多層彈性地基內(nèi)部作用應(yīng)力與位移的解析解

多層彈性地基內(nèi)部作用應(yīng)力與位移的解析解

在美國columbia大學(xué)的土木工程系r.d.mrin中，他在1936年描述了該問題，該問題的答案用于分析和計算堆棧的結(jié)構(gòu)。事實上，天然地基不是均勻的彈性體，其組成通常是基于分層結(jié)構(gòu)。因此，通過解決疊加問題以解決實際堆棧的屋頂和變形問題可以得出很大的誤差。因此，理論上，在多層柔性基質(zhì)的內(nèi)部擠壓結(jié)構(gòu)中應(yīng)用的最小擠壓結(jié)構(gòu)和位移問題的回答可以是更合理的。因此，在這項工作中，基于彈性層理論，利用矩陣擴展方法，獲得了多層彈性基質(zhì)的內(nèi)部擠壓結(jié)構(gòu)的英雄數(shù)據(jù)集中力問題。該方程適合制作計算程序，具有高的計算速度和精度，便于工程應(yīng)用。為了區(qū)分半彈性半空間的內(nèi)部作用力，曾就多層介質(zhì)的內(nèi)部作用力問題進行了討論。在文獻中，討論了垂直集中力在平面上的作用，并在多層介質(zhì)的內(nèi)部作用力中討論了平面集中力在平面上的作用。1u3000理想縣從彈性力學(xué)的基本方程出發(fā),引入應(yīng)力函數(shù),最后可得非軸對稱空間課題應(yīng)力與位移分量的一般表達式如下:{σr=∞∑k=0{-∫∞0ζ{[A-(1+2ν-ζz)B]e-ζz-[C+(1+2ν+ζz)D]eζz}Jk(ζr)dζ+k+12rUk+1+k-12rUk-1}coskθkσθ=∞∑k=0{2ν-∫∞0ζ(Be-ζz+Deζz)Jk(ζr)dζ-k+12rUk+1-k-12rUk-1}coskθkσz=∞∑k=0∫∞0ζ{[A+(1-2ν+ζz)B]e-ζz-[C-(1-2ν-ζz)D]eζz}Jk(ζr)coskθkdζτrθ=∞∑k=0{∫∞0ζ(Ιe-ζz+Feζz)Jk(ζr)dζ+k+12rUk+1-k-12rUk-1}sinkθkτθz=12∞∑k=0(Ηk+1+Ηk-1)sinkθk?τzr=12∞∑k=0(Ηk+1-Ηk-1)coskθku=-1+ν2E∞∑k=0(Uk+1-Uk-1)coskθk?v=-1+ν2E∞∑k=0(Uk+1+Uk-1)sinkθkw=-1+νE∞∑k=0∫∞0{[A+(2-4ν+ζz)B]e-ζz+[C-(2-4ν-ζz)D]eζz}Jk(ζr)coskθkdζ(1)式中:Uk+1=∫∞0{[A-(1-ζz)B-2I]e-ζz-[C+(1+ζz)D+2F]eζz}Jk+1(ζr)dζ;Uk-1=∫∞0{[A-(1-ζz)B+2I]e-ζz-[C+(1+ζz)D-2F]eζz}Jk-1(ζr)dζ;Hk+1=∫∞0ζ{[A-(2ν-ζz)B-I]e-ζz+[C+(2ν+ζz)D+F]eζz}Jk+1(ζr)dζ;Hk-1=∫∞0ζ{[A-(2ν-ζz)B-I]e-ζz+[C+(2ν+ζz)D-F]eζz}Jk-1(ζr)dζ.上述9個應(yīng)力與位移分量的一般表達式,適用于任何類型的彈性層狀體系空間問題,它不僅適用于非軸對稱空間問題,而且也適用于軸對稱空間問題.關(guān)于這一點,只要取k=0這一項,上面的9個公式就會全部化為軸對稱空間課題的一般表達式.對非軸對稱課題,只要根據(jù)邊界條件和層間結(jié)合條件就可解出待定參數(shù)A,B,C,D,I,F,然后代入上式,便可得到某一類型彈性層狀體系空間課題的全部理論解.然而,對于一個N層地基來說,必須求解6N個線性代數(shù)方程組,計算非常繁雜.為此,本文運用矩陣傳遞技術(shù),以簡化求解過程.如圖1,如果在均勻彈性地基的表面上作用著任意的非軸對稱荷載,那么平行于地基表面的任意一層面上的位移和應(yīng)力有:u,w,v,σz,τzr,τzθ,根據(jù)空間非軸對稱課題應(yīng)力與位移分量的一般表達式,可知它們也可以分別寫成如下的形式:{u=∞∑k=0uk(r,z)coskθk?τzr=∞∑k=0τzrk(r,z)coskθkv=∞∑k=0vk(r,z)sinkθk?