愛提分七年級暑假 第11講-與整式相關(guān)的找規(guī)律(教師版)

高思愛提分演示（KJ)初中數(shù)學(xué)教師輔導(dǎo)講義[教師版]學(xué)員姓名初一1班 年級初一輔導(dǎo)科目初中數(shù)學(xué)學(xué)科教師車勝男上課時(shí)間01-1412:00:00-12:30:00 知識圖譜與整式相關(guān)的找規(guī)律知識精講一．找規(guī)律規(guī)律探究類的問題考查從特殊到一般的認(rèn)識水平、運(yùn)算能力以及對知識的貫通能力，要求學(xué)生必須具備邏輯推理能力、觀察歸納能力、猜想驗(yàn)證能力．考察題型主要有“數(shù)字類”、“圖形類”、“計(jì)算類”等．掌握探究的一般方法是解決此類問題的關(guān)鍵．（1）掌握探究規(guī)律的方法，可以通過具體到抽象、特殊到一般的方法，有時(shí)通過類比、聯(lián)想，還要充分利用已知條件或圖形特征進(jìn)行透徹分析，從中找到隱含的規(guī)律．（2）恰當(dāng)合理的聯(lián)想、猜想，從簡單的、局部的特殊情況到一般情況是基本思路，經(jīng)過歸納、提煉、加工，尋找出一般性規(guī)律，從而求解問題．解決“規(guī)律探索”的題目通常需要以下三個(gè)步驟：尋找數(shù)量之間的關(guān)系——用代數(shù)式表示規(guī)律——驗(yàn)證規(guī)律。在這過程中我們要要善于觀察與比較，找到題目中隱藏的不變量，分析題目中的變量，善于尋找事物的循環(huán)部分，大膽的進(jìn)行猜想和嘗試?？丛龇?、8、13、18、23、……求第n個(gè)數(shù)仔細(xì)觀察相鄰兩個(gè)數(shù)之間有什么關(guān)系，從第二個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都比前一位數(shù)增加5，所以第n個(gè)數(shù)是：3+5(n-1)即5n-2例：用黑白兩種顏色的正六邊形地磚按如圖所示的規(guī)律拼成若干圖案，那么第n個(gè)圖案中，白色地磚共________塊．通過觀察找到圖形的不變量與增幅，第一個(gè)圖中有白磚6個(gè)，以圖1為基本圖形，后面每個(gè)圖都比左邊相鄰的基本圖形多4個(gè)白磚，所以第n個(gè)圖中有白色地磚6+4(n-1)即4n+2個(gè)與序列號有關(guān)例：觀察下列各式：，按此規(guī)律寫出第10個(gè)式子是______這一列式子都是單項(xiàng)式，我們要觀察它們的次數(shù)和系數(shù)，次數(shù)依次是0，1，2，3，4，……即序列號減1；系數(shù)依次是0，1，1，2，3，5，8……即每一個(gè)系數(shù)是前面相鄰兩個(gè)單項(xiàng)式系數(shù)之和，以此類推第10個(gè)式子的系數(shù)是34，次數(shù)是10-1=9，即例：如圖，是用圍棋棋子按照某種規(guī)律擺成的一行“廣”字，按照這種規(guī)律，第n個(gè)“廣”字中的棋子個(gè)數(shù)是________“廣”字一共三畫，其中一點(diǎn)固定只需要一個(gè)棋子，只有一橫和一撇發(fā)生變化，前4個(gè)圖的棋子個(gè)數(shù)依次是：1+3+3，1+4+4，1+5+5，1+6+6，整理一下得到1+2×3，1+2×4，1+2×5，1+2×6，以此類推第5個(gè)是1+2×7即15個(gè)，1+2×____中橫線上的數(shù)始終比序號數(shù)（即第幾個(gè)圖）大2，所以第n個(gè)圖的棋子個(gè)數(shù)是1+2×(n+2)，即2n+5三點(diǎn)剖析一．考點(diǎn)：數(shù)字類、圖形類找規(guī)律． 二．重難點(diǎn)：數(shù)字類、圖形類找規(guī)律．三．易錯(cuò)點(diǎn)：1．?dāng)?shù)字類規(guī)律是等差數(shù)列時(shí)，第項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤．?dāng)?shù)字類例題例題1、觀察下列一組數(shù)：，，，，根據(jù)該組數(shù)的排列規(guī)律，可推出第10個(gè)數(shù)是________．【答案】【解析】分子為1，2，3，4，5，，第10個(gè)數(shù)的分子為10，分母為3，5，7，9，11，，第10個(gè)數(shù)的分母為：，第10個(gè)數(shù)為：．例題2、觀察下列各算式：，，，，，通過觀察規(guī)律，確定的個(gè)位數(shù)字是（）A.1B.3C.7D.9【答案】A【解析】個(gè)位數(shù)字分別以3、9、7、1依次循環(huán)，，的個(gè)位數(shù)字與循環(huán)組的第4個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字相同，是1．例題3、觀察下面一列數(shù)，，，，，，，……，將這列數(shù)排列成下列行式按照上述規(guī)律排下去，那么第行從左邊第個(gè)數(shù)是__________，是第__________行從左邊數(shù)第__________個(gè)數(shù)．【答案】；；．【解析】第一行數(shù)的個(gè)數(shù)是：個(gè),第行共有個(gè)數(shù),則前行共有：

