點，得，，故，即，因此因此，故易知由已知得因此故答案為：，【點睛】核心點點睛：本題考察平面對量的基本定理，平面對量的數(shù)量積的運算，解題的核心是運用平面對量的線性運算用表達，，考察學生的分析與轉(zhuǎn)化能力，及計算能力，屬于中檔題.37．（·廣東高州·二模）已知區(qū)域表達不在直線()上的點構(gòu)成的集合，則區(qū)域的面積為___________，若在區(qū)域內(nèi)任取一點，則的取值范疇為___________.【答案】【分析】將直線方程轉(zhuǎn)化為：，由已知得該方程無根，分類討論當時，，整頓得點在覺得圓心，1為半徑的圓的內(nèi)部，求得區(qū)域的面積，再運用向量數(shù)量積求得；當時，求得，即可得到答案.【詳解】將直線方程轉(zhuǎn)化有關m的方程為：.∵區(qū)域表達不在直線()上的點構(gòu)成的集合，∴方程無根.①當時，，整頓得，即在覺得圓心，1為半徑的圓的內(nèi)部，則區(qū)域的面積為.令，則，，，設與夾角為，則，∵，，∴，∴；②當時，直線方程為，令，解得，當時，必有取值，則當時，只有不在直線上.此時.總而言之，的取值范疇為.故答案為：，【點睛】核心點點睛：本題考察直線方程，圓的方程，平面對量的數(shù)量積的知識，將直線方程轉(zhuǎn)化為：，由已知得該方程無根是解題的核心，再分類討論和兩種狀況，即可得解，考察學生的邏輯思維能力與轉(zhuǎn)化化歸能力，屬于難題.38．（·全國·高三專項練習（理））在中，，，，則______；若，，，則的最大值為______．【答案】【分析】①運用向量的數(shù)量的的定義及向量的投影，即可求出；②將和分別用和表達代入，運用基本不等式求解即可.【詳解】①如圖，作，垂足為，由于，因此，因此，即，又，，因此，即,因此；②由于，，因此,,因此，當且僅當，即時，等號成立.因此的最大值為.故答案為：；.【點睛】核心點點睛：本題的核心是靈活應用向量的投影及用基底法表達向量.四、填空題39．（·浙江·模擬預測）已知，則的最大值為__________．【答案】【分析】運用向量的減法法則，把，，轉(zhuǎn)化為，，，進行求解.【詳解】設，則設，不妨設，，，，，即為的重心．則，點位于圓上或圓內(nèi)，故當在射線與圓周交點時，最大，即最大時．由得，．當且僅當時，取到最大值．故答案為：．【點睛】（1）應用平面對量基本定理表達向量的實質(zhì)是運用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．（2）用向量基本定理解決問題的普通思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表達成向量的形式，再通過向量的運算來解決．40．（·浙江·模擬預測）在等腰直角三角形中，，點在三角形內(nèi)，滿足，則______.【答案】【分析】延長、、，與對邊分別交于點、、，運用條件可得，，進而可得，延長至點，使得，運用兩角和的正切公式可得，進而得，即求.【詳解】如圖，延長、、，與對邊分別交于點、、.，，即，∴，同理∴，又在等腰直角三角形中，，延長至點，使得.則.記，.則，四點共圓，，.故答案為：41．（·浙江·樂清市知臨中學高三月考）已知，是覺得圓心，為半徑的圓周上的任意兩點，且滿足，設平面對量與的夾角為()，則平面對量在方向上的投影的取值范疇是_____.【答案】【分析】作出示意圖，首先運用BA⊥BC將問題轉(zhuǎn)化為求在上的投影，先考慮為鈍角（或直角）的狀況，由投影概念可知即求，然后通過余弦定理求出AB，進而求出和，最后通過函數(shù)求值域的角度，接下來考慮為銳角（或直角）的狀況，最后得到答案.【詳解】如圖，由BA⊥BC知A在BC上的投影點為B，因此在上的投影即為在上的投影，即為.在中，由余弦定理知，因此，因此，令，則，，設，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，于是在上單調(diào)遞增.時，時，因此，同理，當C位于C1處時，投影為.因此在上的投影的取值范疇為.