粘彈性偏心梁的復(fù)模態(tài)解耦解耦

粘彈性偏心梁的復(fù)模態(tài)解耦解耦

當(dāng)梁截面有兩個(gè)對(duì)稱軸時(shí)，截面的切割中心與形狀中心重疊，梁的彎曲運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)相互獨(dú)立。然而對(duì)于許多工程應(yīng)用中的梁結(jié)構(gòu),橫截面只有一個(gè)或沒有對(duì)稱軸,剪切中心和形心不重合,彎曲運(yùn)動(dòng)和扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)之間存在耦合。在這種情況下,即使對(duì)于線彈性結(jié)構(gòu),也不能單純使用彎曲運(yùn)動(dòng)和扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的疊加來計(jì)算梁的動(dòng)力響應(yīng)。近些年許多學(xué)者研究了彎扭耦合梁的自由振動(dòng)和阻尼作用下動(dòng)力響應(yīng)問題,但大多數(shù)研究?jī)H考慮簡(jiǎn)單阻尼并使用實(shí)模態(tài)法進(jìn)行求解,到目前為止還沒有關(guān)于使用復(fù)模態(tài)法求解粘彈性偏心梁彎扭耦合問題的報(bào)道。粘彈性材料在工業(yè)界有著廣泛的用途,因此粘彈性系統(tǒng)的振動(dòng)問題日益受到重視。粘彈性系統(tǒng)的自由振動(dòng)和簡(jiǎn)諧受迫振動(dòng)通常利用待定系數(shù)法進(jìn)行分析,但該方法應(yīng)用于任意激勵(lì)的響應(yīng)有一定的困難。模態(tài)分析法是處理振動(dòng)問題的一種有效方法。實(shí)模態(tài)法的應(yīng)用受到阻尼可正交化條件的局限,而復(fù)模態(tài)法可以求解一般性阻尼問題,因而復(fù)模態(tài)法可有效用于解決粘彈性系統(tǒng)的振動(dòng)問題。復(fù)模態(tài)法在有阻尼離散系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)問題中應(yīng)用已較廣泛,但在連續(xù)系統(tǒng)彎扭耦合振動(dòng)問題中的應(yīng)用還較少。本文使用Kelvin-Voigt模型表示材料的粘彈性性質(zhì),對(duì)橫截面只有一個(gè)對(duì)稱軸的單向偏心粘彈性梁建立運(yùn)動(dòng)方程,利用復(fù)模態(tài)的正交性進(jìn)行解耦,求解結(jié)構(gòu)在外部激勵(lì)下的一般動(dòng)力響應(yīng)表達(dá)式。通過跟蹤邊界條件行列式零點(diǎn)的方法求解了結(jié)構(gòu)復(fù)頻率和復(fù)模態(tài)。通過算例分析了阻尼和彎扭耦合作用對(duì)復(fù)頻率、復(fù)模態(tài)和外部激勵(lì)的動(dòng)力響應(yīng)等方面的影響。1狀態(tài)方程形式圖1所示薄壁梁結(jié)構(gòu)截面只有一個(gè)對(duì)稱軸,點(diǎn)s和點(diǎn)c分別為橫截面的剪切中心和形心,兩者之間的距離為xc。設(shè)軸向坐標(biāo)y與梁的彈性軸(經(jīng)過梁每個(gè)橫截面的剪切中心)重合,x軸與對(duì)稱軸重合。EIx和GJ分別是z方向側(cè)向彎曲剛度和繞y軸的扭轉(zhuǎn)剛度,μ是單位長(zhǎng)度梁的質(zhì)量,Is是單位長(zhǎng)度梁繞y軸的極質(zhì)量慣性矩。