數(shù)列通項(xiàng)公式方法大全

1,數(shù)列通項(xiàng)公式得十種求法:(1)公式法(構(gòu)造公式法)例1已知數(shù)列滿足,,求數(shù)列得通項(xiàng)公式。解:兩邊除以,得,則,故數(shù)列就是以為首項(xiàng),以為公差得等差數(shù)列,由等差數(shù)列得通項(xiàng)公式,得,所以數(shù)列得通項(xiàng)公式為。評(píng)注:本題解題得關(guān)鍵就是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為,說明數(shù)列就是等差數(shù)列,再直接利用等差數(shù)列得通項(xiàng)公式求出,進(jìn)而求出數(shù)列得通項(xiàng)公式。(2)累加法例2已知數(shù)列滿足,求數(shù)列得通項(xiàng)公式。解:由得則所以數(shù)列得通項(xiàng)公式為。評(píng)注:本題解題得關(guān)鍵就是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為,進(jìn)而求出,即得數(shù)列得通項(xiàng)公式。變式:已知數(shù)列滿足,求數(shù)列得通項(xiàng)公式。(3)累乘法例3已知數(shù)列滿足,求數(shù)列得通項(xiàng)公式。解:因?yàn)?所以,則,故所以數(shù)列得通項(xiàng)公式為評(píng)注:本題解題得關(guān)鍵就是把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為,進(jìn)而求出,即得數(shù)列得通項(xiàng)公式。變式:已知數(shù)列滿足,求得通項(xiàng)公式。(4)待定系數(shù)法例4已知數(shù)列滿足,求數(shù)列得通項(xiàng)公式。解:設(shè) ④將代入④式,得,等式兩邊消去,得,兩邊除以,得代入④式得 ⑤由及⑤式得,則,則數(shù)列就是以為首項(xiàng),以2為公比得等比數(shù)列,則,故。評(píng)注:本題解題得關(guān)鍵就是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為,從而可知數(shù)列就是等比數(shù)列,進(jìn)而求出數(shù)列得通項(xiàng)公式,最后再求出數(shù)列得通項(xiàng)公式。變式:=1\*GB3①已知數(shù)列滿足,求數(shù)列得通項(xiàng)公式。=2\*GB3②已知數(shù)列滿足,求數(shù)列得通項(xiàng)公式。(5)對(duì)數(shù)變換法例5已知數(shù)列滿足,,求數(shù)列得通項(xiàng)公式。解:因?yàn)?所以。在式兩邊取常用對(duì)數(shù)得 ⑩設(shè) eq\o\ac(○,11)將⑩式代入eq\o\ac(○,11)式,得,兩邊消去并整理,得,則,故代入eq\o\ac(○,11)式,得eq\o\ac(○,12)由及eq\o\ac(○,12)式,得,則,所以數(shù)列就是以為首項(xiàng),以5為公比得等比數(shù)列,則,因此則。評(píng)注:本題解題得關(guān)鍵就是通過對(duì)數(shù)變換把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為,從而可知數(shù)列就是等比數(shù)列,進(jìn)而求出數(shù)列得通項(xiàng)公式,最后再求出數(shù)列得通項(xiàng)公式。(6)數(shù)學(xué)歸納法例6已知數(shù)列滿足,求數(shù)列得通項(xiàng)公式。解:由及,得由此可猜測(cè),往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。(1)當(dāng)時(shí),,所以等式成立。(2)假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立,即,則當(dāng)時(shí),由此可知,當(dāng)時(shí)等式也成立。根據(jù)(1),(2)可知,等式對(duì)任何都成立。評(píng)注:本題解題得關(guān)鍵就是通過首項(xiàng)與遞推關(guān)系式先求出數(shù)列得前n項(xiàng),進(jìn)而猜出數(shù)列得通項(xiàng)公式,最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。(7)換元法例7已知數(shù)列滿足,求數(shù)列得通項(xiàng)公式。解:令,則故,代入得即因?yàn)?故則,即,可化為,所以就是以為首項(xiàng),以為公比得等比數(shù)列,因此,則,即,得。評(píng)注:本題解題得關(guān)鍵就是通過將得換元為,使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化形式,從而可知數(shù)列為等比數(shù)列,進(jìn)而求出數(shù)列得通項(xiàng)公式,最后再求出數(shù)列得通項(xiàng)公式。(8)不動(dòng)點(diǎn)法例8已知數(shù)列滿足,求數(shù)列得通項(xiàng)公式。解:令,得,則就是函數(shù)得兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)?。所以?shù)列就是以為首項(xiàng),以為公比得等比數(shù)列,故,則。評(píng)注:本題解題得關(guān)鍵就是先求出函數(shù)得不動(dòng)點(diǎn),即方程得兩個(gè)根,進(jìn)而可推出,從而可知數(shù)列為等比數(shù)列,再求出數(shù)列得通項(xiàng)公式,最后求出數(shù)列得通項(xiàng)公式。例9已知數(shù)列滿足,求數(shù)列得通項(xiàng)公式。解:令,得,則就是函數(shù)得不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)?所以。評(píng)注:本題解題得關(guān)鍵就是通過將得換元為,使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化形式,從而可知數(shù)列為等比數(shù)列,進(jìn)而求出數(shù)列得通項(xiàng)公式,最后再求出數(shù)列得通項(xiàng)公式。課后習(xí)題:1.數(shù)列得一個(gè)通項(xiàng)公式就是()A、B、C、D、2.已知等差數(shù)列得通項(xiàng)公式為,則它得公差為()A、2B、3C、D、3.在等比數(shù)列中,則()A、B、C、D、4.若等比數(shù)列得前項(xiàng)與為,且,,則5.已知數(shù)列通項(xiàng)公式,則該數(shù)列得最小得一個(gè)數(shù)就是6.在數(shù)列{an}中,且,則數(shù)列得前99項(xiàng)與等于.7.已知就是等差數(shù)列,其中,公差。(1)求數(shù)列得通項(xiàng)公式;(2)數(shù)列從哪一項(xiàng)開始小于0