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三點抗彎強度Documentnumber:WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-
第18講教學方案——彎曲切應力、彎曲強度條件基本內(nèi)容梁橫力彎曲時橫截面上的切應力教1、掌握各種形狀截面梁(矩形、圓形、圓環(huán)形、工字形)橫截面上學切應力的分布和計算。目2、熟練彎曲正應力和剪應力強度條件的建立和相應的計算。的3、了解什么情況下需要對梁的彎曲切應力進行強度校核。重點本節(jié)重點:矩形截面梁的切應力、彎曲強度條件及計算。、難本節(jié)難點:掌握需要對梁彎曲切應力進行強度校核的各種情況。點§7-3彎曲切應力梁受橫彎曲時,雖然橫截面上既有正應力「又有剪應力「但一般情況下,剪應力對梁的強度和變形的影響屬于次要因素,因此對由剪力引起的剪應力,不再用變形、物理和靜力關(guān)系進行推導,而是在承認正應力公式(6-2)仍然適用的基礎(chǔ)上,假定剪應力在橫截面上的分布規(guī)律,然后根據(jù)平衡條件導出剪應力的計算公式。1.矩形截面梁圖占-疔涪裁面寬度節(jié)碰力皓令対對于圖6-5所示的矩形截面梁,橫截面上作圖占-疔涪裁面寬度節(jié)碰力皓令対用剪力Q。現(xiàn)分析距中性軸Z為y的橫線aa上的1剪應力分布情況。根據(jù)剪應力成對定理,橫線aa兩端的剪應力必與截面兩側(cè)邊相切,即與剪1力Q的方向一致。由于對稱的關(guān)系,橫線aa中i點處的剪應力也必與Q的方向相同。根據(jù)這三點剪應力的方向,可以設(shè)想aa線上各點剪應力的1方向皆平行于剪力Q。又因截面高度h大于寬度b,剪應力的數(shù)值沿橫線aa不可能有太大變化,1可以認為是均勻分布的?;谏鲜龇治?,可作如下假設(shè):1) 橫截面上任一點處的剪應力方向均平行于剪力Q。(c] (d)圖方f烈據(jù)徽塊干衝率劈應力(c] (d)圖方f烈據(jù)徽塊干衝率劈應力基于上述假定得到的解,與精確解相比有足夠的精確度。從圖6-6a的橫彎梁中截出dx微段,其左右截面上的內(nèi)力如圖6-6b所示。梁的橫截面尺寸如圖6-6c所示,現(xiàn)欲求距中性軸z為y的橫線aa1處的剪應力e。過aa用平行于中性層的1縱截面aacc自dx微段中截出一微塊11(圖6-6d)。根據(jù)剪應力成對定理,微塊的縱截面上存在均勻分布的剪應力e'。微塊左右側(cè)面上正應力的合力分別為N和N,其中12
代』idAj學dA二非*(a)代』idAj學dA二非*(a)A* A*z zN二LdA二2 IIA*J(M+儷)兒dA二(M+dM)s?I IZA*式中,A*為微塊的側(cè)面面積,◎]Qn)為面積A*中距中性軸為y處的正應力,S*=JydA。1 z 1A*由微塊沿x方向的平衡條件工x=0,得-N+N—T’bdx=0(C)12將式(a)和式(b)代入式(c),得dMS*
dxbl圖&T輻於廉函數(shù)應力的分布因石=Q'T‘=T,故求得橫截面上距中性軸為y處橫線上各點的剪應力工為QS*zblz6-3)式(6-3)也適用于其它截面形式的梁。式中,Q為截面上的剪力;I為整個截面對中z性軸Z的慣性矩;b為橫截面在所求應力點處的寬度;S*為面積A*對中性軸的靜矩。y對于矩形截面梁(圖6-7),可取dA=bdy^,于是這樣,式(6-3)可寫成上式表明,沿截面高度剪應力T按拋物線規(guī)律變化(圖6-7b)。在截面上、下邊緣處,hy=±t=0;在中性軸上,z=0,剪應力值最大,其值為3Q6-4)T6-4)max2A式中A=bh,即矩形截面梁的最大剪應力是其平均剪應力的32倍。2.圓形截面梁在圓形截面上(圖6-8),任一平行于中性軸的橫線aa兩端處,剪應力的方向必切于圓周,并相交于y軸上的c點。因此,橫線上各點剪應力方向是變化的。但在中性軸上各點剪應力的方向皆平行于剪力Q,設(shè)為均勻分布,其值為最大。由式(6-3)求得T=4Q(6-5)max3A兀式中A=-d2,即圓截面的最大剪應力為其平均剪應力的43倍。3■工字形截面梁工字形截面梁由腹板和翼緣組成。式(6-3)的計算結(jié)果表明,在翼緣上剪應力很小,在腹板上剪應力沿腹板高度按拋物線規(guī)律變化,如圖6-9所示。最大剪應力在中性軸上,其值為式中(S*)為中性軸一側(cè)截面面zmax積對中性軸的靜矩。對于軋制的工字鋼’式中的%)可以從型鋼表max字鋼’式中的%)可以從型鋼表max中查得。計算結(jié)果表明,腹板承擔的剪力約為(~)Q,因此也可用下式計算工 的近似值max式中h為腹板的高度,d為腹板的寬度。1
§7-4彎曲強度計算根據(jù)前節(jié)的分析,對細長梁進行強度計算時,主要考慮彎矩的影響,因截面上的最大正應力作用點處,彎曲剪應力為零,故該點為單向應力狀態(tài)。為保證梁的安全,梁的最大正應力點應滿足強度條件Q= max_max□[Q] (6-6)max Iz式中[q]為材料的許用應力。對于等截面直梁,若材料的拉、壓強度相等,則最大彎矩的所在面稱為危險面,危險面上距中性軸最遠的點稱為危險點。此時強度條件(6-6)可表達為Q max<[Q](6-7)maxWz式中W二(6-8)zymax稱為抗彎截面系數(shù)(或抗彎截面模量),其量綱為[長度]3。國際單位用m3或mm3。對于寬度為b、高度為h的矩形截面,抗彎截面系數(shù)為bh2~6~6-9bh2~6~6-9)W二12zh2直徑為d的圓截面,抗彎截面系數(shù)為—d—d4 _dWz=皆=呢6-10)內(nèi)徑為d,外徑為D的空心圓截面,抗彎截面系數(shù)為竺(-竺(-a4)D(、Wz=旨晉(-a4)6-11)軋制型鋼(工字鋼、槽鋼等)的W可從型鋼表中查得。z對于由脆性材料制成的梁,由于其抗拉強度和抗壓強度相差甚大,所以要對最大拉應力點和最大壓應力點分別進行校核。根據(jù)式(6-7),可以解決三類強度問題,即強度校核,截面設(shè)計和許用載荷計算。需要指出的是,對于某些特殊情形,如梁的跨度較小或載荷靠近支座時,焊接或鉚接的壁薄截面梁,或梁沿某一方向的抗剪能力較差(木梁的順紋方向,膠合梁的膠合層)等,還需進行彎曲剪應力強度校核。等截面直梁的p —般發(fā)生在Q|截面的中性
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