個(gè)數(shù)，第行第一個(gè)數(shù)是，第個(gè)：；前行共有：

個(gè)數(shù)，，前行共個(gè)數(shù)，第行：以此類推：是行從左數(shù)第個(gè)數(shù)．例題4、觀察下列各式：……猜想：__________．【答案】【解析】略．例題5、觀察下列各式：（1）你能探索出什么規(guī)律？（用文字或表達(dá)式）（2）試運(yùn)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：【答案】（1）（2）【解析】（1）；（2）例題6、請觀察下列算式，找出規(guī)律并填空：，，，，則：（1）第10個(gè)算式是________；（2）第個(gè)算式為________；（3）根據(jù)以上規(guī)律解答下題：【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)題意知，第10個(gè)算式是，（2）第個(gè)算式為，（3）原式．例題7、已知一列數(shù)：1，，3，，5，，7，...將這列數(shù)排成下列形式：按照上述規(guī)律排下去，那么第100行從左邊數(shù)第5個(gè)數(shù)是（）A.B.4955C.D.4950【答案】B【解析】∵第n行有n個(gè)數(shù)，此行第一個(gè)數(shù)的絕對值為；且奇數(shù)為正，偶數(shù)為負(fù)，∴第100行從左邊數(shù)第1個(gè)數(shù)絕對值為，則第2個(gè)數(shù)為、第3個(gè)數(shù)為4953、第4個(gè)數(shù)為，第5個(gè)數(shù)為4955．隨練隨練1、如圖所示的運(yùn)算程序中，若開始輸入的x值為100，我們發(fā)現(xiàn)第1次輸出的結(jié)果為50，第2次輸出的結(jié)果為25，…，第2018次輸出的結(jié)果為________．【答案】4【解析】由設(shè)計(jì)的程序，知依次輸出的結(jié)果是50，25，32，16，8，4，2，1，8，4，2，1…，發(fā)現(xiàn)從8開始循環(huán)．則，，故第2018次輸出的結(jié)果是4．隨練2、按一定順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列，如數(shù)列：，，，，…，則這個(gè)數(shù)列前2018個(gè)數(shù)的和為________．【答案】【解析】由數(shù)列知第n個(gè)數(shù)為，則前2018個(gè)數(shù)的和為．隨練3、世界上著名的萊布尼茨三角形如圖所示：則排在第10行從左邊數(shù)第3個(gè)位置上的數(shù)是________．【答案】【解析】∵第10行最后一個(gè)數(shù)是，第9行最后一個(gè)數(shù)是，第8行最后一個(gè)數(shù)是∴第9號倒數(shù)第二個(gè)數(shù)是，第十行倒數(shù)第二個(gè)數(shù)是∴第10行倒數(shù)第三個(gè)數(shù)是．根據(jù)對稱性可知，第10行從左邊數(shù)第3個(gè)位置上的數(shù)也是．圖形類例題例題1、觀察下列一組圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中第一個(gè)圖形中共有4個(gè)點(diǎn)，第2個(gè)圖形中共有10個(gè)點(diǎn)，第3個(gè)圖形中共有19個(gè)點(diǎn)，…按此規(guī)律第6個(gè)圖形中共有點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A.38B.46C.61D.64【答案】D【解析】∵1個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4=1+×1×2，第2個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)是10=1+×2×3，第3個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)是19=1+×3×4，…，∴第n個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1+n（n+1），∴第6個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)是：1+×6×7=1+9×7=1+63=64，例題2、如圖所示是一組有規(guī)律的圖案，第1個(gè)圖案由4個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，第2個(gè)圖案由7個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，…，第n（n是正整數(shù)）個(gè)圖案中的基礎(chǔ)圖形個(gè)數(shù)為________（用含n的式子表示）．