具有機電耦合性能的壓電材料的力學分析

具有機電耦合性能的壓電材料的力學分析

1壓電材料的力學分析近年來，壓迫材料在智能結構中的應用越來越受到重視。壓電材料具有壓電效應,即當它受到外力時不僅產(chǎn)生機械變形,還能產(chǎn)生電勢;對它施加電壓時,又能改變材料尺寸。因此,壓電元件既能當智能結構的傳感元件,又能作為驅動元件。目前,對具有機電耦合性能的壓電材料的力學分析是壓電材料研究的一個重要內容,其研究途徑主要有三種:(1)尋求三維精確解;(2)簡化后求理論解析解;(3)用有限元、邊界元等方法計算數(shù)值解。本文按第二種方法從壓電彈性介質三維本構方程及平面應力條件下的簡化物理方程出發(fā),求出了懸臂壓電梁在沒有外加電場情況下自由端承受集中力時位移、電勢的解析表達式,并且與有限元的計算結果進行了比較。2彈性壓電介質結構材料特性當不計體力和不存在自由電荷時,三維壓電理論的控制方程為σij,j=0Di,i=0σij=cijklεkl-ekijEkDi=eiklεkl+gikEkεij=(uj,i+ui,j)Ei=-?,i其中,i,j,k,l=1,2,3,而σij,Di,εij,uj,Ei和Φ分別是應力、電位移、應變、位移、電場強度分量和電勢,Cijkl,gik和ekij分別為彈性、介電和壓電常數(shù)。在極端各向異性下壓電介質獨立的性能常數(shù)為21+16+18=45個。本文僅考慮應用較為廣泛的PVDF薄膜或PZT陶瓷這一類常用材料,若沿z軸正向極化,則x-y平面成為各向同性平面,壓電介質呈現(xiàn)橫觀各向同性性質,其性能常數(shù)變?yōu)?+2+3=10個。在工程應用中,彈性壓電介質一般并不用作結構的承載部件,而只是作為附著在結構上的感測與驅動元件,通常制成薄膜層粘貼在結構上。因此往往可以簡化為x-z或y-z平面內的平面問題。以x-z平面內的平面應力問題為例,基本方程變?yōu)?無體力影響靜力平衡方程無體力影響?σx?x+?τxz?z=0??σz?z+?τzx?x=0(1)22變換協(xié)調方程?2εx?z2+?2εz?x2-?2γzx?x?z=0(2)3物理方程(εxεzγzx)=(s11s130s13s33000s44)(σxσzτzx)+(0d310d33d150)(ExEz)(3)(DxDz)=00d15d31d330)(σxσzτzx)+(g1100g33)(ExEz)(4)(ExEz)=(-?Φ?x-?Φ?z)(5)4方程1(εxεzγzx)=(??x00??z??z??x)(uw)(6)5壓電材料參數(shù)?Dx?x+?Dz?z=0(7)其中s11=c33c11-c213c13c211-c33c212-2c213c11+2c213c12?s13=-c13c33c12-2c213+c33c11?s33=c11+c12c33c12-2c213+c33c11?s44=1c44,d31=-e33c13+e31c33c33c12-2c213+c33c11,d33=e33c12-2e31c13+e33c11c33c12-2c213+c33c11,d15=e15c44,g11=gp11+e215c44,g33=c12c33gp33+c12e233-2c213gp33+2c33e231-4c13e31e33+c11c33gp33+c11e233c33c12-2c213+c33c11上面式中σ、ε、D、E分別表示應力、應變、電位移、電場強度,u、w、φ表示位移和電勢,Sij、dij、eij分別表示壓電材料的短路柔度系數(shù)、壓電應變常數(shù)和壓電應力常數(shù),cij、gij、gpij分別表示短路剛度系數(shù)、自由介電常數(shù)與夾持介電常數(shù)。