剪切中心在z方向的彎曲位移是v(y,t),繞y軸的扭轉(zhuǎn)位移是ψ(y,t)?？紤]粘彈性阻尼影響,設(shè)應(yīng)力應(yīng)變滿足Kelvin-Voigt關(guān)系σ=Eε+Cε˙ετ=Gγ+Cγ˙γ(1)σ=Eε+Cεε˙τ=Gγ+Cγγ˙(1)式中σ、τ分別為正應(yīng)力和剪應(yīng)力;ε、γ分別為正應(yīng)變和剪應(yīng)變;Cε、Cγ分別為與正應(yīng)變和剪應(yīng)變相關(guān)的阻尼系數(shù)。上標(biāo)圓點(diǎn)表示對(duì)時(shí)間t的微分。采用伯努利-歐拉梁模型,由Hamilton原理推導(dǎo)出粘彈性偏心梁?jiǎn)蜗驈澟ゑ詈线\(yùn)動(dòng)方程為EΙzu?″+CεΙz˙u?″+μ¨u-μxc¨ψ=f(y,t)-GJψ″-CγJ˙ψ″+ΙS¨ψ-μxc¨u=Τ(y,t)(2)式中上標(biāo)撇號(hào)表示對(duì)坐標(biāo)y的微分。為化簡(jiǎn)運(yùn)動(dòng)方程方程,令C1=CεIz?4/?y4,C2=CγJ?2/?y2,K1=EIz?4/?y4,K2=GJ?2/?y2(3)為將彎扭耦合運(yùn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程形式,補(bǔ)充兩個(gè)恒等式μ˙u-μ˙u-μxc˙ψ+μxx˙ψ=0-μxc˙u+μxc˙u+ΙS˙ψ-Ιs˙ψ=0(4)由此,狀態(tài)方程形式的運(yùn)動(dòng)方程為A˙z+Bz=F(5)其中F={f0Τ0}Τz={u˙uψ˙ψ}ΤA=[C1μ0-μxcμ0-μxc00-μxc-C2ΙS-μxc0ΙS0]B=[Κ10000-μ0μxc00-Κ200μxc0-ΙS]狀態(tài)方程的A、B兩矩陣中包含了K1、-K2、C1和-C2四個(gè)微分因子。在適當(dāng)邊界條件下(固支、簡(jiǎn)支、自由),利用分部積分可以證明其均為自伴隨因子,A、B兩個(gè)矩陣對(duì)稱,具有如下性質(zhì)∫L0zT1Az2dy=∫L0zT2Az1dy∫L0zT1Bz2dy=∫L0zT2Bz1dy(6)設(shè)方程(5)的齊次解為z(y,t)=?(y)eλt,得到特征方程λA?+B?=0(7)求解特征方程(7)可得特征值λn和特征向量?n(y),由于A、B兩矩陣元素均為實(shí)數(shù),所以小阻尼情況下特征值λn和特征向量?n(y)為共軛成對(duì)復(fù)數(shù),其表達(dá)式如下λn=-δn+jωn(8)?n(y)=?Rn(y)+j?In(y)(9)其中j=√-1?δn、ωn為實(shí)數(shù),δn是粘彈性梁的衰減系數(shù),ωn為振動(dòng)頻率。利用特征方程(7)和A、B兩矩陣的對(duì)稱性(6),可以證明得到特征向量關(guān)于A和B兩矩陣的加權(quán)正交關(guān)系∫L0?ΤmA?ndy={anm=n0m≠n(10)∫L0?ΤmB?ndy={bnm=n0m≠n(11)其中由特征方程(7)可以得到an和bn關(guān)系為λnan+bn=0(12)利用狀態(tài)空間特征向量對(duì)A和B兩矩陣的加權(quán)正交關(guān)系,可對(duì)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行解耦,轉(zhuǎn)化為常微分方程組。由于特征向量為復(fù)數(shù),所以稱為復(fù)模態(tài)法。