【答案】3n＋1【解析】觀察可知，第1個(gè)圖案由4個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，4＝3＋1第2個(gè)圖案由7個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，7＝3×2＋1，第3個(gè)圖案由10個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，10＝3×3＋1，…，第n個(gè)圖案中基礎(chǔ)圖形有：3n＋1．例題3、根據(jù)如圖中箭頭的指向規(guī)律，從2013到2014再到2015，箭頭的方向是以下圖示中的（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由圖可知，每4個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，2012÷4=503，即0到2011共2012個(gè)數(shù)，構(gòu)成前面503個(gè)循環(huán)，∴2012是第504個(gè)循環(huán)的第1個(gè)數(shù)，2013是第504個(gè)循環(huán)組的第2個(gè)數(shù)，∴從2013到2014再到2015，箭頭的方向是例題4、觀察下列圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第n個(gè)圖形有（）個(gè)太陽．A.2nB.n＋2n－1C.n＋2nD.2n【答案】B【解析】第一行小太陽的個(gè)數(shù)為1、2、3、4、…，第5個(gè)圖形有5個(gè)太陽，第二行小太陽的個(gè)數(shù)是1、2、4、8、…、2n－1，第5個(gè)圖形有24＝16個(gè)太陽，所以第5個(gè)圖形共有5＋16＝21個(gè)太陽，所以第n個(gè)圖形共有（n＋2n－1）個(gè)太陽．例題5、如圖，圖①是一塊邊長為1，周長記為的正三角形紙板，沿圖①的底邊剪去一塊邊長為的正三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊依次剪去一塊更小的正三角形紙板（即其邊長為前一塊被剪掉正三角形紙板邊長的）后，得圖③，④，…，記第塊紙板的周長為，則_____．…………①②③④【答案】【解析】，，例題6、下列圖案是用長度相同的火柴棒按一定規(guī)律拼搭而成，圖案①需8根火柴棒，圖案②需15根火柴棒，…，按此規(guī)律，圖案⑦需根火柴棒．【答案】50【解析】∵圖案①需火柴棒：8根；圖案②需火柴棒：8+7=15根；圖案③需火柴棒：8+7+7=22根；…∴圖案n需火柴棒：8+7（n﹣1）=7n+1根；當(dāng)n=7時(shí)，7n+1=7×7+1=50，∴圖案⑦需50根火柴棒；例題7、如圖，下列圖形都是由面積為1的正方形按一定的規(guī)律組成，其中，第（1）個(gè)圖形中面積為1的正方形有2個(gè)，第（2）個(gè)圖形中面積為1的正方形有5個(gè)，第（3）個(gè)圖形中面積為1的正方形有9個(gè)，…，按此規(guī)律．則第（6）個(gè)圖形中面積為1的正方形的個(gè)數(shù)為（）A.20B.27C.35D.40【答案】B【解析】第（1）個(gè)圖形中面積為1的正方形有2個(gè)，第（2）個(gè)圖形中面積為1的圖象有2+3=5個(gè)，第（3）個(gè)圖形中面積為1的正方形有2+3+4=9個(gè)，…，按此規(guī)律，第n個(gè)圖形中面積為1的正方形有2+3+4+…+（n+1）=個(gè)，則第（6）個(gè)圖形中面積為1的正方形的個(gè)數(shù)為2+3+4+5+6+7=27個(gè)例題8、如圖所示，每個(gè)小立方體的棱長為1，按如圖所示的視線方向看，圖1中共有1個(gè)1立方體，其中1個(gè)看得見，0個(gè)看不見；圖2中共有8個(gè)立方體，其中7個(gè)看得見，1個(gè)看不見；圖3中共有27個(gè)小立方體，其中19個(gè)看得見，8個(gè)看不見；…，則第11個(gè)圖形中，其中看得見的小立方體個(gè)數(shù)是（）A.271B.272C.331D.332【答案】C【解析】圖1中，共有1個(gè)小立方體，其中1個(gè)看得見，0＝（1－1）3個(gè)看不見；圖2中，共有8個(gè)小立方體，其中7個(gè)看得見，1＝（2－1）3個(gè)看不見；圖3中，共有27個(gè)小立方體，其中19個(gè)看得見，8＝（3－1）3個(gè)看不見；…，第n個(gè)圖中，一切看不見的棱長為1的小立方體的個(gè)數(shù)為（n－1）3，看見立方體的個(gè)數(shù)為n3－（n－1）3，所以則第19個(gè)圖形中，其中看得見的小立方體有193－183＝331個(gè)．