τzθ=∞∑k=0τzθk(r,z)sinkθkw=∞∑k=0wk(r,z)coskθk?σz=∞∑k=0σzk(r,z)coskθk(2)為分析方便起見,令{uv=1r[?(ru)?r+?v?θ]?uh=-1r[?(rv)?r-?u?θ]τvz=1r[?(rτzr)?r+?τzθ?θ]?τhz=-1r[?(rτzθ)?r-?τzr?θ](3)則{uv=∞∑k=0uvk(r,z)coskθk?τvz=∞∑k=0τvzk(r,z)coskθkuh=∞∑k=0uhk(r,z)sinkθk?τhz=∞∑k=0τhzk(r,z)sinkθk(4)記uvk,σzk,wk,τvk,uhk,τhk的k階Hankel變換分別為ˉuvk,ˉσzk,ˉwz,ˉτvk,ˉuhk,ˉτhk,那么根據(jù)上式可得{ˉuvk(ζ,z)=-1+νE{[A-(1-ζz)B]e-ζz-[C+(1+ζz)D]eζz}ˉσzk(ζ,z)=[A+(1-2ν+ζz)B]e-ζz-[C-(1-2ν-ζz)D]eζzˉwk(ζ,z)=-1+νEζ{[A+(2+4ν+ζz)B]e-ζz+[C-(2-4ν-ζz)D]eζz}ˉτvk(ζ,z)=ζ[A-(2ν-ζz)B]e-ζz+ζ[C+(2ν+ζz)D]eζzˉuhk(ζ,z)=-1+νE(2Ιe-ζz+2Feζz)ˉτhzk(ζ,z)=ζΙe-ζz-ζFeζz(5)在式(5)中,令z=0,就可以得到關(guān)于任意常數(shù)A,B,C,D,I,F的線性方程組,解得A,B,C,D,I,F后,再代入式(5),可以得到非軸對稱荷載作用下單層地基的初始函數(shù)解答,用矩陣表示如下:{ˉuvk(ζ?z)ˉσzk(ζ?z)ˉwk(ζ?z)ˉτvzk(ζ?z)}=[Ψ11Ψ12Ψ13Ψ14Ψ21Ψ22Ψ23Ψ24Ψ31Ψ32Ψ33Ψ34Ψ41Ψ42Ψ43Ψ44]{ˉuvk(ζ?0)ˉσzk(ζ?0)ˉwk(ζ?0)ˉτvzk(ζ?0)}(6)和{ˉuhk(ζ?z)ˉτvzk(ζ?z)}=[Τ11Τ12Τ21Τ22]{ˉuhk(ζ?0)ˉτvzk(ζ?0)}(7)其中:Ψ11=(ζzshζz+chζz)/2(1-ν);Ψ12=ζzshζz/4G(1-ν);Ψ13=[(1-2ν)ζshζz+ζ2zchζz]/2(1-ν);Ψ14=(ζzchζz+(3-4ν)shζz)/4G(1-ν)ζ;為節(jié)省篇幅,其它元素從略.式(6)、(7)也可簡記為ˉGv(ζ?z)=Ψ(ζ?z)ˉGv(ζ?0)?ˉGh(ζ?z)=Τ(ζ?z)ˉGh(ζ?0)2水平位移h+i如圖2,考慮n層地基,在第m層內(nèi)部作用水平集中力Q(假定與x方向一致)這時在地基表面處,即z=0處有σz=τrz=τzθ=0,或σz=τvz=τhz=0在地基底面處,即z=Hn處同樣可根據(jù)實際情況分別按固定邊界和彈性邊界來處理.對于固定邊界有u=v=w=0,或uvz=vhz=w=0對于彈性邊界條件,可根據(jù)彈性半空間體的自然邊界條件(當(dāng)z和r無限增大時,所有應(yīng)力與位移分量都趨近于零,因此要求C=D=F=0),由式(5)可知ˉuvk(ζ,Hn),ˉσzk(ζ,Hn),ˉwk(ζ,Hn),ˉτvk(ζ,Hn),ˉuhk(ζ,Hn),ˉτhk(ζ,Hn),應(yīng)滿足以下條件:{ˉwk(ζ?Ηn)=-1-2ν2ζ(1-ν)ˉuvk(ζ?Ηn)-3-4ν4Gζ(1-ν)ˉσzk(ζ?Ηn)ˉτvk(ζ?Ηn)=-Gζ(1-ν)ˉuvk(ζ?Ηn)+ζ(1-2ν)2(1-ν)ˉσzk(ζ?Ηn)Gζˉuhk(ζ?Ηn)+ˉτhk(ζ?Ηn)=0(8)假定層與層之間完全接觸,那么在彈性模量不同的兩層土的分界面上,其層間接觸條件為u(r,θ,H-i)=u(r,θ,H+i),v(r,θ,H-i)=v(r,θ,H+i)w(r,θ,H-i)=w(r,θ,H+i),σz(r,θ,H-i)=σz(r,θ,H+i)τrz(r,θ,H-i)=τrz(r,θ,H+i),τθz(r,θ,H-i)=τθz(r,θ,H+i)式中:u(r,θ,H+i)表示第i層的水平位移;u(r,θ,H-i)表示第i-1層的水平位移,其余類推.