把狀態(tài)空間向量z對(duì)復(fù)模態(tài)進(jìn)行展開z(y,t)=∞∑n=1?n(y)qn(t)(13)把式(13)代入式(5),所得方程等號(hào)兩邊同時(shí)乘以?n(y),然后沿梁軸向方向上進(jìn)行積分,利用復(fù)模態(tài)正交關(guān)系(10)、(11)可以導(dǎo)出˙qn(t)-λnqn(t)=1anfn(t)(n=1,2,?,∞)(14)其中fn(t)=∫L0?Tn(y)F(y,t)dy。式(14)是一階線性非齊次微分方程,給定初始條件qn(0),方程的解為qn(t)=qn(0)eλnt+∫t0fn(τ)eλn(t-τ)dτ(15)將式(15)代入復(fù)模態(tài)展開式(13)即可得到粘彈性梁彎扭耦合動(dòng)力響應(yīng)。2懸臂梁邊界條件對(duì)粘彈性連續(xù)系統(tǒng)使用Wittrick-Williams方法,跟蹤邊界條件行列式零點(diǎn),求解復(fù)頻率和關(guān)于位移的復(fù)模態(tài)。設(shè)u(y,t)=U(y)eλt,ψ(y,t)=Ψ(y)eλt,代入式(2)得到{EΙzU″″+λCεΙzU″″+λ2μU-λ2μxcΨ=0-GJΨ″-λCγJΨ″+λ2ΙSψ-λ2μxcU=0(16)式(16)中兩個(gè)方程可消去U或Ψ,轉(zhuǎn)化為一個(gè)六階微分方程{-(η1+1)(η3+1)D6+(η1+1)η4D4-(η3+1)η2D2+cη2η4}W=0(17)其中W=U或Ψ,D=d/dξ,ξ=y/L,η1=Cελ/E,η2=mλ2L4/EIz,η3=Cγλ/G,η4=ISλ2L2/GJ,c=1-mxc/IS設(shè)微分方程(17)的通解為W=erξ,代入式(17)得到其特征方程-(η1+1)(η3+1)r6+(η1+1)η4r4-(η3+1)η2r2+cη2η4=0(18)求解方程(18)得到r的六個(gè)復(fù)數(shù)根:r1,r2,…,r6。則彎曲位移U和扭轉(zhuǎn)位移Ψ通解為U(ξ)=6∑i=1αieriξΨ(ξ)=6∑i=1βieriξ(19)其中系數(shù)αi、βi(i=1,…,6)之間并不相互獨(dú)立,把式(19)代入式(16)可得βi=r4i+η1r4i+η2η2xcαi=γiαi(i=1,?,6)(20)懸臂梁邊界條件為:U(0)=U′(0)=Ψ(0)=U″(1)=U?(1)=Ψ′(1)=0,把式(19)代入邊界條件可以得到頻率特征方程[∏]6×6{α}6×1=0(21)當(dāng)邊界條件矩陣[∏]6×6行列式為零時(shí),{α}6×1才有非零解。該方程顯然為一超越方程,它含有無限個(gè)振動(dòng)頻率和對(duì)應(yīng)的振型。本文用行列式搜索法求解出復(fù)頻率λn,代入到頻率特征方程可以很容易地求得相應(yīng)的振型。3彈性阻尼和偏心彎扭耦合作用下動(dòng)力響應(yīng)問題本文對(duì)如圖2所示懸臂梁,考慮其自由端受簡(jiǎn)諧集中力Psin(ωt)作用,計(jì)算粘彈性阻尼和偏心彎扭耦合作用下動(dòng)力響應(yīng)問題。結(jié)構(gòu)參數(shù)如下EIz=2.096×10-1N·m2,GJ=3.028×10-1N·m2m=0.2kg·m-1,L=0.432m,IS=4.838×10-5kg·mxc=1.693×10-3m3.1復(fù)頻率方面特征首先對(duì)無阻尼和粘彈性阻尼兩種情況,分別求解彎扭耦合振動(dòng)頻率和復(fù)頻率,同時(shí)與不考慮偏心作用單純彎曲振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)進(jìn)行對(duì)比。粘彈性阻尼參數(shù)為:Cε=0.01E、Cγ=0.001G。