隨練隨練1、觀察下列一組數(shù)：，…，根據(jù)該組數(shù)的排列規(guī)律，可推出第10個(gè)數(shù)是．【答案】．【解析】∵分子為1，2，3，4，5，…，∴第10個(gè)數(shù)的分子為10，∵分母為3，5，7，9，11，…，∴第10個(gè)數(shù)的分母為：1+2×10=21，∴第10個(gè)數(shù)為：，隨練2、如圖，把一個(gè)面積為1的正方形等分成兩個(gè)面積為的長方形，接著把面積為的長方形等分成兩個(gè)面積為的正方形，再把面積為的正方形等分成兩個(gè)面積為的矩形．如此進(jìn)行下去，試?yán)脠D形所揭示的規(guī)律計(jì)算：．【答案】【解析】借助圖形，不難發(fā)現(xiàn)．隨練3、右圖為手的示意圖，在各個(gè)手指間標(biāo)記字母A、B、C、D．請你按圖中箭頭所指方向（即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式）從A開始數(shù)連續(xù)的正整數(shù)：1，2，3，4，…，當(dāng)數(shù)到12時(shí)，對應(yīng)的字母是______；當(dāng)字母C第201次出現(xiàn)時(shí)，恰好數(shù)到的數(shù)是______；當(dāng)字母C第次出現(xiàn)時(shí)（n為正整數(shù)），恰好數(shù)到的數(shù)是___________（用含n的代數(shù)式表示）【答案】B；603；【解析】不難發(fā)現(xiàn)，字母的出現(xiàn)規(guī)律是A→B→C→D→C→B，循環(huán)下去．因此數(shù)到12時(shí)，對應(yīng)的字母是B；每個(gè)循環(huán)中出現(xiàn)2個(gè)字母C，因此當(dāng)字母C第201次出現(xiàn)時(shí)，數(shù)到的數(shù)字應(yīng)該是；當(dāng)字母C第次出現(xiàn)時(shí)（n為正整數(shù)），數(shù)到的數(shù)字應(yīng)該是隨練4、如圖所示，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n（n是大于0的整數(shù)）個(gè)圖形需要黑色棋子的個(gè)數(shù)是．【答案】n（n+2）．【解析】第1個(gè)圖形是三角形，有3條邊，每條邊上有2個(gè)點(diǎn)，重復(fù)了3個(gè)點(diǎn)，需要黑色棋子2×3﹣3個(gè)，第2個(gè)圖形是四邊形，有4條邊，每條邊上有3個(gè)點(diǎn)，重復(fù)了4個(gè)點(diǎn)，需要黑色棋子3×4﹣4個(gè)，第3個(gè)圖形是五邊形，有5條邊，每條邊上有4個(gè)點(diǎn)，重復(fù)了5個(gè)點(diǎn)，需要黑色棋子4×5﹣5個(gè)，…則第n個(gè)圖形需要黑色棋子的個(gè)數(shù)是（n+1）（n+2）﹣（n+2）=n（n+2）．故答案為：n（n+2）．隨練5、七年級（1）班的宣傳委員在辦黑板報(bào)時(shí)，采用了下面的圖案作為邊框，其中每個(gè)黑色六邊形與6個(gè)白色六邊形相鄰．若一段邊框上有45個(gè)黑色六邊形，則這段邊框共有白色六邊形（）A.182個(gè)B.180個(gè)C.272個(gè)D.270個(gè)【答案】A【解析】根據(jù)題意分析可得：每增加一個(gè)黑色六邊形，則需增加4個(gè)白色六邊形．此鏈子共有個(gè)白色六邊形，若鏈子上有45個(gè)黑色六邊形，則鏈子共有白色六邊形個(gè)．隨練6、如圖所示，用圓圈拼成的圖案，圖1由一個(gè)圓環(huán)組成，圖2由5個(gè)圓圈組成，圖3由13個(gè)圓圈組成，依此規(guī)律，第8個(gè)圖案一共由________個(gè)圓圈組成，第n個(gè)由________個(gè)組成．【答案】113；【解析】圖1由一個(gè)圓環(huán)組成：圖2由5個(gè)圓圈組成：圖3由13個(gè)圓圈組成：依此規(guī)律，第8個(gè)圖案：第n個(gè)由，拓展拓展1、觀察下面的一列單項(xiàng)式：；；；，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，第個(gè)單項(xiàng)式為________．