故答案為：.【點睛】本題非常復雜，用的辦法較多，注意兩個問題：①如果沒有思路，那么就按照定義和定理方向走，需要什么就求出什么；②“”這一步接下來的解決方式，“設”，分式型函數(shù)的換元法普通狀況下?lián)Q掉次數(shù)較低的，自己注意歸納總結(jié)，接下來用導數(shù)或者對勾函數(shù)解決即可.42．（·浙江·高三開學考試）已知平面對量，，滿足，，則的取值范疇為__________．【答案】【分析】運用平面對量的幾何含義，作出，，，若，求、且，進而分析最大或最小時、的位置關系，結(jié)合向量數(shù)量積的幾何意義及三角恒等變換、二次函數(shù)的性質(zhì)求的取值范疇.【詳解】以下圖，，，則，，若，則，，若，由，∴要使最大，則、同向共線，以下圖示，此時，，而，∴當時，最大值為.要使最小，則、反向共線且，以下圖示，此時，而，∴當時，最小值為.綜上，取值范疇為.故答案為：【點睛】核心點點睛：作幾何圖形，并擬定平面對量所對應線段，結(jié)合向量數(shù)量積的幾何含義，分析最大或最小時、的位置關系，進而得到有關的函數(shù)，并擬定最值，即可得范疇.43．（·全國·高三專項練習）已知平面對量，，且，，向量滿足，則的最小值為___________.【答案】【分析】先根據(jù)平面對量數(shù)量積的定義求出夾角，然后根據(jù)平面對量的加減法作出示意圖，進而求出和，進而根據(jù)圖形得出點C的幾何意義，最后求出最值.【詳解】∵，，而，，∴，∴，，如圖所示，若，，，，則，，∴在覺得圓心，2為半徑的圓上，若，則，∴問題轉(zhuǎn)化為求在圓上哪一點時，使最小，又，∴當且僅當，，三點共線且時，最小為.【點睛】平面對量中的最值問題我們普通采用數(shù)形結(jié)合的方式，把向量模的最值問題轉(zhuǎn)化為距離的最值問題.44．（·浙江海寧·模擬預測）已知平面內(nèi)不同的三點O，A，B滿足，若時，的最小值為，則___________.【答案】【分析】由題設，將平面對量轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形，B在以A為圓心5為半徑的圓上，運用向量加減、數(shù)乘的幾何意義分別擬定D、E使、，進而可知表達，若是有關的對稱點，可知共線時最小，△中應用余弦定理求，即可求.【詳解】由題設，以下圖示，若，，則，，，即，∴，即，若是有關的對稱點，∴，即，以下圖示，當且僅當共線時，即最小，∵，即，，∴此時，△中，，并且為銳角，∴，而.故答案為：.【點睛】核心點點睛：根據(jù)平面對量加減、數(shù)乘的幾何意義，將題設條件轉(zhuǎn)化為平面幾何中的點線距離最短問題.45．（·浙江·高三期末）已知平面對量，，，，滿足，，，則的最大值為______.【答案】【分析】先將所求向量式轉(zhuǎn)化變形，參變向量分離，再由變形向量式的幾何意義判斷最值狀態(tài)，最后坐標運算求解最值.【詳解】設，則設，，不妨設，，，，，即為的重心.則，點位于圓上或圓內(nèi)，故當在射線與圓周交點時，最大，即最大時.由得，.當且僅當時，取到最大值.故答案為：.【點睛】向量式的最值問題求解，要重視三個方面的分析：一是其本質(zhì)上與函數(shù)的最值求解一致，變形時要搞清參變向量，從而把握變形方向；二是要重視向量本身數(shù)形兼具的特點，運用幾何意義求解最值；三是坐標應用，向量坐標化將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題求解.46．（·上海浦東新·三模）已知，若存在，使得與夾角為，且，則的最小值為___________.【答案】【分析】設，可得共線，又，當為最小時最小，而此時、有關y軸對稱，結(jié)合已知即可求的最小值.【詳解】由題意，，∴令，，故有共線，∵，故當且僅當為最小時，最小，∴有、有關y軸對稱時，最小，此時到AB的距離為，∴，即.故答案為：.【點睛】核心點點睛：應用向量的線性關系及共線性質(zhì)，可知，、、的終點共線，且可分析得、有關y軸對稱時，最小，進而求最小值即可.47．