3相關定理圖1為沿z軸極化的壓電梁。如前所述,在x-y平面內呈各向同性,在x-z平面內呈正交異性。假定厚度t遠小于長度L及高度H,那么可以作為x-z平面內的平面應力問題進行討論。由于沒有外加電場,物理方程中的場強E僅是束縛電荷產(chǎn)生的電場強度,該電場對應力的影響是很小的,故可以考慮用非壓電材料的彈性應力解作為此壓電梁的應力來作試探:Jy=112tΗ3?σx=FJy?xz?σz=0?τxz=F2Jy(z2-Η24)(8)將(8)代入(3)得εx=s11?FJyxz-d31?Φ?z?εz=s13?FJyxz-d33?Φ?z?γzx=s44?F2Jy(z2-Η24)-d15?Φ?x(9)將(9)代入(2)得d31?3Φ?z3+(d33-d15)?3Φ?x2?z=0(10)再將(8)代入(4)有Dx=d15?F2Jy(z2-Η24)-g11?Φ?x?Dz=d31?FJyxz-g33?Φ?z(11)將(11)代入(7)得g11?2Φ?x2+g33?2Φ?z2-d31?FJyx=0(12)由(12)解得:?3Φ?x2?z=-g33g31??3Φ?z3,代入(10)得:?3Φ?z3=0,再積分可得>=12f1(x)z2+f2(x)z+f3(x)(13)聯(lián)系(13)與(12)有?2>?x2=12?f1″(x)z2+f2″(x)z+f3″(x)=d31g11?FJyx-g33g11f1(x)要使上式恒成立,不難解得f1(x)=a1x+a2?f2(x)=a3x+a4?f3(x)=1ΜΜx3-g332g11a2x2+a5x+a6式中:Μ=d31g11?FJy-g33g11?a1,a2,a3,a4,a5,a6是待定常系數(shù)。將上式代入(13)有:>=12(a1x+a2)z2+(a3x+a4)z+16Μx3-g332g11a2x2+a5x+a6根據(jù)電學邊界條件:>|z=-Η2=0?Dz|z=±Η2=0,代入上式及(11)可確定>表達式中六個待定常數(shù):a1=d31g33?FJy?a2=a3=a4=a6=0?a5=-Η2d318g33?FJy從而Φ=d312g33?FJy?xz2-Η2d318g33?FJy?x(14)將(14)與幾何方程(6)代入物理方程展開式(9)并積分得:u=-Ν2x2z+13Ν1z3-p1z+p2?w=F2Jy(s13-d31d33g33)xz2+13Ν2x3-(s44FΗ28Jy+d15a5-p1)x+p3式中,Ν1=(s44-s13+d31d33g33-d15d31g33)F2Jy?Ν2=(d312g33-s11)F2Jy,待定系數(shù)p1、p2、p3可由位移邊界條件來確定。本問題的位移邊界條件為:u|x=Lz=0=w|x=Lz=0=0??w?x|x=Lz=0=0將u、w表達式代入上述邊界條件可求得p1、p2、p3,從而u=(s11-d312g33)F2Jy?x2z+(s44-s13+d33d31g33-d15d31g33)F6Jy?z3-[(s44-d31d15g33)FΗ28Jy+(s11-d312g33)FL23Jy]?z(15)w=(s13-d31d33g33)F2Jy?xz2+(d312g33-s11)F6Jy?x3+(s11-d312g33)FL23Jy?x+(d312g33-S11)FL36Jy(16)這樣,位移和電勢的表達式就全部得到了,分別是式(14)、(15)、(16)。4懸臂梁有限元模型為檢驗以上表達式,作者用ANSYS軟件對材料為PZT-4壓電陶瓷的懸臂梁作有限元計算,圖2～4分別給出x=L/2處位移u、w和電勢>隨z坐標的變化規(guī)律(圖中——表示解析解,·點表示有限元解),由圖可見,本文所導出位移和電勢的表達式具有足夠的精確度。5壓電材料解析解的研究