【答案】【解析】∵；；；；第個(gè)單項(xiàng)式為拓展2、意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一組數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，…，請根據(jù)這組數(shù)的規(guī)律寫出第10個(gè)數(shù)是（）A.25B.27C.55D.120【答案】C【解析】，，，，，，，．所以第10個(gè)數(shù)是55．拓展3、有一組數(shù)：則這組數(shù)的第8個(gè)為________，第n個(gè)數(shù)為________（用含n的代數(shù)式表示）【答案】，【解析】根據(jù)數(shù)據(jù)可知，這組數(shù)的第8個(gè)為，第n個(gè)數(shù)為拓展4、從1開始得到如下的一列數(shù)：1，2，4，8，16，22，24，28，…其中每一個(gè)數(shù)加上自己的個(gè)位數(shù)，成為下一個(gè)數(shù)，上述一列數(shù)中小于100的個(gè)數(shù)為（）A.21B.22C.23D.99【答案】A【解析】由題意知：1，2，4，8，16，22，24，28，…由此可知，每4個(gè)數(shù)一組，后面依次為36，42，44，48，56，62，64，68，76，82，84，88，96，故小于100的個(gè)數(shù)為：21個(gè)，拓展5、觀察下列一組圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中第1個(gè)圖中共有4個(gè)點(diǎn)，第2個(gè)圖中共有10個(gè)點(diǎn)，第3個(gè)圖中共有19個(gè)點(diǎn)，…按此規(guī)律第5個(gè)圖中共有點(diǎn)的個(gè)數(shù)是____A.31B.46C.51D.66【答案】B【解析】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的數(shù)字運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．由圖可知：其中第1個(gè)圖中共有1+1×3=4個(gè)點(diǎn)，第2個(gè)圖中共有1+1×3+2×3=10個(gè)點(diǎn)，第3個(gè)圖中共有1+1×3+2×3+3×3=19個(gè)點(diǎn)，…由此規(guī)律得出第n個(gè)圖有1+1×3+2×3+3×3+…+3n個(gè)點(diǎn)．第1個(gè)圖中共有1+1×3=4個(gè)點(diǎn)，第2個(gè)圖中共有1+1×3+2×3=10個(gè)點(diǎn)，第3個(gè)圖中共有1+1×3+2×3+3×3=19個(gè)點(diǎn)，…第n個(gè)圖有1+1×3+2×3+3×3+…+3n個(gè)點(diǎn)．所以第5個(gè)圖中共有點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1+1×3+2×3+3×3+4×3+5×3=46．故選：B．拓展6、下列圖形由同樣的棋子按一定規(guī)律組成，圖1有3顆棋子，圖2有9顆棋子，圖3有18顆棋子，，圖8有（）A.84顆棋子B.108顆棋子C.135顆棋子D.152顆棋子【答案】B【解析】第①個(gè)圖形有3顆棋子，第②個(gè)圖形一共有顆棋子，第③個(gè)圖形一共有顆棋子，第④個(gè)圖形有顆棋子，，第⑧個(gè)圖形一共有顆棋子．拓展7、如圖，小橋用黑白棋子組成的一組圖案，第1個(gè)圖案由1個(gè)黑子組成，第2個(gè)圖案由1個(gè)黑子和6個(gè)白子組成，第3個(gè)圖案由13個(gè)黑子和6個(gè)白子組成，按照這樣的規(guī)律排列下去，則第8個(gè)圖案中共有（）個(gè)黑子．A.37B.42C.73D.121【答案】C【解析】第1、2圖案中黑子有1個(gè)，第3、4圖案中黑子有1＋2×6＝13個(gè)，第5、6圖案中黑子有1＋2×6＋4×6＝37個(gè)，第7、8圖案中黑子有1＋2×6＋4×6＋6×6＝73個(gè)，拓展8、用火柴棒按如圖所示的方式搭出新的圖形，其中第1個(gè)圖形有6個(gè)正方形，第2個(gè)圖形有11個(gè)正方形，第3個(gè)圖形有16個(gè)正方形，則第個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)為________．【答案】【解析】∵第1個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)，第2個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)，第3個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)，∴第個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)為拓展9、觀察下面的圖形（每個(gè)正方