由表1可知,無阻尼情況下,彎扭耦合振動(dòng)頻率基本上等于單純彎曲和單純扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的疊加。第1、2、4、5階彎扭耦合振動(dòng)頻率靠近單純彎曲振動(dòng)頻率,而第3、6階彎扭耦合振動(dòng)頻率靠近單純扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率。在粘彈性阻尼作用下,隨振型階數(shù)的增加,復(fù)頻率中(不含共軛)衰減系數(shù)δ不斷增大,振動(dòng)頻率ω不斷減小,同時(shí)與無阻尼情況之間的差值逐步加大。與有限元方法計(jì)算結(jié)果對(duì)比,驗(yàn)證了本文方法結(jié)果準(zhǔn)確性。由于復(fù)模態(tài)為復(fù)數(shù),為方便直觀對(duì)比,取復(fù)模態(tài)的絕對(duì)值同時(shí)引入實(shí)部正負(fù)號(hào)。同時(shí)由于彎曲與扭轉(zhuǎn)振型之間相差較大,所以彎扭耦合振型中扭轉(zhuǎn)分量乘以偏心距離xc。圖中線1、線2分別是彎扭耦合振型中彎曲分量、扭轉(zhuǎn)分量。如圖3所示,第1、2、4、5階彎扭耦合振幅中彎曲起主導(dǎo)性作用,第3、6階彎扭耦合振型中彎曲部分和扭轉(zhuǎn)部分大小相近,彎扭耦合作用明顯。由圖4考察粘彈性梁彎扭耦合振動(dòng)復(fù)模態(tài)中彎曲和扭轉(zhuǎn)分量的幅角,可以看出同一階模態(tài)中彎曲分量在沿梁長(zhǎng)度方向上各點(diǎn)幅角相同或者相差180度,模態(tài)中扭轉(zhuǎn)分量也有同樣性質(zhì)。同時(shí),彎曲分量和扭轉(zhuǎn)分量之間,在第1、2、4和5大部分位置上相差180度,在第3和6階大部分位置相差0度。綜合復(fù)頻率、復(fù)模態(tài)幅值和幅角三方面特征可以看出:彎扭耦合振動(dòng)頻率分布大體上等于單純彎曲和扭轉(zhuǎn)頻率的疊加;在彎曲振動(dòng)起主導(dǎo)作用的情況下,結(jié)構(gòu)在扭轉(zhuǎn)自振頻率附近的彎扭耦合作用明顯,同時(shí)彎扭耦合復(fù)振型中彎曲和扭轉(zhuǎn)分量的幅角大體上相差0度,保持同步。3.2種驅(qū)動(dòng)頻率對(duì)彎扭耦合作用的影響本文在懸臂梁自由端施加簡(jiǎn)諧集中力Psin(ωt),集中力通過梁橫截面剪切中心。分析其驅(qū)動(dòng)頻率ω接近第1、3階彎扭耦合振動(dòng)頻率時(shí)動(dòng)力響應(yīng)特性。第一種情況,驅(qū)動(dòng)頻率ω=19(Rad/s),接近第一階單純彎曲頻率,振型以彎曲分量占主導(dǎo),彎扭耦合作用不明顯。由圖5,6可知彎曲位移響應(yīng)起主導(dǎo)作用,同時(shí)彎曲和扭轉(zhuǎn)位移響應(yīng)反相。第二種情況,驅(qū)動(dòng)頻率ω=290(Rad/s),接近第三階彎扭耦合頻率(第一階單純扭轉(zhuǎn)頻率),彎扭耦合作用明顯。由圖7,8可知彎曲位移較小,扭轉(zhuǎn)作用明顯,同時(shí)彎曲和扭轉(zhuǎn)位移響應(yīng)同相。計(jì)算表明,雖然施加的集中力通過剪切中心,當(dāng)作用力為靜力時(shí)不會(huì)引起扭轉(zhuǎn)位移;但在進(jìn)行動(dòng)力響應(yīng)分析時(shí),由于結(jié)構(gòu)剪切中心和質(zhì)心的偏移引起的彎扭耦合作用,使得扭轉(zhuǎn)位移也參與動(dòng)力響應(yīng)。4彎扭耦合作用本文針對(duì)粘彈性梁彎扭耦合振動(dòng)問題使用復(fù)模態(tài)