（·遼寧實驗中學高三期中）在銳角中，，若點為的外心，且，則的最大值為___________.【答案】【分析】通過向量的減法，把，轉(zhuǎn)化為與，進行整頓后再平方解決即可得解.【詳解】，整頓得：設銳角外接圓的半徑為，因此，則上式兩邊平方得：①，其中，代入①式，得：，整頓得：，由基本不等式得：，當且僅當時，等號成立即，解得：或當時，此時，，此時P點在△ABC外部，△ABC為鈍角三角形，與題干矛盾，因此舍去，成立故答案為：48．（·上海市金山中學高三月考）設定義域為的函數(shù)的圖象的為，圖象的兩個端點分別為、，點為坐標原點，點是上任意一點，向量，，且滿足，又設向量，現(xiàn)定義“函數(shù)在上“可在原則下線性近似”是指恒成立，其中為常數(shù)．給出下列結(jié)論：①、、三點共線；②直線的方向向量可覺得；③函數(shù)在上“可在原則1下線性近似”；④“函數(shù)在上“可在原則下線性近似”，則．其中全部對的結(jié)論的序號為___．【答案】①②④【分析】根據(jù)題意得到得到①對的，計算得到得到軸，②對的，取，計算得到，③錯誤，，根據(jù)均值不等式得到答案.【詳解】，即，即，故、、三點共線，①對的；，，，故，，故，即軸，即直線的方向向量可覺得，②對的；易知，，取，則，故，，故，即，③錯誤；函數(shù)在上，易知，，故直線方程為：.，當且僅當，即時等號成立，故④對的.故答案為：①②④.【點睛】本題考察了向量共線問題，方向向量，均值不等式求最值，旨在考察學生的計算能力和綜合應用能力，其中把向量模長轉(zhuǎn)化為點的縱坐標相減是解題的核心.49．（·甘肅省民樂縣第一中學高三月考（理））已知中，，，且的最小值為，則__________.【答案】3【分析】由題可知，向量與均為單位向量且互相垂直，再運用數(shù)形結(jié)合進行求解.【詳解】記，，則表達與同方向的單位向量.又，則B、D、E三點共線.當與垂直時，有最小值，因此.因此.故答案為：3.【點睛】本題解題的難點在于的幾何意義，表達方向上的單位向量，再運用三點共線作出分析求解.50．（·全國·高三專項練習）已知平面上兩定點A、B，且，動點P滿足，若點P總不在以點B為圓心，為半徑的圓內(nèi)，則負數(shù)的最大值為_______．【答案】【分析】運用解析辦法，以所在直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，得到動點P點的軌跡方程，分和兩種狀況討論，當時，運用兩圓的位置關系得到有關的不等式，進而求解得到的取值范疇.【詳解】以所在直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，則．設，且動點P滿足，即，則，當時，滿足題意；當時，點P在以原點為圓心，為半徑的圓上，同時點P總不在以點B為圓心，為半徑的圓內(nèi)，

即圓與圓相離或外切內(nèi)切或內(nèi)含，因此或，解得或（舍去），因此負數(shù)的最大值為．故答案為：.51．（·浙江省富陽中學高三開學考試）在平面內(nèi)，若有，，則的最大值為________．【答案】【分析】由條件能夠求得，從而可作，并連接，取的中點，連接，則有，根據(jù)條件能夠得到，可作，并連接，，從而能夠得到，即點在覺得直徑的圓上，從而得出當在上的投影最大時，最大．通過計算，即得出在上的投影最大值，從而得出的最大值.【詳解】解：根據(jù)條件，；；，如圖，作，則，連接，取的中點，連接，則；由得，；；作，連接，，則；；點在覺得直徑的圓上；當運動到圓的最右側(cè)時，在上的投影最大，即最大；又,又,且,因此,因此在上的最大投影為，因此,故答案為：52．（·重慶·西南大學附中高三開學考試）已知△ABC外接圓的圓心為O，半徑為2．設點O到邊BC，CA，AB的距離分別為，，．若，則___________．【答案】4【分析】由題設作圖：為△ABC外接圓的圓心，，，，用表達、、、、、，再由得到有關的線性體現(xiàn)式，即可求值.【詳解】若為△ABC外接圓的圓心，，，，即，，，以下