構造直角三角形巧解題

第第4頁共5頁構造直角三角形巧解題有些幾何題，若能仔細觀察、把握特征、抓住本質、恰當?shù)貥嬙熘苯侨切芜M行轉化，就會收到化難為易、事半功倍的效果?下面舉例介紹構造直角三角形解題的若干常用方法，供同學們復習時參考.一、利用已知直角構造直角三角形例1：如圖1,在四邊形ABCD中，ZA=600,ZB=ZD=90o,AB=2,CD=1.貝VBC和AD的長分另U為和.解析:考慮到圖中含有9Oo和6Oo的角，若延長AD、BC相交于E,則可以構造出Rt^AEB和RtACED，易知ZE=3Oo，從而可求出DE=\：3,AE=4,BE=2\§，故AD=4-占,BC=2啟-2.二、利用勾股定理構造直角三角形例2：如圖2,在四邊形ABCD中，AB=AD=8,ZA=6Oo,ZADC=15Oo，已知四邊形ABCD的周長為32,求四邊形ABCD的面積.解析:四邊形ABCD是一個不規(guī)則的四邊形，要求其面積，可設法變成特殊的三角形求解?連接BD，VAABD是等邊三角形，ABDC是直角三角形，由于AB=AD=BD=8,,求△ABD的面積不難解決，關鍵是求△BDC的面積?可運用周長和勾股定理聯(lián)合求出DC,從而求出△BDC的面積.解答:連接BD.VAB=AD,ZA=6Oo‘.?.△ABD是等邊三角形..\ZADB=6Oo,BD=AD=AB=8.因為ZADC=15Oo,?\ZBDC=9OO,故厶BDC是直角三角形，因為四邊形ABCD的周長為32,AB=AD=8,.??BC+DC=32-16=16,BC=16-DC.在RtABDC中，BD2+DC2=BC2,即82+DC2=(16—DC)2.解得DC=6.[-?S=x6x8=24.用勾股定理求出等邊△ABD的咼為—x8=4丫3.ABDC22S=丄x8x4^3=16^3,??S=S+S=16^3+24.AABD2四ABCDAABDABDC說明:⑴求不規(guī)則的圖形面積應用割補法把圖形分解為特殊的圖形；(1)四邊形中通過添