而在集中力Q的作用平面上有如下的力和位移的邊界條件為u(r,θ,H-i)=u(r,θ,H+i)v(r,θ,H-i)=v(r,θ,H+i)w(r,θ,H-i)=w(r,θ,H+i),σz(r,θ,H-i)=σz(r,θ,H+i)τrz(r,θ,Η-i)=τrz(r,θ,Η+i)+Qcosθδ(r)2πr?τθz(r,θ,Η-i)=τθz(r,θ,Η+i)-Qsinθδ(r)2πr從上述邊界條件和層間結(jié)合條件可以看出,在應(yīng)力與位移分量的一般表達式中,除了k=1這一項以外,其余各項均為零.為了便于計算,上述邊界及接觸條件可改寫如下:在彈性模量不同的兩層土的分界面上,其層間接觸條件為uv1(r,H-i)=uv1(r,H+i),uh1(r,H-i)=uh1(r,H+i),w1(r,H-i)=w1(r,H+i)σz1(r,H-i)=σz1(r,H+i),τv1(r,H-i)=τv1(r,H+i),τh1(r,H-i)=τh1(r,H+i)在集中力Q的作用平面上有如下的力和位移的邊界條件:uv1(r,H-i)=uv1(r,H+i),uh1(r,H-i)=uh1(r,H+i)w1(r,H-i)=w1(r,H+i),σz1(r,H-i)=σz1(r,H+i)τv1(r,H-i)=τv1(r,H+i)+Q(δ(r)/2πr)′r,τh1(r,H-i)=τh1(r,H+i)+Q(δ(r)/2πr)′r把單層地基初始函數(shù)的表達式(6)、(7)應(yīng)用于多層地基中的每一層(這時把力的作用面也作為一分界面),并對層間接觸條件進行Hankel變換后得到ˉGv(ζ?Η+1)=ˉGv(ζ?Η-1)?ˉGv(ζ?Η+2)=ˉGv(ζ?Η-2)?ˉGv(ζ?Η+m1)=ˉGv(ζ?Η-m1)-[000Q2πζ]Τ??ˉGv(ζ?Η+n-1)=ˉGv(ζ?Η-n-1)和ˉGh(ζ?Η+1)=ˉGh(ζ?Η-1)?ˉGh(ζ?Η+2)=ˉGh(ζ?Η-2)?ˉGh(ζ?Η+m1)=ˉGh(ζ?Η-m1)-[0Q2πζ]Τ??ˉGh(ζ?Η+n-1)=ˉGh(ζ?Η-n-1)于是從底面開始,按照層間接觸條件逐層遞推,可以得到ˉGv(ζ?Η-n)=[fvij]4×4ˉG(ζ?0)-[svij]4×4{pv}4×1(9)ˉGh(ζ?Η-n)=[fhij]2×2ˉG(ζ?0)-[shij]2×2{ph}2×1(10)其中:[fvij]4×4=Ψ(ζ,ΔHn)Ψ(ζ,ΔHn-1)…Ψ(ζ,ΔH1);[svij]4×4=Ψ(ζ,ΔHn)Ψ(ζ,ΔHn-1)…Ψ(ζ,ΔHm2);{pv}4×1=[000Q2πζ]Τ;[fhij]2×2=T(ζ,ΔHn)T(ζ,ΔHn-1)…T(ζ,ΔH1);[shij]2×2=T(ζ,ΔHn)T(ζ,ΔHn-1)…T(ζ,ΔHm2);{ph}2×1=[0Q2πζ]Τ.由式(8)、(9)、(10)可唯一地確定ˉGv(ζ,0),ˉGh(ζ,0)和ˉGv(ζ,Hn),ˉGh(ζ,Hn).因此,對于力Q作用面以上第i層內(nèi)深度z處的應(yīng)力與位移分量,可從深度z處向上遞推得出ˉGv(ζ?z)=[avij]4×4ˉGv(ζ?0)(11)ˉGh(ζ?z)=[ahij]2×2ˉGh(ζ?0)(12)其中:[avij]4×4=Ψ(ζ,z-Hi-1)Ψ(ζ,ΔHi-1)…Ψ(ζ,ΔH1);[ahij]2×2=T(ζ,z-Hi-1)T(ζ,ΔHi-1)…T(ζ,ΔH1).對于力Q作用面以下第i層內(nèi)深度z處的應(yīng)力與位移分量,同樣可以從深度z處向下遞推得出相應(yīng)的計算公式,限于篇幅,從略.對σˉz1,wˉ1進行反演即可得到σz1,w1,但為求u1,v1,τzr1,τzθ1,還須作一定的變換.3橫向位移w為簡單起見,這里僅討論半無限空間體內(nèi)深度c處作用一水平集中力時的情況.為節(jié)省篇幅,僅以求解豎向位移w為例.假定底面為固定邊界,這時[fvij]4×4=Ψ(ζ,Hn),[svij]4×4=Ψ(ζ,Hn-c)將上式代入式(9),并由h→∞的條件可得{uˉv1(ζ,0)wˉ1(ζ,0)}=Q2π1+νΕζe-ζc{ζ(2-2ν-ζc)-1+2ν+ζc}因此,對于力Q作用面以上深度z處的豎向位移w,可由下式得出:w=cos