/f加輔助線構造直角三角形;⑶邊長為a的等邊三角形的高為9a，面積為竺a2.24三、利用高構造直角三角形例3：如圖3,等腰△ABC的底邊長為8cm,腰長為5cm,—動點P在底邊上從B向C以0.25cm/s的速度移動，請你探究：當P運動幾秒時，P點與頂點A的連線PA與腰垂直.解析：本題是一道探究性的動態(tài)問題，假設P在某一時刻有PA丄AC,此時P點運動了幾秒，這是解決問題的著手點設BP=x,PC=8-x，在RtAPAC中，由于PA不知道，無法建立關系式?考慮△ABC是等腰三角形,如作底邊上的高AD,貝9可用x的代數(shù)式表示AP,用勾股定理便可求出x,進而求出運動時間?當P點運動到D與C之間時，也存在AP丄AB的情況，故要分類討論.解答：作底邊BC的高AD,貝VAD丄BC,垂足為D.設BP=xcm,PA丄AC.由等腰三角形的性質知BD=DC=1BC=4cm.2在RtAADB中,AD2+BD2=AB2,AD2=AB2-BD2=52-42=9,?：AD=3(cm).在RtAPAC中，AP2+AC2=PC2，.:3+(4—x)2+52=(8—x)2.解得x=，即BP=2(cm).TOC\o"1-5"\h\z44P點移動的時間為7一0.25=7(s).4當P點移動到D點與C點之間時，作P點關于D點的對稱點P',7725則P'C=—(cm).BP'=8—=(cm).444此時P點的運動時間為互+0.25=25(s).4答：當P點移動7(s)或25(s)時,PA與腰垂直.說明：動態(tài)探究問題的解答關鍵是把它在某一瞬間看做不動，即動中求靜，抓住運動中的不變量進行探究.本例中等腰三角形“三線合一”的性質與勾股定理是構成解決問題的紐帶,由于點P是運動的，故要分類討論.圖4四、利用勾股定理的逆定理構造直角三角形圖4例4:如圖4,在AABC中，AB=5,AC=13,BC邊上的中線AD=6,求BC的長.第第4頁共5頁解析:注意到5,12,13恰為一組勾股數(shù)，因此加倍延長中線AD到E,連接CE,將AB,AC,2AD集中到同一AACE中，構成直角三角形，運用勾股定理求BC的長.解答:延長AD到E,使DE=AD，連接CE.???AD是BC邊上的中線，???BD=CD.又AD=ED,ZADB=ZEDC,.?.△ADB9AEDC(SAS),.\CE=BA=5.又AC=13,AE=2AD=12,..5+122=169=132，即CE2+AE2=AC2,???△AEC是直角三角形且ZE=90o.在RtADEC中，CD2=DE2+CE2,ACD^62+52^.61,BC=2CD=^.61,.BC邊的長為^■'61.說明:遇到中線問題往往加倍延長，同時對勾股數(shù)應有靈敏的感覺，只要已知三角形三邊的長，就應該用勾股定理的逆定理來判斷三角形的形狀.靈活應用勾股定理勾股定理在幾何計算或驗證中，均有十分廣泛的應用，請看以下幾例一、計算問題例1一個零件如圖所示，已知AC=3厘米,AB=4厘米,BD=12厘米，求CD的長.解：在RtAABC中，根據(jù)勾股定理知:BC2=AC2+AB2=32+42=25在RtACBD中，根據(jù)勾股定理知：CD2=BC2+BD2=25+122=169VCD>0.??CD=13厘米例2如圖在四邊形ABCD中，已知四條邊的比AB:BC:CD:DA=2：2：3：1,且ZB=90°,則ZDAB的度數(shù)分析：這道題涉及到角度的求解，需要利用到勾股定理的逆定理(如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.)解：設DA=m(m>0)則AB=2mBC=2mCD=3m在Rt^ABC中，由AB=BC=2m知ZBAC=45°,又由勾股定理得AC2=AB2+BC2=(2m)2+(2m)2=8m2AC2+AD2=(8m)2+m2=9m2CD2=(3m)2=9m2.?.AC2+AD2=CD2從而ZDAC=90°?.ZDAB=ZDAC+ZCAB=90°+45°=135°二、推理驗證例3如圖在長方形ABCD中,AB=5厘米.在CD邊上找一點E,沿直線AE把△ABE折疊，若點D恰好落在BC邊上點F處，且△ABF的面積是30平方厘米，求DE的長.分析：本題涉及到折疊翻轉的知識,需要注意的是在折疊或翻轉過程中形成的軸對稱關

系，然后利用勾股定理，通過設未知數(shù)解方程來求解．解:因ABF的面積是30平方厘米，AB=5厘米1所以一x5?BF=30,BF=122在RtAABF中，由勾股定理，得AF2=52+122=169所以AF=13由題意，知△AFE9AADE所以AD=AF=13所以BC=13所以FC=BC－BF=13－12=1設EF=DE=x則EC=5－x在Rt^EFC中，由勾股定理，得EF2=EC2+FC2所以x2=（5－x）2+121313解得ycm即DE的長是;5cm三、折紙問題近年來出現(xiàn)的折紙問題往往考察學生對軸對稱勾股定理等知識的理解及應用能力．下面舉例說明：例4（山東初中數(shù)學競賽）如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=4,將矩形沿AC折疊，點D落在D'處，則重疊部分AAFC的面積為解：ADCA和△DCA關于AC對稱，.?.ZDCA=ZDCA又?.?DC〃AB?.ZDCA=ZCAB.??ZCAB=ZD'CA.??AF=CF設AF=x貝yCF=X,BF=8—X在Rt^BCF中，由勾股定理得x2=42+(8—x)2從而解得x=5?"△afc=^AF^BC二仝二io22

例5（北京市中學生數(shù)學邀請賽初二）如圖正方形紙片ABCD中,E為BC重點，折疊正方形，使點A與點E重合，壓平后，得折痕MN,設梯形ADMN的面積為S1梯形BCMN的面積為S2，求S］：S2的值.解：過E作EG〃AB,交MN于F,交AD于G.很明顯MN垂直平分AE,所以AN=NE，AEFH^^ANH所以EF=AN設AN=NE=x,AB=2a則BE=a,得x=BN=2a－x由勾股定理：x2=a2+（2a－x）2得x=那么FG=2a—a=?a44評析：以上題目，無論求面積，還是求長度